第8章有理式と有理方程式

8.5 Simplify Complex Rational Expressions8.5　繁分数式を簡単にする

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify a complex rational expression by writing it as division
英語のヒント
割り算として書いて繁分数式を簡単にする
Simplify a complex rational expression by using the LCD
英語のヒント
LCDを用いて繁分数式を簡単にする

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Complex fractions are fractions in which the numerator or denominator contains a fraction. In Chapter 1 we simplified complex fractions like these:

英語のヒント

繁分数とは、分子または分母に分数を含む分数のことである。第1章では、次のような繁分数を簡単にした。

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}}

In this section we will simplify complex rational expressions, which are rational expressions with rational expressions in the numerator or denominator.

英語のヒント

この節では、分子または分母に分数式を含む分数式である繁分数式を簡単にする。

Here are a few complex rational expressions:

英語のヒント

繁分数式の例をいくつか示す。

\frac{\frac{4}{y - 3}}{\frac{8}{y^{2} - 9}} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} \frac{\frac{2}{x + 6}}{\frac{4}{x - 6} - \frac{4}{x^{2} - 36}}

Remember, we always exclude values that would make any denominator zero.

英語のヒント

いずれかの分母を0にする値は常に除外することを思い出そう。

We will use two methods to simplify complex rational expressions.

英語のヒント

繁分数式を簡単にするために二つの方法を使う。

Simplify a Complex Rational Expression by Writing it as Division割り算として書いて繁分数式を簡単にする

We have already seen this complex rational expression earlier in this chapter.

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この繁分数式は、この章ですでに見たものである。

\frac{\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}}{\frac{2 x^{2} - 8 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}}

We noted that fraction bars tell us to divide, so rewrote it as the division problem

英語のヒント

分数線は割り算を意味するため、次の割り算の問題に書き直した。

(\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}) \div (\frac{2 x^{2} - 8 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6})

Then we multiplied the first rational expression by the reciprocal of the second, just like we do when we divide two fractions.

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その後、二つの分数を割るときと同じように、最初の分数式に2番目の分数式の逆数を掛けた。

This is one method to simplify rational expressions. We write it as if we were dividing two fractions.

英語のヒント

これは分数式を簡単にする一つの方法である。二つの分数を割るときと同じように書く。

Example 8.50例題 8.50

Simplify:

\frac{\frac{4}{y - 3}}{\frac{8}{y^{2} - 9}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{4}{y - 3}}{\frac{8}{y^{2} - 9}}

Solution解答

	$\frac{\frac{4}{y - 3}}{\frac{8}{y^{2} - 9}}$
Rewrite the complex fraction as division. 繁分数を割り算として書き直す。	$\frac{4}{y - 3} \div \frac{8}{y^{2} - 9}$
Rewrite as the product of first times the reciprocal of the second. 最初の分数と2番目の分数の逆数との積に書き直す。	$\frac{4}{y - 3} \cdot \frac{y^{2} - 9}{8}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{4 (y^{2} - 9)}{8 (y - 3)}$
Factor to look for common factors. 因数分解して共通因子を探す。	$\frac{4 (y - 3) (y + 3)}{4 \cdot 2 (y - 3)}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{4 (y - 3) (y + 3)}{4 \cdot 2 (y - 3)}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{y + 3}{2}$

Are there any value(s) of

y

that should not be allowed? The simplified rational expression has just a constant in the denominator. But the original complex rational expression had denominators of

y - 3

and

y^{2} - 9

. This expression would be undefined if

y = 3

y = −3

英語のヒント

認めてはいけない

y

の値はあるだろうか。簡単にした分数式では分母は定数だけだが、元の繁分数式には

y - 3

と

y^{2} - 9

という分母があった。この式は、

y = 3

または

y = −3

のとき定義されない。

Try It (2)確認問題（2題）

Fraction bars act as grouping symbols. So to follow the Order of Operations, we simplify the numerator and denominator as much as possible before we can do the division.

