第8章有理式と有理方程式

Key Concepts重要な概念

Rational Expression Addition
英語のヒント
分数式の加法
- If $p, q, and r$ are polynomials where $r \neq 0$ , then
  英語のヒント
  $p, q, および r$ が多項式で、 $r \neq 0$ であるとき、
  
  $\frac{p}{r} + \frac{q}{r} = \frac{p + q}{r}$
- To add rational expressions with a common denominator, add the numerators and place the sum over the common denominator.
  英語のヒント
  共通分母を持つ分数式を足すには、分子を足し、その和を共通分母の上に置く。
Rational Expression Subtraction
英語のヒント
分数式の減法
- If $p, q, and r$ are polynomials where $r \neq 0$ , then
  英語のヒント
  $p, q, および r$ が多項式で、 $r \neq 0$ であるとき、
  
  $\frac{p}{r} - \frac{q}{r} = \frac{p - q}{r}$
- To subtract rational expressions, subtract the numerators and place the difference over the common denominator.
  英語のヒント
  分数式を引くには、分子を引いてその差を共通分母の上に置く。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 129–144練習問題 129–144

Add Rational Expressions with a Common Denominator

英語のヒント

共通分母を持つ分数式を足す

In the following exercises, add.

英語のヒント

以下の問題では、足し算せよ。

Exercise 129問題 129

\frac{2}{15} + \frac{7}{15}

Solution解き方

\frac{3}{5}

Exercise 130問題 130

\frac{4}{21} + \frac{3}{21}

Exercise 131問題 131

\frac{7}{24} + \frac{11}{24}

Solution解き方

\frac{3}{4}

Exercise 132問題 132

\frac{7}{36} + \frac{13}{36}

Exercise 133問題 133

\frac{3 a}{a - b} + \frac{1}{a - b}

Solution解き方

\frac{3 a + 1}{a - b}

Exercise 134問題 134

\frac{3 c}{4 c - 5} + \frac{5}{4 c - 5}

Exercise 135問題 135

\frac{d}{d + 8} + \frac{5}{d + 8}

Solution解き方

\frac{d + 5}{d + 8}

Exercise 136問題 136

\frac{7 m}{2 m + n} + \frac{4}{2 m + n}

Exercise 137問題 137

\frac{p^{2} + 10 p}{p + 2} + \frac{16}{p + 2}

Solution解き方

p + 8

Exercise 138問題 138

\frac{q^{2} + 12 q}{q + 3} + \frac{27}{q + 3}

Exercise 139問題 139

\frac{2 r^{2}}{2 r - 1} + \frac{15 r - 8}{2 r - 1}

Solution解き方

r + 8

Exercise 140問題 140

\frac{3 s^{2}}{3 s - 2} + \frac{13 s - 10}{3 s - 2}

Exercise 141問題 141

\frac{8 t^{2}}{t + 4} + \frac{32 t}{t + 4}

Solution解き方

8 t

Exercise 142問題 142

\frac{6 v^{2}}{v + 5} + \frac{30 v}{v + 5}

Exercise 143問題 143

\frac{2 w^{2}}{w^{2} - 16} + \frac{8 w}{w^{2} - 16}

Solution解き方

\frac{2 w}{w - 4}

Exercise 144問題 144

\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 9} + \frac{21 x}{x^{2} - 9}

Exercises 145–156練習問題 145–156

Subtract Rational Expressions with a Common Denominator

英語のヒント

共通分母を持つ分数式を引く

In the following exercises, subtract.

英語のヒント

次の練習問題では、ひき算をせよ。

Exercise 145問題 145

\frac{y^{2}}{y + 8} - \frac{64}{y + 8}

Solution解き方

y - 8

Exercise 146問題 146

\frac{z^{2}}{z + 2} - \frac{4}{z + 2}

Exercise 147問題 147

\frac{9 a^{2}}{3 a - 7} - \frac{49}{3 a - 7}

Solution解き方

3 a + 7

Exercise 148問題 148

\frac{25 b^{2}}{5 b - 6} - \frac{36}{5 b - 6}

Exercise 149問題 149

\frac{c^{2}}{c - 8} - \frac{6 c + 16}{c - 8}

Solution解き方

c + 2

Exercise 150問題 150

\frac{d^{2}}{d - 9} - \frac{6 d + 27}{d - 9}

Exercise 151問題 151

\frac{3 m^{2}}{6 m - 30} - \frac{21 m - 30}{6 m - 30}

Solution解き方

\frac{m - 2}{2}

Exercise 152問題 152

\frac{2 n^{2}}{4 n - 32} - \frac{18 n - 16}{4 n - 32}

Exercise 153問題 153

\frac{6 p^{2} + 3 p + 4}{p^{2} + 4 p - 5} - \frac{5 p^{2} + p + 7}{p^{2} + 4 p - 5}

Solution解き方

\frac{p + 3}{p + 5}

Exercise 154問題 154

\frac{5 q^{2} + 3 q - 9}{q^{2} + 6 q + 8} - \frac{4 q^{2} + 9 q + 7}{q^{2} + 6 q + 8}

Exercise 155問題 155

\frac{5 r^{2} + 7 r - 33}{r^{2} - 49} - \frac{4 r^{2} + 5 r + 30}{r^{2} - 49}

Solution解き方

\frac{r + 9}{r + 7}

Exercise 156問題 156

\frac{7 t^{2} - t - 4}{t^{2} - 25} - \frac{6 t^{2} + 12 t - 44}{t^{2} - 25}

Exercises 157–160練習問題 157–160

Add and Subtract Rational Expressions whose Denominators are Opposites

英語のヒント

分母の符号が互いに反対の分数式を足し引きする

In the following exercises, add.

