第8章有理式と有理方程式

8.3 Add and Subtract Rational Expressions with a Common Denominator8.3　共通分母を持つ分数式の足し算と引き算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Add rational expressions with a common denominator
英語のヒント
共通分母を持つ分数式を足す
Subtract rational expressions with a common denominator
英語のヒント
共通分母を持つ分数式を引く
Add and subtract rational expressions whose denominators are opposites
英語のヒント
分母の符号が互いに反対の分数式を足し引きする

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Add Rational Expressions with a Common Denominator共通分母を持つ分数式を足す

What is the first step you take when you add numerical fractions? You check if they have a common denominator. If they do, you add the numerators and place the sum over the common denominator. If they do not have a common denominator, you find one before you add.

英語のヒント

数値の分数を足すとき、最初に何をするだろうか。分母が共通かどうかを確かめる。共通なら分子を足し、その和を共通分母の上に置く。分母が共通でなければ、足す前に共通分母を求める。

It is the same with rational expressions. To add rational expressions, they must have a common denominator. When the denominators are the same, you add the numerators and place the sum over the common denominator.

英語のヒント

分数式でも同じである。分数式を足すには、共通分母が必要である。分母が同じなら、分子を足してその和を共通分母の上に置く。

We will add two numerical fractions first, to remind us of how this is done.

英語のヒント

やり方を思い出すために、まず二つの数値の分数を足す。

Example 8.30例題 8.30

Add:

\frac{5}{18} + \frac{7}{18} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{5}{18} + \frac{7}{18}

Solution解答

	$\frac{5}{18} + \frac{7}{18}$
The fractions have a common denominator, so add the numerators and place the sum over the common denominator. 分母が共通なので、分子を足してその和を共通分母の上に置く。	$\frac{5 + 7}{18}$
Add in the numerator. 分子の足し算をする。	$\frac{12}{18}$
Factor the numerator and denominator to show the common factors. 共通因子が分かるように分子と分母を因数分解する。	$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{2}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, we do not allow values that would make the denominator zero. What value of

y

should be excluded in the next example?

英語のヒント

分母を0にする値は認められないことを思い出そう。次の例では

y

のどの値を除外する必要があるか。

Example 8.31例題 8.31

Add:

\frac{3 y}{4 y - 3} + \frac{7}{4 y - 3} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{3 y}{4 y - 3} + \frac{7}{4 y - 3}

Solution解答

	$\frac{3 y}{4 y - 3} + \frac{7}{4 y - 3}$
The fractions have a common denominator, so add the numerators and place the sum over the common denominator. 分母が共通なので、分子を足してその和を共通分母の上に置く。	$\frac{3 y + 7}{4 y - 3}$

The numerator and denominator cannot be factored. The fraction is simplified.

英語のヒント

分子と分母は因数分解できない。この分数は簡単な形である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.32例題 8.32

Add:

\frac{7 x + 12}{x + 3} + \frac{x^{2}}{x + 3} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{7 x + 12}{x + 3} + \frac{x^{2}}{x + 3}

Solution解答

	$\frac{7 x + 12}{x + 3} + \frac{x^{2}}{x + 3}$
The fractions have a common denominator, so add the numerators and place the sum over the common denominator. 分母が共通なので、分子を足してその和を共通分母の上に置く。	$\frac{7 x + 12 + x^{2}}{x + 3}$
Write the degrees in descending order. 次数の高い順に書く。	$\frac{x^{2} + 7 x + 12}{x + 3}$
Factor the numerator. 分子を因数分解する。	$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 3}$
Simplify by removing common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 3}$
Simplify. 簡単にする。	$x + 4$

Try It (2)確認問題（2題）

Subtract Rational Expressions with a Common Denominator共通分母を持つ分数式を引く

To subtract rational expressions, they must also have a common denominator. When the denominators are the same, you subtract the numerators and place the difference over the common denominator.

英語のヒント

分数式を引く場合にも共通分母が必要である。分母が同じなら、分子を引いてその差を共通分母の上に置く。

We always simplify rational expressions. Be sure to factor, if possible, after you subtract the numerators so you can identify any common factors.

英語のヒント

分数式は必ず簡単にする。分子を引いた後、共通因子を見つけられるように、可能なら必ず因数分解する。

Example 8.33例題 8.33

Subtract:

\frac{n^{2}}{n - 10} - \frac{100}{n - 10} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{n^{2}}{n - 10} - \frac{100}{n - 10}

Solution解答

	$\frac{n^{2}}{n - 10} - \frac{100}{n - 10}$
The fractions have a common denominator, so subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分母が共通なので、分子を引いてその差を共通分母の上に置く。	$\frac{n^{2} - 100}{n - 10}$
Factor the numerator. 分子を因数分解する。	$\frac{(n - 10) (n + 10)}{n - 10}$
Simplify by removing common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(n - 10) (n + 10)}{n - 10}$
Simplify. 簡単にする。	$n + 10$

Try It (2)確認問題（2題）

Be careful of the signs when you subtract a binomial!

