第8章有理式と有理方程式

Key Concepts重要な概念

Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined
英語のヒント
有理式が定義されない値を求める
1. Set the denominator equal to zero.
  英語のヒント
  分母を0に等しいと置く。
2. Solve the equation, if possible.
  英語のヒント
  可能なら方程式を解く。
Simplified Rational Expression
英語のヒント
簡単な形の分数式
- A rational expression is considered simplified if there are no common factors in its numerator and denominator.
  英語のヒント
  分数式は、分子と分母に共通因子がなければ簡単な形であるとみなされる。
Simplify a Rational Expression
英語のヒント
分数式を簡単にする
1. Factor the numerator and denominator completely.
  英語のヒント
  分子と分母を完全に因数分解する。
2. Simplify by dividing out common factors.
  英語のヒント
  共通因子を約分して簡単にする。
Opposites in a Rational Expression
英語のヒント
分数式における互いに符号が反対の式
- The opposite of $a - b$ is $b - a$ .
  $\begin{matrix} \frac{a - b}{b - a} = −1 & a \neq 0, b \neq 0, a \neq b \end{matrix}$
  英語のヒント
  $a - b$ の符号を反対にした式は $b - a$ である。 $\begin{matrix} \frac{a - b}{b - a} = −1 & a \neq 0, b \neq 0, a \neq b \end{matrix}$

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–4練習問題 1–4

In the following exercises, determine the values for which the rational expression is undefined.

英語のヒント

次の各問で、分数式が定義されない値を求めよ。

Exercise 1問題 1

ⓐ

\frac{2 x}{z}

ⓑ

\frac{4 p - 1}{6 p - 5}

ⓒ

\frac{n - 3}{n^{2} + 2 n - 8}

Solution解き方

ⓐ

z = 0

ⓑ

p = \frac{5}{6}

ⓒ

n = −4, n = 2

Exercise 2問題 2

ⓐ

\frac{10 m}{11 n}

ⓑ

\frac{6 y + 13}{4 y - 9}

ⓒ

\frac{b - 8}{b^{2} - 36}

Exercise 3問題 3

ⓐ

\frac{4 x^{2} y}{3 y}

ⓑ

\frac{3 x - 2}{2 x + 1}

ⓒ

\frac{u - 1}{u^{2} - 3 u - 28}

Solution解き方

ⓐ

y = 0

ⓑ

x = - \frac{1}{2}

ⓒ

u = −4, u = 7

Exercise 4問題 4

ⓐ

\frac{5 p q^{2}}{9 q}

ⓑ

\frac{7 a - 4}{3 a + 5}

ⓒ

\frac{1}{x^{2} - 4}

Exercises 5–16練習問題 5–16

Evaluate Rational Expressions

英語のヒント

分数式の値を求める

In the following exercises, evaluate the rational expression for the given values.

