第8章有理式と有理方程式

Solve Inverse Variation Problems反比例の問題を解く

Many applications involve two variable that vary inversely. As one variable increases, the other decreases. The equation that relates them is

y = \frac{k}{x}

英語のヒント

多くの応用問題には、反比例する二つの変数が関係する。一方の変数が増えると、他方は減る。それらを関連付ける方程式は

y = \frac{k}{x}

である。

The word ‘inverse’ in inverse variation refers to the multiplicative inverse. The multiplicative inverse of x is

\frac{1}{x}

英語のヒント

反比例の英語表現にある「inverse」は、乗法の逆元を指す。xの乗法の逆元は

\frac{1}{x}

である。

We solve inverse variation problems in the same way we solved direct variation problems. Only the general form of the equation has changed. We will copy the procedure box here and just change ‘direct’ to ‘inverse’.

英語のヒント

反比例の問題も比例の問題と同じ方法で解く。変わったのは方程式の一般形だけである。ここに手順の囲みを再掲し、「比例」を「反比例」に変える。

Example 8.90例題 8.90

If y varies inversely with

x

and

y = 20

when

x = 8

, find the equation that relates x and y.

英語のヒント

yは

x

に反比例し、

x = 8

のとき

y = 20

である。xとyを関連付ける方程式を求めよ。

Solution解答

Write the formula for inverse variation. 反比例の公式を書く。
Substitute the given values for the variables. 変数に与えられた値を代入する。

Solve for the constant of variation. 比例定数を求める。

Write the equation that relates $x$ and $y$ . $x$ と $y$ の関係を表す方程式を書く。
Substitute in the constant of variation. 比例定数を代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.91例題 8.91

The fuel consumption (mpg) of a car varies inversely with its weight. A car that weighs 3100 pounds gets 26 mpg on the highway.

英語のヒント

車の燃費（1ガロン当たりのマイル数）は重さに反比例する。重さ3100ポンドの車は、高速道路で1ガロン当たり26マイル走る。

ⓐ Write the equation of variation.
英語のヒント
ⓐ 比例・反比例の関係を表す方程式を書け。
ⓑ What would be the fuel consumption of a car that weighs 4030 pounds?
英語のヒント
ⓑ 重さ4030ポンドの車の燃費はいくらになるか。

Solution解答

ⓐ

	The fuel consumption varies inversely with the weight. 燃費は重さに反比例する。
First we will name the variables. まず変数を決める。	Let $f =$ fuel consumption. $w =$ weight $f =$ 燃費、 $w =$ 重さとする。
Write the formula for inverse variation. 反比例の公式を書く。
We will use $f$ in place of $y$ and $w$ in place of $x$ . $y$ の代わりに $f$ を使い、 $x$ の代わりに $w$ を使う。
Substitute the given values for the variables. 変数に与えられた値を代入する。

Solve for the constant of variation. 比例定数を求める。

Write the equation that relates $f$ and $w$ . $f$ と $w$ の関係を表す方程式を書く。
Substitute in the constant of variation. 比例定数を代入する。

ⓑ

	$Find f when w = 4030 .$ $求める値： f のとき w = 4030$
Write the equation that relates f and w. fとwを関連付ける方程式を書く。	$f = \frac{80,600}{w}$
Substitute the given value for w. wに与えられた値を代入する。	$f = \frac{80,600}{4030}$
Simplify. 簡単にする。	$f = 20$ A car that weighs 4030 pounds would have fuel consumption of 20 mpg. $f = 20$ 重さ4030ポンドの車の燃費は1ガロン当たり20マイルとなる。

Try It (2)確認問題（2題）

Question 2問題 2

The time required to empty a pool varies inversely as the rate of pumping. It took Lucy 2.5 hours to empty her pool using a pump that was rated at 400 gpm (gallons per minute).

英語のヒント

プールを空にするのに必要な時間は、ポンプの排水速度に反比例する。ルーシーは毎分400ガロン（gpm）のポンプを使い、2.5時間でプールを空にした。

ⓐ Write the equation of variation.
英語のヒント
ⓐ 比例・反比例の関係を表す方程式を書け。
ⓑ How long will it take her to empty the pool using a pump rated at 500 gpm?
英語のヒント
ⓑ 毎分500ガロンのポンプを使うと、プールを空にするのにどれだけかかるか。

Solution解答

ⓐ

t = \frac{1000}{r}

ⓑ 2 hours

英語のヒント

ⓐ

t = \frac{1000}{r}

ⓑ 2時間

Example 8.92例題 8.92

The frequency of a guitar string varies inversely with its length. A 26” long string has a frequency of 440 vibrations per second.

英語のヒント

ギターの弦の振動数は長さに反比例する。長さ26インチの弦は毎秒440回振動する。

ⓐ Write the equation of variation.
英語のヒント
ⓐ 比例・反比例の関係を表す方程式を書け。
ⓑ How many vibrations per second will there be if the string’s length is reduced to 20” by putting a finger on a fret?
英語のヒント
ⓑ フレットを指で押さえて弦の長さを20インチにすると、毎秒何回振動するか。

Solution解答

ⓐ

	The frequency varies inversely with the length. 振動数は長さに反比例する。
Name the variables. 変数を決める。	Let $f =$ frequency. $L =$ length $f =$ 振動数、 $L =$ 長さとする。
Write the formula for inverse variation. 反比例の公式を書く。
We will use $f$ in place of $y$ and $L$ in place of $x$ . $y$ の代わりに $f$ を使い、 $x$ の代わりに $L$ を使う。
Substitute the given values for the variables. 変数に与えられた値を代入する。

Solve for the constant of variation. 比例定数を求める。

Write the equation that relates $f$ and $L$ . $f$ と $L$ の関係を表す方程式を書く。
Substitute in the constant of variation. 比例定数を代入する。

ⓑ

	$Find f when L = 20 .$ $求める値： f のとき L = 20$
Write the equation that relates f and L. fとLを関連付ける方程式を書く。	$f = \frac{11,440}{L}$
Substitute the given value for L. Lに与えられた値を代入する。	$f = \frac{11,440}{20}$
Simplify. 簡単にする。	$f = 572$ A 20” guitar string has frequency 572 vibrations per second. $f = 572$ 20インチのギターの弦の振動数は毎秒572回である。

Try It (2)確認問題（2題）