第8章有理式と有理方程式

Solve Similar Figure Applications相似な図形の応用問題を解く

When you shrink or enlarge a photo on a phone or tablet, figure out a distance on a map, or use a pattern to build a bookcase or sew a dress, you are working with similar figures. If two figures have exactly the same shape, but different sizes, they are said to be similar. One is a scale model of the other. All their corresponding angles have the same measures and their corresponding sides are in the same ratio.

英語のヒント

スマートフォンやタブレットで写真を縮小・拡大するとき、地図上の距離を求めるとき、型紙を使って本棚を作ったり服を縫ったりするとき、相似な図形を扱っている。形がまったく同じで大きさが異なる二つの図形は、相似であると言う。一方はもう一方の縮尺模型である。対応するすべての角の大きさは等しく、対応する辺は同じ比になっている。

For example, the two triangles in Figure 8.2 are similar. Each side of

Δ A B C

is 4 times the length of the corresponding side of

Δ X Y Z

英語のヒント

例えば、図8.2の二つの三角形は相似である。

Δ A B C

の各辺は、

Δ X Y Z

の対応する辺の4倍の長さである。

上の図は比例式1/12.54＝325/pを解く手順を示している。何を求めるよう問われているか。彼は何メキシコペソを受け取ったか。変数を割り当てる。ペソの額をpとする。求めるための情報を示す文を書く。1米ドルが12.54ペソなら、325ドルは何ペソか。単位に注意して比例式に直す。ドル/ペソ＝ドル/ペソより、1/12.54＝325/pとなる。両辺にLCDの12.54pを掛けると、[1/(12.54p)]×(1/12.54)＝12.54p×325/pとなる。両辺から共通因子を取り除く。左辺の12.54を消し、右辺のpを消す。簡単にすると元の比例式でp＝4075.5となる。確かめる。答えは妥当か。妥当である。100ドルは1254ペソであり、325ドルはその3倍より少し多いので、4075.5ペソという答えは理にかなっている。元の比例式にp＝4075.5を代入する。電卓を使う。1/12.54＝325/pから、1/12.54＝325/4075.5となり、0.07874＝0.07874を得る。答えが確かめられた。 — Figure 8.2図 8.2

This is summed up in the Property of Similar Triangles.

英語のヒント

これをまとめたものが、相似な三角形の性質である。

To solve applications with similar figures we will follow the Problem-Solving Strategy for Geometry Applications we used earlier.

英語のヒント

相似な図形の応用問題を解くには、以前に用いた図形の応用問題を解く方針に従う。

Solve geometry applications.図形の応用問題を解く。

Read the problem and make all the words and ideas are understood. Draw the figure and label it with the given information.
英語のヒント
問題を読み、すべての語と考え方を理解する。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Identify what we are looking for.
英語のヒント
何を求めるのかを明確にする。
Name what we are looking for by choosing a variable to represent it.
英語のヒント
求めるものを表す変数を選び、文字で表す。
Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.
英語のヒント
状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
Solve the equation using good algebra techniques.
英語のヒント
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
英語のヒント
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
英語のヒント
完全な文で問いに答える。

Example 8.78例題 8.78

Δ A B C

is similar to

Δ X Y Z

. The lengths of two sides of each triangle are given. Find the lengths of the third sides.

英語のヒント

Δ A B C

は

Δ X Y Z

と相似である。各三角形の2辺の長さが与えられている。残りの辺の長さを求めよ。

上の図は二つの相似な三角形を示している。各三角形の2辺が与えられている。大きい三角形はABCで、AからBまでの長さは4、BからCまではa、CからAまでは3.2である。小さい三角形はXYZで、XからYまでの長さは3、YからZまでは4.5、ZからXまではyである。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。	Figure is given. 図は与えられている。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。	the length of the sides of similar triangles 相似な三角形の辺の長さ
Step 3. Name the variables. 手順3。変数を決める。	Let $a =$ length of the third side of $Δ A B C .$ $y =$ length of the third side of $Δ X Y Z$ $a =$ $Δ A B C$ の残りの辺の長さ、 $y =$ $Δ X Y Z$ の残りの辺の長さとする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。	Since the triangles are similar, the corresponding sides are proportional. 三角形が相似なので、対応する辺は比例する。
We need to write an equation that compares the side we are looking for to a known ratio. Since the side AB = 4 corresponds to the side XY = 3 we know $\frac{A B}{X Y} = \frac{4}{3}$ . So we write equations with $\frac{A B}{X Y}$ to find the sides we are looking for. Be careful to match up corresponding sides correctly. 求める辺を既知の比と比較する方程式を書く必要がある。辺AB＝4は辺XY＝3に対応するので、 $\frac{A B}{X Y} = \frac{4}{3}$ と分かる。そこで $\frac{A B}{X Y}$ を使って方程式を立て、求める辺を見つける。対応する辺を正しく組み合わせるよう注意する。	$\frac{A B}{X Y} = \frac{B C}{Y Z} = \frac{A C}{X Z} .$
Substitute. 代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。