英語のヒント

次の各問で、与えられた値に対する分数式の値を求めよ。

Exercise 5問題 5

\frac{2 x}{x - 1}

ⓐ

x = 0

ⓑ

x = 2

ⓒ

x = −1

Solution解き方

ⓐ

0

ⓑ

4

ⓒ

1

Exercise 6問題 6

\frac{4 y - 1}{5 y - 3}

ⓐ

y = 0

ⓑ

y = 2

ⓒ

y = −1

Exercise 7問題 7

\frac{2 p + 3}{p^{2} + 1}

ⓐ

p = 0

ⓑ

p = 1

ⓒ

p = −2

Solution解き方

ⓐ

3

ⓑ

\frac{5}{2}

ⓒ

- \frac{1}{5}

Exercise 8問題 8

\frac{x + 3}{2 - 3 x}

ⓐ

x = 0

ⓑ

x = 1

ⓒ

x = −2

Exercise 9問題 9

\frac{y^{2} + 5 y + 6}{y^{2} - 1}

ⓐ

y = 0

ⓑ

y = 2

ⓒ

y = −2

Solution解き方

ⓐ

−6

ⓑ

\frac{20}{3}

ⓒ

0

Exercise 10問題 10

\frac{z^{2} + 3 z - 10}{z^{2} - 1}

ⓐ

z = 0

ⓑ

z = 2

ⓒ

z = −2

Exercise 11問題 11

\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 5 a + 4}

ⓐ

a = 0

ⓑ

a = 1

ⓒ

a = −2

Solution解き方

ⓐ

−1

ⓑ

- \frac{3}{10}

ⓒ

0

Exercise 12問題 12

\frac{b^{2} + 2}{b^{2} - 3 b - 4}

ⓐ

b = 0

ⓑ

b = 2

ⓒ

b = −2

Exercise 13問題 13

\frac{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}{2 x^{3} y}

ⓐ $x = 1, y = −1$
ⓑ $x = 2, y = 1$
ⓒ $x = −1, y = −2$

Solution解き方

ⓐ

0

ⓑ

\frac{3}{4}

ⓒ

\frac{15}{4}

Exercise 14問題 14

\frac{c^{2} + c d - 2 d^{2}}{c d^{3}}

ⓐ $c = 2, d = −1$
ⓑ $c = 1, d = −1$
ⓒ $c = −1, d = 2$

Exercise 15問題 15

\frac{m^{2} - 4 n^{2}}{5 m n^{3}}

ⓐ $m = 2, n = 1$
ⓑ $m = −1, n = −1$
ⓒ $m = 3, n = 2$

Solution解き方

ⓐ

0

ⓑ

- \frac{3}{5}

ⓒ

- \frac{7}{120}

Exercise 16問題 16

\frac{2 s^{2} t}{s^{2} - 9 t^{2}}

ⓐ $s = 4, t = 1$
ⓑ $s = −1, t = −1$
ⓒ $s = 0, t = 2$

Exercises 17–56練習問題 17–56

Simplify Rational Expressions

英語のヒント

有理式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 17問題 17

- \frac{4}{52}

Solution解き方

- \frac{1}{13}

Exercise 18問題 18

- \frac{44}{55}

Exercise 19問題 19

\frac{56}{63}

Solution解き方

\frac{8}{9}

Exercise 20問題 20

\frac{65}{104}

Exercise 21問題 21

\frac{6 a b^{2}}{12 a^{2} b}

Solution解き方

\frac{b}{2 a}

Exercise 22問題 22

\frac{15 x y}{3 x^{3} y^{3}}

Exercise 23問題 23

\frac{8 m^{3} n}{12 m n^{2}}

Solution解き方

\frac{2 m^{2}}{3 n}

Exercise 24問題 24

\frac{36 v^{3} w^{2}}{27 v w^{3}}

Exercise 25問題 25

\frac{3 a + 6}{4 a + 8}

Solution解き方

\frac{3}{4}

Exercise 26問題 26

\frac{5 b + 5}{6 b + 6}

Exercise 27問題 27

\frac{3 c - 9}{5 c - 15}

Solution解き方

\frac{3}{5}

Exercise 28問題 28

\frac{4 d + 8}{9 d + 18}

Exercise 29問題 29

\frac{7 m + 63}{5 m + 45}

Solution解き方

\frac{7}{5}

Exercise 30問題 30

\frac{8 n - 96}{3 n - 36}

Exercise 31問題 31

\frac{12 p - 240}{5 p - 100}

Solution解き方

\frac{12}{5}

Exercise 32問題 32

\frac{6 q + 210}{5 q + 175}

Exercise 33問題 33

\frac{a^{2} - a - 12}{a^{2} - 8 a + 16}

Solution解き方

\frac{a + 3}{a - 4}

Exercise 34問題 34

\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 2 x + 1}

Exercise 35問題 35

\frac{y^{2} + 3 y - 4}{y^{2} - 6 y + 5}

Solution解き方

\frac{y + 4}{y - 5}

Exercise 36問題 36

\frac{v^{2} + 8 v + 15}{v^{2} - v - 12}

Exercise 37問題 37

\frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 2 x - 15}