英語のヒント

分数線は、式を一まとまりにする記号として働く。したがって、計算の順序に従い、割り算を行う前に分子と分母を可能な限り簡単にする。

Example 8.51例題 8.51

Simplify:

\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}

Solution解答


Simplify the numerator and denominator. 分子と分母を簡単にする。
Find the LCD and add the fractions in the numerator. Find the LCD and add the fractions in the denominator. LCDを求め、分子の分数を足す。LCDを求め、分母の分数を足す。
Simplify the numerator and denominator. 分子と分母を簡単にする。
Simplify the numerator and denominator, again. もう一度、分子と分母を簡単にする。
Rewrite the complex rational expression as a division problem. 繁分数式を割り算の問題に書き直す。
Multiply the first times by the reciprocal of the second. 最初の分数に2番目の分数の逆数を掛ける。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.52例題 8.52

How to Simplify a Complex Rational Expression by Writing it as Division割り算として書いて繁分数式を簡単にする方法

Simplify:

\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}

Solution解答

上の図には3列あり、繁分数式を割る方法を3段階で示している。手順1では分子と分母を簡単にする。(1/x＋1/y)/(x/y−y/x)という例について、分子の和と分母の差を簡単にする。共通分母を求めて分子の分数を足し、共通分母を求めて分子の分数を引くと、[(1×y)/(x×y)＋(1×x)/(y×x)]/[(x×x)/(y×x)−(y×y)/(x×y)]となる。次に、y/(xy)＋x＋xyを、x²/(xy)−y²/(xy)で割る形になる。これで分子と分母がそれぞれ一つの分数式となり、[(y＋x)/(xy)]/[(x²−y²)/(xy)]となる。

手順3では式を割る。最初の式に2番目の式の逆数を掛け、[(y＋x)/(xy)]×[xy/(x²−y²)]を得る。可能な式を因数分解すると、[xy(y＋x)]/[xy(x−y)(x＋y)]となる。共通因子を取り除く。分子のx、y、y＋xを消し、分母のx、y、x＋yを消す。簡単にすると1/(x−y)となる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.53例題 8.53

Simplify:

\frac{n - \frac{4 n}{n + 5}}{\frac{1}{n + 5} + \frac{1}{n - 5}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{n - \frac{4 n}{n + 5}}{\frac{1}{n + 5} + \frac{1}{n - 5}}

Solution解答


Simplify the numerator and denominator. 分子と分母を簡単にする。
Find the LCD and add the fractions in the numerator. Find the LCD and add the fractions in the denominator. LCDを求め、分子の分数を足す。LCDを求め、分母の分数を足す。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。
Subtract the rational expressions in the numerator and add in the denominator. Simplify. 分子の分数式を引き、分母の分数式を足す。簡単にする。
Rewrite as fraction division. 分数の割り算として書き直す。
Multiply the first times the reciprocal of the second. 最初の分数に2番目の分数の逆数を掛ける。
Factor any expressions if possible. 可能な式を因数分解する。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCDLCDを用いて繁分数式を簡単にする

We “cleared” the fractions by multiplying by the LCD when we solved equations with fractions. We can use that strategy here to simplify complex rational expressions. We will multiply the numerator and denominator by LCD of all the rational expressions.

英語のヒント

分数を含む方程式を解くとき、LCDを掛けて分数を「なくした」。ここでもその方針で繁分数式を簡単にできる。すべての分数式のLCDを分子と分母に掛ける。

Let’s look at the complex rational expression we simplified one way in Example 8.51. We will simplify it here by multiplying the numerator and denominator by the LCD. When we multiply by

\frac{LCD}{LCD}

we are multiplying by 1, so the value stays the same.

