第8章有理式と有理方程式

8.4 Add and Subtract Rational Expressions with Unlike Denominators8.4　分母の異なる分数式の足し算と引き算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Find the least common denominator of rational expressions
英語のヒント
分数式の最小公分母を求める
Find equivalent rational expressions
英語のヒント
同値な分数式を求める
Add rational expressions with different denominators
英語のヒント
分母の異なる分数式を足す
Subtract rational expressions with different denominators
英語のヒント
分母の異なる分数式を引く

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Find the Least Common Denominator of Rational Expressions分数式の最小公分母を求める

When we add or subtract rational expressions with unlike denominators we will need to get common denominators. If we review the procedure we used with numerical fractions, we will know what to do with rational expressions.

英語のヒント

分母の異なる分数式を足し引きするときは、分母をそろえる必要がある。数値の分数に使った手順を復習すれば、分数式で何をすればよいかが分かる。

Let’s look at the example

\frac{7}{12} + \frac{5}{18}

from Foundations. Since the denominators are not the same, the first step was to find the least common denominator (LCD). Remember, the LCD is the least common multiple of the denominators. It is the smallest number we can use as a common denominator.

英語のヒント

「基礎」の例

\frac{7}{12} + \frac{5}{18}

を見てみよう。分母が同じではないので、最初の手順は最小公分母（LCD）を求めることだった。LCDは分母の最小公倍数であることを思い出そう。共通分母として使える最小の数である。

To find the LCD of 12 and 18, we factored each number into primes, lining up any common primes in columns. Then we “brought down” one prime from each column. Finally, we multiplied the factors to find the LCD.

英語のヒント

12と18のLCDを求めるため、それぞれを素因数分解し、共通の素因数を同じ列にそろえた。次に各列から素因数を一つずつ「下ろした」。最後に、それらの因子を掛け合わせてLCDを求めた。

\frac{\begin{matrix} 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{matrix}}{\begin{matrix} LCD = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ LCD = 36 \end{matrix}}

\frac{\begin{matrix} 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{matrix}}{\begin{matrix} 最小公分母 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ 最小公分母 = 36 \end{matrix}}

We do the same thing for rational expressions. However, we leave the LCD in factored form.

英語のヒント

分数式でも同じことを行う。ただし、LCDは因数分解した形のままにする。

Find the least common denominator of rational expressions.分数式の最小公分母を求める。

Factor each expression completely.
英語のヒント
各式を完全に因数分解する。
List the factors of each expression. Match factors vertically when possible.
英語のヒント
各式の因子を列挙する。可能な限り、同じ因子を縦にそろえる。
Bring down the columns.
英語のヒント
各列の数を下に書き下ろす。
Multiply the factors.
英語のヒント
因数どうしを掛ける。

Remember, we always exclude values that would make the denominator zero. What values of x should we exclude in this next example?

英語のヒント

分母を0にする値は常に除外することを思い出そう。次の例では、xのどの値を除外する必要があるか。

Example 8.38例題 8.38

Find the LCD for

\frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}, \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3}

英語のヒント

\frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}, \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3}

のLCDを求めよ。

Solution解答

	$Find the LCD for \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}, \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3} .$ $次の最小公分母を求める： \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}, \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3}$
Factor each expression completely, lining up common factors. Bring down the columns. 各式を完全に因数分解し、共通因子をそろえる。各列の因子を下ろす。	$\frac{\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3) \\ x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3) \end{matrix}}{LCD = (x + 1) (x - 3) (x + 3)}$ $\frac{\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3) \\ x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3) \end{matrix}}{最小公分母 = (x + 1) (x - 3) (x + 3)}$
Multiply the factors. 因数どうしを掛ける。	$The LCD is (x + 1) (x - 3) (x + 3) .$ $最小公分母は (x + 1) (x - 3) (x + 3)$

Try It (2)確認問題（2題）

Find Equivalent Rational Expressions同値な分数式を求める

When we add numerical fractions, once we find the LCD, we rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD.

英語のヒント

数値の分数を足すときは、LCDを求めたら、各分数をそのLCDを分母とする同値な分数に書き直す。

上の図は、7/12＋5/18という数値の分数の足し算でLCD（最小公分母）を求める方法を示している。図には(7×3)/(12×3)＋5×2＋18×2とあり、その下に21/36＋10/36がある。その横の図には12＝2×2×3、その下には18＝2×3×3とある。線が引かれ、その下にはLCD＝2×2×3×3、さらにその下にはLCD＝36とある。

We will do the same thing for rational expressions.

英語のヒント

分数式でも同じことを行う。

Example 8.39例題 8.39

Rewrite as equivalent rational expressions with denominator

(x + 1) (x - 3) (x + 3)

\frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}, \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3} .

英語のヒント

次を、分母が

(x + 1) (x - 3) (x + 3)

の同値な分数式に書き直せ：

\frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}, \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3}

Solution解答


Factor each denominator. 各分母を因数分解する。
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Multiply each denominator by the 'missing' factor and multiply each numerator by the same factor. 各分母に「不足している」因子を掛け、各分子にも同じ因子を掛ける。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Add Rational Expressions with Different Denominators分母の異なる分数式を足す

Now we have all the steps we need to add rational expressions with different denominators. As we have done previously, we will do one example of adding numerical fractions first.

