第8章有理式と有理方程式

8.2 Multiply and Divide Rational Expressions8.2　分数式の掛け算と割り算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Multiply rational expressions
英語のヒント
分数式を掛ける
Divide rational expressions
英語のヒント
分数式を割る

Before You Begin (5)準備問題（5題）

Multiply Rational Expressions分数式を掛ける

To multiply rational expressions, we do just what we did with numerical fractions. We multiply the numerators and multiply the denominators. Then, if there are any common factors, we remove them to simplify the result.

英語のヒント

分数式の掛け算では、数値の分数に対して行ったのと同じことを行う。分子どうしと分母どうしを掛ける。次に、共通因子があれば取り除き、結果を簡単にする。

We’ll do the first example with numerical fractions to remind us of how we multiplied fractions without variables.

英語のヒント

変数を含まない分数の掛け算を思い出すため、最初の例では数値の分数を扱う。

Example 8.17例題 8.17

Multiply:

\frac{10}{28} \cdot \frac{8}{15} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

\frac{10}{28} \cdot \frac{8}{15}

Solution解答


Multiply the numerators and denominators. 分子どうし、分母どうしを掛ける。
Look for common factors, and then remove them. 共通因子を見つけ、取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, throughout this chapter, we will assume that all numerical values that would make the denominator be zero are excluded. We will not write the restrictions for each rational expression, but keep in mind that the denominator can never be zero. So in this next example,

x \neq 0

and

y \neq 0

英語のヒント

この章を通して、分母を0にするすべての数値は除外されていると考えることを思い出そう。分数式ごとに制限は書かないが、分母は決して0になれない。したがって、次の例では

x \neq 0

かつ

y \neq 0

である。

Example 8.18例題 8.18

Mulitply:

\frac{2 x}{3 y^{2}} \cdot \frac{6 x y^{3}}{x^{2} y} .

英語のヒント

掛け算せよ：

\frac{2 x}{3 y^{2}} \cdot \frac{6 x y^{3}}{x^{2} y}

Solution解答


Multiply. 掛ける。
Factor the numerator and denominator completely, and then remove common factors. 分子と分母を完全に因数分解してから、共通因子を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.19例題 8.19

How to Multiply Rational Expressions分数式を掛ける方法

Mulitply:

\frac{2 x}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 9}{6 x^{2}} .

英語のヒント

掛け算せよ：

\frac{2 x}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 9}{6 x^{2}}

Solution解答

上の図は3列3行で、分数式の掛け算の方法を示している。手順1では、各分子と分母を完全に因数分解する。x²−9とx²−7x＋12を因数分解する。分数方程式は[2x/(x²＋x＋12)]×[(x²−9)/(6x²)]であり、次に[2x/((x−3)(x−4))]×[((x−3)(x＋3))/(6x²)]となる。

手順2では分子どうしと分母どうしを掛ける。先に単項式を掛けるとよい。2x(x−3)(x＋3)/[6x²(x−3)(x−4)]を計算する。

手順3では共通因子で約分し、分子の2、x、x−3と分母の2、x、x−3を消す。分母は因数分解した形のままにし、(x＋3)/[3x(x−4)]を得る。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.20例題 8.20

Multiply:

\frac{n^{2} - 7 n}{n^{2} + 2 n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2 n} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

\frac{n^{2} - 7 n}{n^{2} + 2 n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2 n}

Solution解答

	$\frac{n^{2} - 7 n}{n^{2} + 2 n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2 n}$
Factor each numerator and denominator. 各分子と分母を因数分解する。	$\frac{n (n - 7)}{(n + 1) (n + 1)} \cdot \frac{n + 1}{2 n}$
Multiply the numerators and the denominators. 分子どうしと分母どうしを掛ける。	$\frac{n (n - 7) (n + 1)}{(n + 1) (n + 1) 2 n}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{n (n - 7) (n + 1)}{(n + 1) (n + 1) 2 n}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{n - 7}{2 (n + 1)}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.21例題 8.21

Multiply:

\frac{16 - 4 x}{2 x - 12} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} - 16} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

\frac{16 - 4 x}{2 x - 12} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} - 16}

Solution解答

	$\frac{16 - 4 x}{2 x - 12} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} - 16}$
Factor each numerator and denominator. 各分子と分母を因数分解する。	$\frac{4 (4 - x)}{2 (x - 6)} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{(x - 4) (x + 4)}$
Multiply the numerators and the denominators. 分子どうしと分母どうしを掛ける。	$\frac{4 (4 - x) (x - 6) (x + 1)}{2 (x - 6) (x - 4) (x + 4)}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$(−1) \frac{2 \cdot 2 (4 - x) (x - 6) (x + 1)}{2 (x - 6) (x - 4) (x + 4)}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{2 (x + 1)}{(x + 4)}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.22例題 8.22

Multiply:

\frac{2 x - 6}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 25}{2 x + 10} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

\frac{2 x - 6}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 25}{2 x + 10}

Solution解答


Factor each numerator and denominator. 各分子と分母を因数分解する。
Multiply the numerators and denominators. 分子どうし、分母どうしを掛ける。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Divide Rational Expressions有理式の割り算

To divide rational expressions we multiply the first fraction by the reciprocal of the second, just like we did for numerical fractions.