英語のヒント

例8.51で一つの方法で簡単にした繁分数式を見てみよう。ここでは分子と分母にLCDを掛けて簡単にする。

\frac{最小公分母}{最小公分母}

を掛けることは1を掛けることなので、値は変わらない。

Example 8.54例題 8.54

Simplify:

\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}

Solution解答


The LCD of all the fractions in the whole expression is 6. 式全体に含まれるすべての分数のLCDは6である。
Clear the fractions by multiplying the numerator and denominator by that LCD. そのLCDを分子と分母に掛けて、分数をなくす。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.55例題 8.55

How to Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCDLCDを用いて繁分数式を簡単にする方法

Simplify:

\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}

Solution解答

上の図には3列ある。(1/x＋1/y)/(x/y−y/x)について、LCDを使って繁分数式を簡単にする手順を示している。手順1では、繁分数式に含まれるすべての分数のLCDを求める。それらのLCDはxyである。分子と分母にLCDを掛ける。

手順2では分子と分母の両方にxyを掛け、[xy(1/x＋1/y)]/[xy(x/y−y/x)]を得る。

手順3では式を簡単にする。分配すると、[xy×(1/x)＋xy×(1/y)]/[xy×(x/y)−xy×(y/x)]となる。簡単にすると(y＋x)/(x²−y²)となる。共通因子を取り除く。分子のy＋xを消す。分子のx＋yを消す。簡単にすると1/(x−y)となる。

Try It (2)確認問題（2題）

Be sure to start by factoring all the denominators so you can find the LCD.

英語のヒント

LCDを求められるように、必ずすべての分母を因数分解することから始める。

Example 8.56例題 8.56

Simplify:

\frac{\frac{2}{x + 6}}{\frac{4}{x - 6} - \frac{4}{x^{2} - 36}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{2}{x + 6}}{\frac{4}{x - 6} - \frac{4}{x^{2} - 36}}

Solution解答


Find the LCD of all fractions in the complex rational expression. The LCD is $(x + 6) (x - 6)$ . 繁分数式に含まれるすべての分数のLCDを求める。LCDは $(x + 6) (x - 6)$ である。
Multiply the numerator and denominator by the LCD. 分子と分母に最小公分母を掛ける。
Simplify the expression. 式を簡単にする。
Distribute in the denominator. 分母で分配する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
To simplify the denominator, distribute and combine like terms. 分母を簡単にするため、分配して同類項をまとめる。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Notice that there are no more factors common to the numerator and denominator. 分子と分母に共通する因子はもうないことに注意する。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.57例題 8.57

Simplify:

\frac{\frac{4}{m^{2} - 7 m + 12}}{\frac{3}{m - 3} - \frac{2}{m - 4}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{4}{m^{2} - 7 m + 12}}{\frac{3}{m - 3} - \frac{2}{m - 4}}

Solution解答


Find the LCD of all fractions in the complex rational expression. The LCD is $(m - 3) (m - 4)$ . 繁分数式に含まれるすべての分数のLCDを求める。LCDは $(m - 3) (m - 4)$ である。
Multiply the numerator and denominator by the LCD. 分子と分母に最小公分母を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Distribute. 分配法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.58例題 8.58

Simplify:

\frac{\frac{y}{y + 1}}{1 + \frac{1}{y - 1}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{y}{y + 1}}{1 + \frac{1}{y - 1}}

Solution解答


Find the LCD of all fractions in the complex rational expression. 繁分数式に含まれるすべての分数のLCDを求める。
The LCD is $(y + 1) (y - 1)$ . LCDは $(y + 1) (y - 1)$ である。
Multiply the numerator and denominator by the LCD. 分子と分母に最小公分母を掛ける。
Distribute in the denominator and simplify. 分母で分配し、簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the denominator, and leave the numerator factored. 分母を簡単にし、分子は因数分解した形のままにする。

Factor the denominator, and remove factors common with the numerator. 分母を因数分解し、分子と共通する因子を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.5 Simplify Complex Rational Expressions8.5 繁分数式を簡単にする

Learning Objectives学習目標

Simplify a Complex Rational Expression by Writing it as Division割り算として書いて繁分数式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

How to Simplify a Complex Rational Expression by Writing it as Division割り算として書いて繁分数式を簡単にする方法

Solution解答

Solution解答

Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCDLCDを用いて繁分数式を簡単にする

Solution解答

How to Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCDLCDを用いて繁分数式を簡単にする方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

8.5 Simplify Complex Rational Expressions8.5　繁分数式を簡単にする