第8章有理式と有理方程式

8.6 Solve Rational Equations8.6　有理方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve rational equations
英語のヒント
分数方程式を解く
Solve a rational equation for a specific variable
英語のヒント
分数方程式を特定の変数について解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

After defining the terms expression and equation early in Foundations, we have used them throughout this book. We have simplified many kinds of expressions and solved many kinds of equations. We have simplified many rational expressions so far in this chapter. Now we will solve rational equations.

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「基礎」の最初のほうで式と方程式という用語を定義して以来、この本全体でそれらを使ってきた。多くの種類の式を簡単にし、多くの種類の方程式を解いてきた。この章でも、ここまで多くの分数式を簡単にしてきた。次は分数方程式を解く。

The definition of a rational equation is similar to the definition of equation we used in Foundations.

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分数方程式の定義は、「基礎」で使った方程式の定義に似ている。

You must make sure to know the difference between rational expressions and rational equations. The equation contains an equal sign.

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分数式と分数方程式の違いを必ず理解しておく。方程式には等号が含まれる。

\begin{matrix} Rational Expression & Rational Equation \\ \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} & \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{y + 6}{y^{2} - 36} & \frac{y + 6}{y^{2} - 36} = y + 1 \\ \frac{1}{n - 3} + \frac{1}{n + 4} & \frac{1}{n - 3} + \frac{1}{n + 4} = \frac{15}{n^{2} + n - 12} \end{matrix}

\begin{matrix} 分数式 & 分数方程式 \\ \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} & \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{y + 6}{y^{2} - 36} & \frac{y + 6}{y^{2} - 36} = y + 1 \\ \frac{1}{n - 3} + \frac{1}{n + 4} & \frac{1}{n - 3} + \frac{1}{n + 4} = \frac{15}{n^{2} + n - 12} \end{matrix}

Solve Rational Equations有理方程式を解く

We have already solved linear equations that contained fractions. We found the LCD of all the fractions in the equation and then multiplied both sides of the equation by the LCD to “clear” the fractions.

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分数を含む一次方程式はすでに解いた。方程式に含まれるすべての分数のLCDを求め、両辺にLCDを掛けて分数を「なくした」。

Here is an example we did when we worked with linear equations:

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一次方程式を扱ったときの例を示す。


We multiplied both sides by the LCD. 両辺にLCDを掛けた。
Then we distributed. 次に分配した。
We simplified—and then we had an equation with no fractions. 簡単にすると、分数を含まない方程式になった。
Finally, we solved that equation. 最後に、その方程式を解いた。

We will use the same strategy to solve rational equations. We will multiply both sides of the equation by the LCD. Then we will have an equation that does not contain rational expressions and thus is much easier for us to solve.

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分数方程式も同じ方針で解く。方程式の両辺にLCDを掛ける。すると分数式を含まない方程式になり、はるかに解きやすくなる。

But because the original equation may have a variable in a denominator we must be careful that we don’t end up with a solution that would make a denominator equal to zero.

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ただし、元の方程式では分母に変数がある場合があるため、分母を0にする解を答えにしないよう注意しなければならない。

So before we begin solving a rational equation, we examine it first to find the values that would make any denominators zero. That way, when we solve a rational equation we will know if there are any algebraic solutions we must discard.

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そのため、分数方程式を解き始める前に、まずいずれかの分母を0にする値を調べる。そうすれば、分数方程式を解いたとき、代数的に得た解のうち捨てなければならないものがあるか分かる。

An algebraic solution to a rational equation that would cause any of the rational expressions to be undefined is called an extraneous solution.

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代数的に求めた分数方程式の解のうち、いずれかの分数式を定義できなくするものを無縁解と呼ぶ。

We note any possible extraneous solutions, c, by writing

x \neq c

next to the equation.

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無縁解となり得る値cについて、方程式の横に

x \neq c

と記す。

Example 8.59例題 8.59

How to Solve Equations with Rational Expressions分数式を含む方程式を解く方法

Solve:

\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .

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次の方程式を解く：

\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

Solution解答

上の図には3列ある。1/x＋1/3＝5/6という分数方程式で無縁解を見つける手順を示している。手順1では、いずれかの分母を0にする変数の値を記す。x＝0なら1/xは定義されない。そこで方程式の横にxを0で割ったものを書き、1/x＋1/3＝5/6にx/0を掛けた形にする。

手順2では、方程式のすべての分母の最小公分母を求める。1/x、1/3、5/6のLCDを求める。xは6xである。

手順3では方程式の両辺にLCDを掛けて分数をなくす。両辺にLCDの6xを掛けると、6×(1/x＋1/3)＝6x×5/6となる。分配法則を使うと6x×1/x＋6x×1/3＝6x×5/6となる。簡単にすると分数がなくなり、6＋2x＝5xとなる。

手順5では確かめる。手順1で見つけた値が代数的に得た解に含まれる場合は、それを捨てる。残りの解を元の方程式で確かめる。代数的に得た解に0はなかった。元の方程式にx＝2を代入すると1/2＋1/3＝5/6、次に3/6＋2/6＝5/6、最後に5/6＝5/6となる。

Try It (2)確認問題（2題）

The steps of this method are shown below.

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この方法の手順を以下に示す。

Solve equations with rational expressions.分数式を含む方程式を解く。

Note any value of the variable that would make any denominator zero.
英語のヒント
いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation.
英語のヒント
方程式のすべての分母の最小公分母を求める。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD.
英語のヒント
方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
Solve the resulting equation.
英語のヒント
得られた方程式を解く。
Check.
英語のヒント
確かめる。
- If any values found in Step 1 are algebraic solutions, discard them.
  英語のヒント
  手順1で見つけた値が代数的に得た解に含まれる場合は、それを捨てる。
- Check any remaining solutions in the original equation.
  英語のヒント
  残りの解を元の方程式で確かめる。

We always start by noting the values that would cause any denominators to be zero.

英語のヒント

まず、いずれかの分母を0にする値を必ず記す。

Example 8.60例題 8.60

Solve:

1 - \frac{5}{y} = - \frac{6}{y^{2}} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

1 - \frac{5}{y} = - \frac{6}{y^{2}}

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is $y^{2}$ . 方程式にあるすべての分母の最小公分母を求める。最小公分母は $y^{2}$ である。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD. 方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。
Solve the resulting equation. First write the quadratic equation in standard form. 得られた方程式を解く。まず二次方程式を標準形で書く。
Factor. 因数分解する。
Use the Zero Product Property. 積が0になる性質を使う。
Solve. 解く。
Check. 確かめる。
We did not get 0 as an algebraic solution. 代数的に得た解に0はなかった。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.61例題 8.61

Solve:

\frac{5}{3 u - 2} = \frac{3}{2 u} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{5}{3 u - 2} = \frac{3}{2 u}

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is $2 u (3 u - 2)$ . 方程式にあるすべての分母の最小公分母を求める。最小公分母は $2 u (3 u - 2)$ である。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD. 方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Multiply. 掛ける。
Solve the resulting equation. 得られた方程式を解く。
We did not get 0 or $\frac{2}{3}$ as algebraic solutions. 代数的に得た解に0と $\frac{2}{3}$ はなかった。

Try It (2)確認問題（2題）

When one of the denominators is a quadratic, remember to factor it first to find the LCD.

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分母の一つが二次式の場合は、LCDを求めるために、まず因数分解することを忘れない。

Example 8.62例題 8.62

Solve:

\frac{2}{p + 2} + \frac{4}{p - 2} = \frac{p - 1}{p^{2} - 4} .

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次の方程式を解く：

\frac{2}{p + 2} + \frac{4}{p - 2} = \frac{p - 1}{p^{2} - 4}

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is $(p + 2) (p - 2)$ . 方程式にあるすべての分母の最小公分母を求める。最小公分母は $(p + 2) (p - 2)$ である。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD. 方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
Distribute. 分配法則を使う。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Distribute. 分配法則を使う。
Solve. 解く。


We did not get $2 or - 2$ as algebraic solutions. 代数的に得た解に $2 または - 2$ はなかった。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.63例題 8.63

Solve:

\frac{4}{q - 4} - \frac{3}{q - 3} = 1 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{4}{q - 4} - \frac{3}{q - 3} = 1