Step 6. Check. $\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{6}{4.5} \\ 4 (4.5) & \overset{?}{=} & 6 (3) \\ 18 & = & 18 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{3.2}{2.4} \\ 4 (2.4) & \overset{?}{=} & 3.2 (3) \\ 9.6 & = & 9.6 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ 手順6。確かめる。 $\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{6}{4.5} \\ 4 (4.5) & \overset{?}{=} & 6 (3) \\ 18 & = & 18 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{3.2}{2.4} \\ 4 (2.4) & \overset{?}{=} & 3.2 (3) \\ 9.6 & = & 9.6 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The third side of $Δ A B C$ is 6 and the third side of $Δ X Y Z$ is 2.4. $Δ A B C$ の残りの辺は6、 $Δ X Y Z$ の残りの辺は2.4である。

Try It (2)確認問題（2題）

The next example shows how similar triangles are used with maps.

英語のヒント

次の例では、地図で相似な三角形をどう使うかを示す。

Example 8.79例題 8.79

On a map, San Francisco, Las Vegas, and Los Angeles form a triangle whose sides are shown in the figure below. If the actual distance from Los Angeles to Las Vegas is 270 miles find the distance from Los Angeles to San Francisco.

英語のヒント

地図上でサンフランシスコ、ラスベガス、ロサンゼルスが作る三角形の辺を下の図に示す。ロサンゼルスからラスベガスまでの実際の距離が270マイルなら、ロサンゼルスからサンフランシスコまでの距離を求めよ。

上の図は二つの相似な三角形と、地図での使い方を示している。左の小さい三角形の3頂点には、サンフランシスコ、ラスベガス、ロサンゼルスが示されている。サンフランシスコからロサンゼルスは1.3インチ、ロサンゼルスからラスベガスは1インチ、ラスベガスからサンフランシスコは2.1インチである。2番目の大きい三角形には同じ地点が示されている。サンフランシスコからロサンゼルスまでの距離はx、ロサンゼルスからラスベガスまでは270マイルで、ラスベガスからサンフランシスコまでの距離は記されていない。

Solution解答

Read the problem. Draw the figures and label with the given information. 問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。	The figures are shown above. 図は上に示されている。
Identify what we are looking for. 何を求めるのかを明確にする。	The actual distance from Los Angeles to San Francisco. ロサンゼルスからサンフランシスコまでの実際の距離。
Name the variables. 変数を決める。	Let $x =$ distance from Los Angeles to San Francisco. $x =$ ロサンゼルスからサンフランシスコまでの距離とする。
Translate into an equation. Since the triangles are similar, the corresponding sides are proportional. We'll make the numerators "miles" and the denominators "inches." 方程式に直す。三角形が相似なので、対応する辺は比例する。分子を「マイル」、分母を「インチ」にする。
Solve the equation. 方程式を解く。

Check. 確かめる。
On the map, the distance from Los Angeles to San Francisco is more than the distance from Los Angeles to Las Vegas. Since 351 is more than 270 the answer makes sense. 地図上では、ロサンゼルスからサンフランシスコまでの距離は、ロサンゼルスからラスベガスまでより長い。351は270より大きいので、答えは理にかなっている。

Answer the question. 問いに答える。	The distance from Los Angeles to San Francisco is 351 miles. ロサンゼルスからサンフランシスコまでの距離は351マイルである。

Try It (2)確認問題（2題）

We can use similar figures to find heights that we cannot directly measure.

英語のヒント

相似な図形を使えば、直接測れない高さを求められる。

Example 8.80例題 8.80

Tyler is 6 feet tall. Late one afternoon, his shadow was 8 feet long. At the same time, the shadow of a tree was 24 feet long. Find the height of the tree.

英語のヒント

タイラーの身長は6フィートである。ある日の午後遅く、彼の影の長さは8フィートだった。同じ時刻に、木の影は24フィートだった。木の高さを求めよ。

Solution解答

Read the problem and draw a figure. 問題を読み、図を描く。
We are looking for h, the height of the tree. 木の高さhを求める。
We will use similar triangles to write an equation. 相似な三角形を使って方程式を立てる。
The small triangle is similar to the large triangle. 小さい三角形は大きい三角形と相似である。
Solve the proportion. 比例式を解く。
Simplify. 簡単にする。
Check. 確かめる。
Tyler's height is less than his shadow's length so it makes sense that the tree's height is less than the length of its shadow. タイラーの身長は影の長さより短いので、木の高さがその影の長さより短いのも理にかなっている。

Try It (2)確認問題（2題）