英語のヒント

以下の問題では、足し算せよ。

Exercise 157問題 157

\frac{10 v}{2 v - 1} + \frac{2 v + 4}{1 - 2 v}

Solution解き方

4

Exercise 158問題 158

\frac{20 w}{5 w - 2} + \frac{5 w + 6}{2 - 5 w}

Exercise 159問題 159

\frac{10 x^{2} + 16 x - 7}{8 x - 3} + \frac{2 x^{2} + 3 x - 1}{3 - 8 x}

Solution解き方

x + 2

Exercise 160問題 160

\frac{6 y^{2} + 2 y - 11}{3 y - 7} + \frac{3 y^{2} - 3 y + 17}{7 - 3 y}

Exercises 161–164練習問題 161–164

In the following exercises, subtract.

英語のヒント

次の練習問題では、ひき算をせよ。

Exercise 161問題 161

\frac{z^{2} + 6 z}{z^{2} - 25} - \frac{3 z + 20}{25 - z^{2}}

Solution解き方

\frac{z + 4}{z - 5}

Exercise 162問題 162

\frac{a^{2} + 3 a}{a^{2} - 9} - \frac{3 a - 27}{9 - a^{2}}

Exercise 163問題 163

\frac{2 b^{2} + 30 b - 13}{b^{2} - 49} - \frac{2 b^{2} - 5 b - 8}{49 - b^{2}}

Solution解き方

\frac{4 b - 3}{b - 7}

Exercise 164問題 164

\frac{c^{2} + 5 c - 10}{c^{2} - 16} - \frac{c^{2} - 8 c - 10}{16 - c^{2}}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 165–166練習問題 165–166

Exercise 165問題 165

Sarah ran 8 miles and then biked 24 miles. Her biking speed is 4 mph faster than her running speed. If

r

represents Sarah’s speed when she ran, then her running time is modeled by the expression

\frac{8}{r}

and her biking time is modeled by the expression

\frac{24}{r + 4} .

Add the rational expressions

\frac{8}{r} + \frac{24}{r + 4}

to get an expression for the total amount of time Sarah ran and biked.

英語のヒント

サラは8マイル走った後、自転車で24マイル進んだ。自転車の速さは走る速さより時速4マイル速い。

r

がサラの走る速さを表すなら、走った時間は式

\frac{8}{r}

で、自転車に乗った時間は式

\frac{24}{r + 4}

で表される。分数式

\frac{8}{r} + \frac{24}{r + 4}

を足し、サラが走った時間と自転車に乗った時間の合計を表す式を求めよ。

Solution解き方

\frac{32 (r + 1)}{r (r + 4)}

Exercise 166問題 166

If Pete can paint a wall in

p

hours, then in one hour he can paint

\frac{1}{p}

of the wall. It would take Penelope 3 hours longer than Pete to paint the wall, so in one hour she can paint

\frac{1}{p + 3}

of the wall. Add the rational expressions

\frac{1}{p} + \frac{1}{p + 3}

to get an expression for the part of the wall Pete and Penelope would paint in one hour if they worked together.

英語のヒント

ピートが壁を

p

時間で塗れるなら、1時間では壁の

\frac{1}{p}

を塗れる。ペネロペはその壁を塗るのにピートより3時間長くかかるので、1時間では壁の

\frac{1}{p + 3}

を塗れる。分数式

\frac{1}{p} + \frac{1}{p + 3}

を足し、二人が一緒に作業した場合に1時間で塗れる壁の割合を表す式を求めよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 167–168練習問題 167–168

Exercise 167問題 167

Donald thinks that

\frac{3}{x} + \frac{4}{x}

\frac{7}{2 x} .

Is Donald correct? Explain.

英語のヒント

ドナルドは

\frac{3}{x} + \frac{4}{x}

が

\frac{7}{2 x}

だと考えている。ドナルドは正しいか。説明せよ。

Exercise 168問題 168

Explain how you find the Least Common Denominator of

x^{2} + 5 x + 4

and

x^{2} - 16 .

英語のヒント

x^{2} + 5 x + 4

と

x^{2} - 16

の最小公分母を求める方法を説明せよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

上の図は4列4行の表である。1行目は見出しで、最初の列は「私は…できる」、2列目は「自信を持って」、3列目は「少し助けがあれば」、4列目は「できない、分からない」である。1列目の「私は…できる」の下の行には「共通分母を持つ分数式を足す」、次の行には「共通分母を持つ分数式を引く」、その次の行には「分母の符号が互いに反対の分数式を足し引きする」、最後の行には「このチェックリストから、この節の習得について何が分かるか。改善するためにどのような手順を踏むか」とある。残りの列は空欄である。

ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストから、この節をどれだけ習得できたと分かるか。さらに身に付けるために、どのような手順で取り組むか。