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is $(q - 4) (q - 3)$ . 方程式にあるすべての分母の最小公分母を求める。最小公分母は $(q - 4) (q - 3)$ である。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD. 方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
Distribute. 分配法則を使う。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Solve. First write in standard form. 解く。まず標準形で書く。
Factor. 因数分解する。
Use the Zero Product Property. 積が0になる性質を使う。
We did not get 4 or 3 as algebraic solutions. 代数的に得た解に4と3はなかった。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.64例題 8.64

Solve:

\frac{m + 11}{m^{2} - 5 m + 4} = \frac{5}{m - 4} - \frac{3}{m - 1} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{m + 11}{m^{2} - 5 m + 4} = \frac{5}{m - 4} - \frac{3}{m - 1}

Solution解答


Factor all the denominators, so we can note any value of the variable the would make any denominator zero. いずれかの分母を0にする変数の値を記せるように、すべての分母を因数分解する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is $(m - 4) (m - 1)$ . 方程式にあるすべての分母の最小公分母を求める。最小公分母は $(m - 4) (m - 1)$ である。
Clear the fractions. 分母を払う。
Distribute. 分配法則を使う。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Solve the resulting equation. 得られた方程式を解く。

Check. The only algebraic solution was 4, but we said that 4 would make a denominator equal to zero. The algebraic solution is an extraneous solution. There is no solution to this equation. 確かめる。代数的に得られた唯一の解は4だったが、4では分母が0になると述べていた。この代数的に得た解は無縁解である。この方程式に解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

The equation we solved in Example 8.64 had only one algebraic solution, but it was an extraneous solution. That left us with no solution to the equation. Some equations have no solution.

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例8.64で解いた方程式には、代数的に得られた解が一つだけあったが、それは無縁解だった。その結果、この方程式には解がなかった。解のない方程式もある。

Example 8.65例題 8.65

Solve:

\frac{n}{12} + \frac{n + 3}{3 n} = \frac{1}{n} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{n}{12} + \frac{n + 3}{3 n} = \frac{1}{n}

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is $12 n$ . 方程式にあるすべての分母の最小公分母を求める。最小公分母は $12 n$ である。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD. 方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
Distribute. 分配法則を使う。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Solve the resulting equation. 得られた方程式を解く。



Check. 確かめる。
$n = 0$ is an extraneous solution. $n = 0$ は無縁解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.66例題 8.66

Solve:

\frac{y}{y + 6} = \frac{72}{y^{2} - 36} + 4 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{y}{y + 6} = \frac{72}{y^{2} - 36} + 4

Solution解答


Factor all the denominators, so we can note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母を0にする変数の値を記せるように、すべての分母を因数分解する。
Find the least common denominator. The LCD is $(y - 6) (y + 6)$ . 最小公分母を求める。LCDは $(y - 6) (y + 6)$ である。
Clear the fractions. 分母を払う。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Solve the resulting equation. 得られた方程式を解く。




Check. 確かめる。
$y = - 6$ is an extraneous solution. $y = - 6$ は無縁解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.67例題 8.67

Solve:

\frac{x}{2 x - 2} - \frac{2}{3 x + 3} = \frac{5 x^{2} - 2 x + 9}{12 x^{2} - 12} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{x}{2 x - 2} - \frac{2}{3 x + 3} = \frac{5 x^{2} - 2 x + 9}{12 x^{2} - 12}

Solution解答


We will start by factoring all denominators, to make it easier to identify extraneous solutions and the LCD. 無縁解とLCDを見つけやすくするため、まずすべての分母を因数分解する。
Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Find the least common denominator.The LCD is $12 (x - 1) (x + 1)$ 最小公分母を求める。LCDは $12 (x - 1) (x + 1)$ である。
Clear the fractions. 分母を払う。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Solve the resulting equation. 得られた方程式を解く。



Check. 確かめる。
$x = 1$ and $x = - 1$ are extraneous solutions. The equation has no solution. $x = 1$ と $x = - 1$ は無縁解である。この方程式に解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.6 Solve Rational Equations8.6 有理方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Rational Equations有理方程式を解く

How to Solve Equations with Rational Expressions分数式を含む方程式を解く方法

Solution解答

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Solution解答

8.6 Solve Rational Equations8.6　有理方程式を解く