英語のヒント

これで、分母の異なる分数式を足すために必要な手順がすべてそろった。これまでと同じように、まず数値の分数を足す例を一つ扱う。

Example 8.40例題 8.40

Add:

\frac{7}{12} + \frac{5}{18} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{7}{12} + \frac{5}{18}

Solution解答


Find the LCD of 12 and 18. 12と18の最小公分母を求める。
Rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD. 各分数を、最小公分母を分母とする大きさの等しい分数に書き直す。
Add the fractions. 分数のたし算をする。
The fraction cannot be simplified. この分数はこれ以上簡単にできない。

Try It (2)確認問題（2題）

Now we will add rational expressions whose denominators are monomials.

英語のヒント

次に、分母が単項式である分数式を足す。

Example 8.41例題 8.41

Add:

\frac{5}{12 x^{2} y} + \frac{4}{21 x y^{2}} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{5}{12 x^{2} y} + \frac{4}{21 x y^{2}}

Solution解答


Find the LCD of $12 x^{2} y$ and $21 x y^{2}$ . $12 x^{2} y$ と $21 x y^{2}$ のLCDを求める。

Rewrite each rational expression as an equivalent fraction with the LCD. 各分数式を、LCDを分母とする同値な分数に書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Add the rational expressions. 有理式を足す。
There are no factors common to the numerator and denominator. The fraction cannot be simplified. 分子と分母に共通する因子はない。この分数はこれ以上簡単にできない。

Try It (2)確認問題（2題）

Now we are ready to tackle polynomial denominators.

英語のヒント

これで、多項式の分母に取り組む準備ができた。

Example 8.42例題 8.42

How to Add Rational Expressions with Different Denominators分母の異なる分数式を足す方法

Add:

\frac{3}{x - 3} + \frac{2}{x - 2} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{3}{x - 3} + \frac{2}{x - 2}

Solution解答

上の図は、5/(12x²y)＋4/(21xy²)という例で、分母が単項式である分数を足す手順を示している。12x²yと21xy²のLCDを求める。この式の右には12x²y＝2×2×3×x×x×y、その下には21xy²＝3×7×x×y×yとある。線が引かれ、その下にはLCD＝2×2×3×7×x×x×y×y、さらに下にはLCD＝84x²y²とある。各分数式を、LCDを分母とする同値な分数に書き直す。元の方程式が示され、その下には(5×7y)/(12x²y×7y)＋(4×4x)/(21xy²×4x)とある。簡単にすると35y/(84x²y²)＋16x/(x²y²)となる。分数式を足すと(16x＋35y)/(84x²y²)となる。分子と分母に共通する因子はなく、この分数はこれ以上簡単にできない。

手順2では分数式を足す。次に分子を足し、その和を共通分母の上に置くと、(3x−6＋2x−6)/[(x−3)(x−2)]となる。

手順3では、可能なら簡単にする。5x−12は因数分解できないため、答えの(5x−12)/[(x−3)(x−2)]は簡単な形である。

Try It (2)確認問題（2題）

The steps to use to add rational expressions are summarized in the following procedure box.

英語のヒント

分数式を足す手順を、次の手順の囲みにまとめる。

Example 8.43例題 8.43

Add:

\frac{2 a}{2 a b + b^{2}} + \frac{3 a}{4 a^{2} - b^{2}} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{2 a}{2 a b + b^{2}} + \frac{3 a}{4 a^{2} - b^{2}}

Solution解答


Do the expressions have a common denominator? No. Rewrite each expression with the LCD. 分母は共通か。共通ではない。各式の分母をLCDに書き直す。
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD. それぞれの有理式を、最小公分母を分母とする等しい有理式に書き直す。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。
Add the rational expressions. 有理式を足す。
Simplify the numerator. 分子を簡単にする。
Factor the numerator. 分子を因数分解する。
There are no factors common to the numerator and denominator. The fraction cannot be simplified. 分子と分母に共通する因子はない。この分数はこれ以上簡単にできない。

Try It (2)確認問題（2題）

Avoid the temptation to simplify too soon! In the example above, we must leave the first rational expression as

\frac{2 a (2 a - b)}{b (2 a + b) (2 a - b)}

to be able to add it to

\frac{3 a \cdot b}{(2 a + b) (2 a - b) \cdot b}

. Simplify only after you have combined the numerators.

英語のヒント

早く簡単にしたくなっても待とう。上の例では、

\frac{3 a \cdot b}{(2 a + b) (2 a - b) \cdot b}

を足せるようにするため、最初の分数式を

\frac{2 a (2 a - b)}{b (2 a + b) (2 a - b)}

のままにしておく必要がある。分子をまとめてから簡単にする。

Example 8.44例題 8.44

Add:

\frac{8}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{8}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 3}

Solution解答


Do the expressions have a common denominator? No. Rewrite each expression with the LCD. 分母は共通か。共通ではない。各式の分母をLCDに書き直す。
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite each rational expression as an equivalent fraction with the LCD. 各分数式を、LCDを分母とする同値な分数に書き直す。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。
Add the rational expressions. 有理式を足す。
Simplify the numerator. 分子を簡単にする。
The numerator is prime, so there are no common factors. 分子は既約なので、共通因子はない。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.4 Add and Subtract Rational Expressions with Unlike Denominators8.4 分母の異なる分数式の足し算と引き算

Learning Objectives学習目標

Find the Least Common Denominator of Rational Expressions分数式の最小公分母を求める

Solution解答

Find Equivalent Rational Expressions同値な分数式を求める

Solution解答

Add Rational Expressions with Different Denominators分母の異なる分数式を足す

Solution解答

Solution解答

How to Add Rational Expressions with Different Denominators分母の異なる分数式を足す方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

8.4 Add and Subtract Rational Expressions with Unlike Denominators8.4　分母の異なる分数式の足し算と引き算