英語のヒント

二項式を引くときは符号に注意しよう。

Example 8.34例題 8.34

Subtract:

\frac{y^{2}}{y - 6} - \frac{2 y + 24}{y - 6} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{y^{2}}{y - 6} - \frac{2 y + 24}{y - 6}

Solution解答

	$\frac{y^{2}}{y - 6} - \frac{2 y + 24}{y - 6}$
The fractions have a common denominator, so subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分母が共通なので、分子を引いてその差を共通分母の上に置く。	$\frac{y^{2} - (2 y + 24)}{y - 6}$
Distribute the sign in the numerator. 分子に符号を分配する。	$\frac{y^{2} - 2 y - 24}{y - 6}$
Factor the numerator. 分子を因数分解する。	$\frac{(y - 6) (y + 4)}{y - 6}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{(y - 6) (y + 4)}{y - 6}$
Simplify. 簡単にする。	$y + 4$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.35例題 8.35

Subtract:

\frac{5 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{4 x^{2} + x - 9}{x^{2} - 3 x - 18} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{5 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{4 x^{2} + x - 9}{x^{2} - 3 x - 18}

Solution解答

	$\frac{5 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{4 x^{2} + x - 9}{x^{2} - 3 x - 18}$
Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分子を引き、その差を共通分母の上に置く。	$\frac{5 x^{2} - 7 x + 3 - (4 x^{2} + x - 9)}{x^{2} - 3 x - 18}$
Distribute the sign in the numerator. 分子に符号を分配する。	$\frac{5 x^{2} - 7 x + 3 - 4 x^{2} - x + 9}{x^{2} - 3 x - 18}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 3 x - 18}$
Factor the numerator and the denominator. 分子と分母を因数分解する。	$\frac{(x - 2) (x - 6)}{(x + 3) (x - 6)}$
Simplify by removing common factors. 共通因子を約分して簡単にする。	$\frac{(x - 2) (x - 6)}{(x + 3) (x - 6)}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{(x - 2)}{(x + 3)}$

Try It (2)確認問題（2題）

Add and Subtract Rational Expressions whose Denominators are Opposites分母の符号が互いに反対の分数式を足し引きする

When the denominators of two rational expressions are opposites, it is easy to get a common denominator. We just have to multiply one of the fractions by

\frac{−1}{−1}

英語のヒント

二つの分数式の分母が互いに符号を反対にした式なら、簡単に共通分母を得られる。一方の分数に

\frac{−1}{−1}

を掛けるだけでよい。

Let’s see how this works.

英語のヒント

これがどのように働くか見てみよう。


Multiply the second fraction by $\frac{−1}{−1}$ . 2番目の分数に $\frac{−1}{−1}$ を掛ける。
The denominators are the same. 分母が同じになった。
Simplify. 簡単にする。

Example 8.36例題 8.36

Add:

\frac{4 u - 1}{3 u - 1} + \frac{u}{1 - 3 u} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{4 u - 1}{3 u - 1} + \frac{u}{1 - 3 u}

Solution解答


The denominators are opposites, so multiply the second fraction by $\frac{−1}{−1}$ . 分母の符号が互いに反対なので、2番目の分数に $\frac{−1}{−1}$ を掛ける。
Simplify the second fraction. 2番目の分数を簡単にする。
The denominators are the same. Add the numerators. 分母が同じになった。分子を足す。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.37例題 8.37

Subtract:

\frac{m^{2} - 6 m}{m^{2} - 1} - \frac{3 m + 2}{1 - m^{2}} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{m^{2} - 6 m}{m^{2} - 1} - \frac{3 m + 2}{1 - m^{2}}

Solution解答


The denominators are opposites, so multiply the second fraction by $\frac{−1}{−1}$ . 分母の符号が互いに反対なので、2番目の分数に $\frac{−1}{−1}$ を掛ける。
Simplify the second fraction. 2番目の分数を簡単にする。
The denominators are the same. Subtract the numerators. 分母が同じになった。分子を引く。
Distribute. 分配法則を使う。	$\frac{m^{2} - 6 m + 3 m + 2}{m^{2} - 1}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Factor the numerator and denominator. 分子と分母を因数に分解する。
Simplify by removing common factors. 共通因子を約分して簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.3 Add and Subtract Rational Expressions with a Common Denominator8.3 共通分母を持つ分数式の足し算と引き算

Learning Objectives学習目標

Add Rational Expressions with a Common Denominator共通分母を持つ分数式を足す

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Subtract Rational Expressions with a Common Denominator共通分母を持つ分数式を引く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Add and Subtract Rational Expressions whose Denominators are Opposites分母の符号が互いに反対の分数式を足し引きする

Solution解答

Solution解答

8.3 Add and Subtract Rational Expressions with a Common Denominator8.3　共通分母を持つ分数式の足し算と引き算