英語のヒント

分数式を割るには、数値の分数と同じように、最初の分数に2番目の分数の逆数を掛ける。

Remember, the reciprocal of

\frac{a}{b}

\frac{b}{a}

. To find the reciprocal we simply put the numerator in the denominator and the denominator in the numerator. We “flip” the fraction.

英語のヒント

\frac{a}{b}

の逆数は

\frac{b}{a}

であることを思い出そう。逆数を求めるには、分子を分母に、分母を分子に入れ替えるだけでよい。分数を「ひっくり返す」のである。

Example 8.23例題 8.23

How to Divide Rational Expressions分数式を割る方法

Divide:

\frac{x + 9}{6 - x} \div \frac{x^{2} - 81}{x - 6} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{x + 9}{6 - x} \div \frac{x^{2} - 81}{x - 6}

Solution解答

上の図には3列あり、分数式を割る手順を示している。手順1では、[(x＋9)/(6−x)]÷[(x²−81)/(x−6)]という割り算を、最初の分数式と2番目の分数式の逆数の積に書き直す。2番目の分数を「ひっくり返し」、割り算の記号を掛け算に変えると、[(x＋9)/(6−x)]×[(x−6)/(x²−81)]となる。

手順2では分子と分母を完全に因数分解する。x²−81を因数分解すると、[(x＋9)/(6−x)]×[(x−6)/((x−9)(x＋9))]となる。

手順3では分子どうしと分母どうしを掛け、[(x＋9)(x−6)]/[(6−x)(x−9)(x＋9)]を得る。

手順4では共通因子で約分して簡単にする。分子の共通因子x＋9、x−6と、分母の6−x、x＋9で約分する。互いに符号が反対の式を割ると−1になることを思い出そう。簡単にすると−1/(x−9)となる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.24例題 8.24

Divide:

\frac{3 n^{2}}{n^{2} - 4 n} \div \frac{9 n^{2} - 45 n}{n^{2} - 7 n + 10} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{3 n^{2}}{n^{2} - 4 n} \div \frac{9 n^{2} - 45 n}{n^{2} - 7 n + 10}

Solution解答


Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second. 割り算を、最初の分数式と2番目の分数式の逆数の積に書き直す。
Factor the numerators and denominators and then multiply. 分子と分母を因数分解してから掛ける。
Simplify by dividing out common factors. 共通因子を約分して簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, first rewrite the division as multiplication of the first expression by the reciprocal of the second. Then factor everything and look for common factors.

英語のヒント

まず割り算を、最初の式と2番目の式の逆数との掛け算に書き直すことを思い出そう。その後ですべてを因数分解し、共通因子を探す。

Example 8.25例題 8.25

Divide:

\frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 16} \div \frac{2 x^{2} - 13 x + 15}{x^{2} - 8 x + 16} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 16} \div \frac{2 x^{2} - 13 x + 15}{x^{2} - 8 x + 16}

Solution解答

	$\frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 16} \div \frac{2 x^{2} - 13 x + 15}{x^{2} - 8 x + 16}$
Rewrite the division as multiplication of the first expression by the reciprocal of the second. 割り算を、最初の式と2番目の式の逆数との掛け算に書き直す。	$\frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{2 x^{2} - 13 x + 15}$
Factor the numerators and denominators and then multiply. 分子と分母を因数分解してから掛ける。	$\frac{(2 x - 3) (x + 4) (x - 4) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4) (2 x - 3) (x - 5)}$
Simplify by dividing out common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(2 x - 3) (x + 4) (x - 4) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4) (2 x - 3) (x - 5)}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{x - 4}{x - 5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.26例題 8.26

Divide:

\frac{p^{3} + q^{3}}{2 p^{2} + 2 p q + 2 q^{2}} \div \frac{p^{2} - q^{2}}{6} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{p^{3} + q^{3}}{2 p^{2} + 2 p q + 2 q^{2}} \div \frac{p^{2} - q^{2}}{6}

