第8章有理式と有理方程式

Subtract Rational Expressions with Different Denominators分母の異なる分数式を引く

The process we use to subtract rational expressions with different denominators is the same as for addition. We just have to be very careful of the signs when subtracting the numerators.

英語のヒント

分母の異なる分数式を引くときの手順は、足し算の場合と同じである。ただし、分子を引くときの符号には十分に注意する必要がある。

Example 8.45例題 8.45

How to Subtract Rational Expressions with Different Denominators分母の異なる分数式を引く方法

Subtract:

\frac{x}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{x}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}

Solution解答

上の図には3列ある。xをx−3で割ったものからx＋x−3を引く例について、分母の異なる分数式を引く手順を示している。手順1では、分母が共通か調べる。共通なら手順2へ進む。共通でなければ、各分数式の分母をLCDに書き直す。LCDを求め、各分数式をLCDを分母とする同値な分数式に書き直す。上の式の答えは「共通でない」である。x−3とx＋3のLCDを求める。右には「x−3：x−3」、その下には「x−2：x−2」とある。線の下にLCDは(x−3)(x＋3)と記されている。[x(x＋3)]/[(x−3)(x＋3)]−[(x−2)(x−3)]/[(x＋3)(x−3)]と書き直す。分母は因数分解した形のままにする。因数分解すると、(x²＋3x)/[(x−3)(x＋3)]−(x²−5x＋6)/[(x−3)(x＋3)]となる。

手順2では分数式を引く。分子を引き、その差を共通分母の上に置くと、[x²＋3x−(x²−5x＋6)]/[(x−3)(x＋3)]となり、次に(x²＋3x−x²＋5x−6)/[(x−3)(x＋3)]となる。符号に注意する。さらに(8x−6)/[(x−3)(x＋3)]となる。

手順3では、可能なら簡単にする。分子と分母に共通因子はない。答えは2(4x−3)/[(x−3)(x＋3)]という簡単な形である。

Try It (2)確認問題（2題）

The steps to take to subtract rational expressions are listed below.

英語のヒント

分数式を引く手順を以下に示す。

Example 8.46例題 8.46

Subtract:

\frac{8 y}{y^{2} - 16} - \frac{4}{y - 4} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{8 y}{y^{2} - 16} - \frac{4}{y - 4}

Solution解答


Do the expressions have a common denominator? No. Rewrite each expression with the LCD. 分母は共通か。共通ではない。各式の分母をLCDに書き直す。
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD. それぞれの有理式を、最小公分母を分母とする等しい有理式に書き直す。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。
Subtract the rational expressions. 分数式を引く。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。
Factor the numerator to look for common factors. 分子を因数分解して共通因子を探す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

There are lots of negative signs in the next example. Be extra careful!

英語のヒント

次の例には負号が多く現れる。特に注意しよう。

Example 8.47例題 8.47

Subtract:

\frac{−3 n - 9}{n^{2} + n - 6} - \frac{n + 3}{2 - n} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{−3 n - 9}{n^{2} + n - 6} - \frac{n + 3}{2 - n}

Solution解答


Factor the denominator. 分母を因数分解する。
Since $n - 2$ and $2 - n$ are opposites, we will mutliply the second rational expression by $\frac{−1}{−1}$ . $n - 2$ と $2 - n$ は互いに符号が反対なので、2番目の分数式に $\frac{−1}{−1}$ を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Do the expressions have a common denominator? No. 分母は共通か。共通ではない。
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD. それぞれの有理式を、最小公分母を分母とする等しい有理式に書き直す。
Simplify the numerators. 分子を簡単にする。
Simplify the rational expressions. 分数式を簡単にする。
Simplify the numerator. 分子を簡単にする。
Factor the numerator to look for common factors. 分子を因数分解して共通因子を探す。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

When one expression is not in fraction form, we can write it as a fraction with denominator 1.

英語のヒント

一方の式が分数の形ではない場合は、分母が1の分数として書ける。

Example 8.48例題 8.48

Subtract:

\frac{5 c + 4}{c - 2} - 3 .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{5 c + 4}{c - 2} - 3

Solution解答


Write $3$ as $\frac{3}{1}$ to have 2 rational expressions. $3$ を $\frac{3}{1}$ と書き、二つの分数式にする。
Do the rational expressions have a common denominator? No. 分数式の分母は共通か。共通ではない。
Find the LCD of $c - 2$ and $1 .$ LCD = $c - 2 .$ $c - 2$ と $1$ のLCDを求める。LCD = $c - 2$
Rewrite $\frac{3}{1}$ as an equivalent rational expression with the LCD. $\frac{3}{1}$ を、LCDを分母とする同値な分数式に書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Subtract the rational expressions. 分数式を引く。
Simplify. 簡単にする。
Factor to check for common factors. 因数分解して共通因子を調べる。
There are no common factors; the rational expression is simplified. 共通因子はない。この分数式は簡単な形である。

Try It (2)確認問題（2題）

We follow the same steps as before to find the LCD when we have more than two rational expressions. In the next example we will start by factoring all three denominators to find their LCD.