Solution解き方

\frac{x - 5}{x - 3}

Exercise 38問題 38

\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 6 a - 16}

Exercise 39問題 39

\frac{y^{2} - 2 y - 3}{y^{2} - 9}

Solution解き方

\frac{y + 1}{y + 3}

Exercise 40問題 40

\frac{b^{2} + 9 b + 18}{b^{2} - 36}

Exercise 41問題 41

\frac{y^{3} + y^{2} + y + 1}{y^{2} + 2 y + 1}

Solution解き方

\frac{y^{2} + 1}{y + 1}

Exercise 42問題 42

\frac{p^{3} + 3 p^{2} + 4 p + 12}{p^{2} + p - 6}

Exercise 43問題 43

\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50}{x^{2} - 25}

Solution解き方

x - 2

Exercise 44問題 44

\frac{q^{3} + 3 q^{2} - 4 q - 12}{q^{2} - 4}

Exercise 45問題 45

\frac{3 a^{2} + 15 a}{6 a^{2} + 6 a - 36}

Solution解き方

\frac{a (a + 5)}{2 (a + 3) (a - 2)}

Exercise 46問題 46

\frac{8 b^{2} - 32 b}{2 b^{2} - 6 b - 80}

Exercise 47問題 47

\frac{−5 c^{2} - 10 c}{−10 c^{2} + 30 c + 100}

Solution解き方

\frac{c}{2 (c - 5)}

Exercise 48問題 48

\frac{4 d^{2} - 24 d}{2 d^{2} - 4 d - 48}

Exercise 49問題 49

\frac{3 m^{2} + 30 m + 75}{4 m^{2} - 100}

Solution解き方

\frac{3 (m + 5)}{4 (m - 5)}

Exercise 50問題 50

\frac{5 n^{2} + 30 n + 45}{2 n^{2} - 18}

Exercise 51問題 51

\frac{5 r^{2} + 30 r - 35}{r^{2} - 49}

Solution解き方

\frac{5 (r - 1)}{r - 7}

Exercise 52問題 52

\frac{3 s^{2} + 30 s + 72}{3 s^{2} - 48}

Exercise 53問題 53

\frac{t^{3} - 27}{t^{2} - 9}

Solution解き方

\frac{t^{2} + 3 t + 9}{t + 3}

Exercise 54問題 54

\frac{v^{3} - 1}{v^{2} - 1}

Exercise 55問題 55

\frac{w^{3} + 216}{w^{2} - 36}

Solution解き方

\frac{w^{2} - 6 w + 36}{w - 6}

Exercise 56問題 56

\frac{v^{3} + 125}{v^{2} - 25}

Exercises 57–68練習問題 57–68

Simplify Rational Expressions with Opposite Factors

英語のヒント

互いに符号が反対の因子を持つ分数式を簡単にする

In the following exercises, simplify each rational expression.

英語のヒント

次の各問で、分数式をそれぞれ簡単にせよ。

Exercise 57問題 57

\frac{a - 5}{5 - a}

Solution解き方

−1

Exercise 58問題 58

\frac{b - 12}{12 - b}

Exercise 59問題 59

\frac{11 - c}{c - 11}

Solution解き方

−1

Exercise 60問題 60

\frac{5 - d}{d - 5}

Exercise 61問題 61

\frac{12 - 2 x}{x^{2} - 36}

Solution解き方

- \frac{2}{x + 6}

Exercise 62問題 62

\frac{20 - 5 y}{y^{2} - 16}

Exercise 63問題 63

\frac{4 v - 32}{64 - v^{2}}

Solution解き方

- \frac{4}{8 + v}

Exercise 64問題 64

\frac{7 w - 21}{9 - w^{2}}

Exercise 65問題 65

\frac{y^{2} - 11 y + 24}{9 - y^{2}}

Solution解き方

(- \frac{y - 8)}{3 + y}

Exercise 66問題 66

\frac{z^{2} - 9 z + 20}{16 - z^{2}}

Exercise 67問題 67

\frac{a^{2} - 5 a - 36}{81 - a^{2}}

Solution解き方

- \frac{a + 4}{9 + a}

Exercise 68問題 68

\frac{b^{2} + b - 42}{36 - b^{2}}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 69–70練習問題 69–70

Exercise 69問題 69

Tax Rates For the tax year 2015, the amount of tax owed by a single person earning between $37,450 and $90,750, can be found by evaluating the formula

0.25 x - 4206.25,

where x is income. The average tax rate for this income can be found by evaluating the formula

\frac{0.25 x - 4206.25}{x} .