Solution解答

	$\frac{p^{3} + q^{3}}{2 p^{2} + 2 p q + 2 q^{2}} \div \frac{p^{2} - q^{2}}{6}$
Rewrite the division as a multiplication of the first expression times the reciprocal of the second. 割り算を、最初の式と2番目の式の逆数との掛け算に書き直す。	$\frac{p^{3} + q^{3}}{2 p^{2} + 2 p q + 2 q^{2}} \cdot \frac{6}{p^{2} - q^{2}}$
Factor the numerators and denominators and then multiply. 分子と分母を因数分解してから掛ける。	$\frac{(p + q) (p^{2} - p q + q^{2}) 6}{2 (p^{2} + p q + q^{2}) (p - q) (p + q)}$
Simplify by dividing out common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(p + q) (p^{2} - p q + q^{2}) 6^{3}}{2 (p^{2} + p q + q^{2}) (p - q) (p + q)}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3 (p^{2} - p q + q^{2})}{(p - q) (p^{2} + p q + q^{2})}$

Try It (2)確認問題（2題）

Before doing the next example, let’s look at how we divide a fraction by a whole number. When we divide

\frac{3}{5} \div 4

, we first write 4 as a fraction so that we can find its reciprocal.

英語のヒント

次の例に進む前に、分数を整数で割る方法を見ておこう。

\frac{3}{5} \div 4

を計算する際は、逆数を求められるように、まず4を分数として書く。

\begin{matrix} \frac{3}{5} \div 4 \\ \frac{3}{5} \div \frac{4}{1} \\ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} \end{matrix}

We do the same thing when we divide rational expressions.

英語のヒント

分数式を割るときも同じことを行う。

Example 8.27例題 8.27

Divide:

\frac{a^{2} - b^{2}}{3 a b} \div (a^{2} + 2 a b + b^{2}) .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{a^{2} - b^{2}}{3 a b} \div (a^{2} + 2 a b + b^{2})

Solution解答

	$\frac{a^{2} - b^{2}}{3 a b} \div (a^{2} + 2 a b + b^{2})$
Write the second expression as a fraction. 2番目の式を分数として書く。	$\frac{a^{2} - b^{2}}{3 a b} \div \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{1}$
Rewrite the division as the first expression times the reciprocal of the second expression. 割り算を、最初の式と2番目の式の逆数との掛け算に書き直す。	$\frac{a^{2} - b^{2}}{3 a b} \cdot \frac{1}{a^{2} + 2 a b + b^{2}}$
Factor the numerators and the denominators, and then multiply. 分子と分母を因数分解してから掛ける。	$\frac{(a - b) (a + b) \cdot 1}{3 a b \cdot (a + b) (a + b)}$
Simplify by dividing out common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(a - b) (a + b)}{3 a b \cdot (a + b) (a + b)}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{(a - b)}{3 a b (a + b)}$

Try It (2)確認問題（2題）

Remember a fraction bar means division. A complex fraction is another way of writing division of two fractions.

英語のヒント

分数線は割り算を表すことを思い出そう。繁分数は二つの分数の割り算を表す別の書き方である。

Example 8.28例題 8.28

Divide:

\frac{\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}}{\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}}{\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}}

Solution解答

	$\frac{\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}}{\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}}$
Rewrite with a division sign. 割り算の記号を使って書き直す。	$\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8} \div \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$
Rewrite as product of first times reciprocal of second. 最初の分数と2番目の分数の逆数との積に書き直す。	$\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{2 x^{2} - 7 x + 3}$
Factor the numerators and the denominators, and then multiply. 分子と分母を因数分解してから掛ける。	$\frac{(2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3)}{4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3)}$
Simplify by dividing out common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3)}{4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3)}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3 x - 2}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

If we have more than two rational expressions to work with, we still follow the same procedure. The first step will be to rewrite any division as multiplication by the reciprocal. Then we factor and multiply.

英語のヒント

三つ以上の分数式を扱う場合も、同じ手順に従う。最初の手順は、すべての割り算を逆数との掛け算に書き直すことである。その後で因数分解して掛ける。

Example 8.29例題 8.29

Divide:

\frac{3 x - 6}{4 x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 3 x - 10} \div \frac{2 x + 12}{8 x + 16} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

\frac{3 x - 6}{4 x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 3 x - 10} \div \frac{2 x + 12}{8 x + 16}

Solution解答


Rewrite the division as multiplication by the reciprocal. 割り算を逆数との掛け算に書き直す。
Factor the numerators and the denominators, and then multiply. 分子と分母を因数分解してから掛ける。
Simplify by dividing out common factors. 共通因子を約分して簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.2 Multiply and Divide Rational Expressions8.2 分数式の掛け算と割り算

Learning Objectives学習目標

Multiply Rational Expressions分数式を掛ける

Solution解答

Solution解答

How to Multiply Rational Expressions分数式を掛ける方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Divide Rational Expressions有理式の割り算

How to Divide Rational Expressions分数式を割る方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

8.2 Multiply and Divide Rational Expressions8.2　分数式の掛け算と割り算