What would be the average tax rate for a single person earning $50,000?

英語のヒント

税率 2015課税年度には、収入が37,450ドルから90,750ドルの独身者が支払う税額は、式

0.25 x - 4206.25

の値を計算して求められる。xは収入である。この収入に対する平均税率は、式

\frac{0.25 x - 4206.25}{x}

の値を計算して求められる。収入50,000ドルの独身者の平均税率はいくらになるか。

Solution解き方

16.6%

Exercise 70問題 70

Work The length of time it takes for two people for perform the same task if they work together can be found by evaluating the formula

\frac{x y}{x + y} .

If Tom can paint the den in

x =

45 minutes and his brother Bobby can paint it in

y =

60 minutes, how many minutes will it take them if they work together?

英語のヒント

仕事二人が一緒に働いて同じ仕事を終えるまでの時間は、式

\frac{x y}{x + y}

の値を計算して求められる。トムが書斎の塗装を

x =

45分で、弟のボビーが

y =

60分で終えられるなら、一緒に働くと何分かかるか。

Writing Exercises記述問題

Exercises 71–72練習問題 71–72

Exercise 71問題 71

Explain how you find the values of x for which the rational expression

\frac{x^{2} - x - 20}{x^{2} - 4}

is undefined.

英語のヒント

分数式

\frac{x^{2} - x - 20}{x^{2} - 4}

が定義されないxの値を求める方法を説明せよ。

Solution解き方

Answers will vary, but all should reference setting the denominator function to zero.

英語のヒント

答えはさまざまだが、いずれも分母の関数を0に等しいと置くことに言及する必要がある。

Exercise 72問題 72

Explain all the steps you take to simplify the rational expression

\frac{p^{2} + 4 p - 21}{9 - p^{2}} .

英語のヒント

分数式

\frac{p^{2} + 4 p - 21}{9 - p^{2}}

を簡単にするためのすべての手順を説明せよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

この図は4列5行の表である。1行目は各列の見出しで、1列目が「私は…できる」、2列目が「自信を持って」、3列目が「少し助けがあれば」、4列目が「できない、分からない」である。1列目の「私は…できる」の下には「分数式が定義されない値を求める」「分数式の値を求める」「分数式を簡単にする」「互いに符号が反対の因子を持つ分数式を簡単にする」とある。残りのセルは空欄である。

ⓑ If most of your checks were:

英語のヒント

ⓑ チェックの大部分が次の項目に付いた場合：

…confidently. Congratulations! You have achieved your goals in this section! Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific!

英語のヒント

…自信を持ってできる。おめでとう。この節の目標を達成した。今後も活用できるよう、用いた学習方法を振り返ろう。これらができるという自信を持つために、何をしただろうか。具体的に考えよう。

…with some help. This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential - every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

英語のヒント

…少し助けがあればできる。習得できていない内容は成功への道のくぼみとなるため、早急に対処する必要がある。数学は順序立てて学ぶものであり、どの内容もそれ以前の学習の上に成り立つ。先に進む前に、しっかりした基礎があることを確かめるのが大切だ。誰に助けを求められるだろうか。クラスメートや先生は頼りになる。学内に数学の個別指導を受けられる場所はあるだろうか。学習方法を改善できるだろうか。

…no - I don’t get it! This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

英語のヒント

…できない、分からない。これは重大なことで、無視してはならない。すぐに助けを得る必要があり、さもなければ、たちまちついていけなくなる。できるだけ早く先生に会い、状況を相談しよう。必要な支援を得るための計画を一緒に立てられる。

rational expression

分数式

A rational expression is an expression of the form

\frac{p}{q}

, where p and q are polynomials and

q \neq 0 .

英語のヒント

分数式とは

\frac{p}{q}

の形の式であり、pとqは多項式で、

q \neq 0