英語のヒント

分数式が三つ以上ある場合も、同じ手順でLCDを求める。次の例では、まず三つの分母すべてを因数分解し、そのLCDを求める。

Example 8.49例題 8.49

Simplify:

\frac{2 u}{u - 1} + \frac{1}{u} - \frac{2 u - 1}{u^{2} - u} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{2 u}{u - 1} + \frac{1}{u} - \frac{2 u - 1}{u^{2} - u}

Solution解答


Do the rational expressions have a common denominator? No. 分数式の分母は共通か。共通ではない。
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD. それぞれの有理式を、最小公分母を分母とする等しい有理式に書き直す。

Write as one rational expression. 一つの分数式として書く。
Simplify. 簡単にする。
Factor the numerator, and remove common factors. 分子を因数分解し、共通因子を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

Find the Least Common Denominator of Rational Expressions
英語のヒント
分数式の最小公分母を求める
1. Factor each expression completely.
  英語のヒント
  各式を完全に因数分解する。
2. List the factors of each expression. Match factors vertically when possible.
  英語のヒント
  各式の因子を列挙する。可能な限り、同じ因子を縦にそろえる。
3. Bring down the columns.
  英語のヒント
  各列の数を下に書き下ろす。
4. Multiply the factors.
  英語のヒント
  因数どうしを掛ける。
Add or Subtract Rational Expressions
英語のヒント
分数式を足す、または引く
1. Determine if the expressions have a common denominator.
  Yes – go to step 2.
  No – Rewrite each rational expression with the LCD.
  英語のヒント
  分母が共通かどうか調べる。共通なら手順2へ進む。共通でなければ各分数式の分母をLCDに書き直す。
  - Find the LCD.
    英語のヒント
    最小公分母を求める。
  - Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD.
    英語のヒント
    それぞれの有理式を、最小公分母を分母とする等しい有理式に書き直す。
2. Add or subtract the rational expressions.
  英語のヒント
  分数式を足す、または引く。
3. Simplify, if possible.
  英語のヒント
  できる場合は簡単にする。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 169–176練習問題 169–176

In the following exercises, find the LCD.

英語のヒント

次の各問で、LCDを求めよ。

Exercise 169問題 169

\frac{5}{x^{2} - 2 x - 8}, \frac{2 x}{x^{2} - x - 12}

Solution解き方

(x - 4) (x + 2) (x + 3)

Exercise 170問題 170

\frac{8}{y^{2} + 12 y + 35}, \frac{3 y}{y^{2} + y - 42}

Exercise 171問題 171

\frac{9}{z^{2} + 2 z - 8}, \frac{4 z}{z^{2} - 4}

Solution解き方

(z - 2) (z + 4) (z + 2)

Exercise 172問題 172

\frac{6}{a^{2} + 14 a + 45}, \frac{5 a}{a^{2} - 81}

Exercise 173問題 173

\frac{4}{b^{2} + 6 b + 9}, \frac{2 b}{b^{2} - 2 b - 15}

Solution解き方

(b + 3) (b + 3) (b - 5)

Exercise 174問題 174

\frac{5}{c^{2} - 4 c + 4}, \frac{3 c}{c^{2} - 10 c + 16}

Exercise 175問題 175

\frac{2}{3 d^{2} + 14 d - 5}, \frac{5 d}{3 d^{2} - 19 d + 6}

Solution解き方

(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)

Exercise 176問題 176

\frac{3}{5 m^{2} - 3 m - 2}, \frac{6 m}{5 m^{2} + 17 m + 6}

Exercises 177–184練習問題 177–184

In the following exercises, write as equivalent rational expressions with the given LCD.

英語のヒント

次の各問で、与えられたLCDを分母とする同値な分数式として書け。

Exercise 177問題 177

\frac{5}{x^{2} - 2 x - 8}, \frac{2 x}{x^{2} - x - 12}

LCD

(x - 4) (x + 2) (x + 3)

英語のヒント

\frac{5}{x^{2} - 2 x - 8}, \frac{2 x}{x^{2} - x - 12}

最小公分母

(x - 4) (x + 2) (x + 3)

Solution解き方

\frac{5 x + 15}{(x - 4) (x + 2) (x + 3)},

\frac{2 x^{2} + 4 x}{(x - 4) (x + 2) (x + 3)}

\frac{5 x + 15}{(x - 4) (x + 2) (x + 3)}

\frac{2 x^{2} + 4 x}{(x - 4) (x + 2) (x + 3)}

Exercise 178問題 178

\frac{8}{y^{2} + 12 y + 35}, \frac{3 y}{y^{2} + y - 42}

LCD

(y + 7) (y + 5) (y - 6)

英語のヒント

\frac{8}{y^{2} + 12 y + 35}, \frac{3 y}{y^{2} + y - 42}

最小公分母

(y + 7) (y + 5) (y - 6)

Exercise 179問題 179

\frac{9}{z^{2} + 2 z - 8}, \frac{4 z}{z^{2} - 4}

LCD

(z - 2) (z + 4) (z + 2)

英語のヒント

\frac{9}{z^{2} + 2 z - 8}, \frac{4 z}{z^{2} - 4}

最小公分母

(z - 2) (z + 4) (z + 2)

Solution解き方

\frac{9 z + 18}{(z - 2) (z + 4) (z + 2)},

\frac{4 z^{2} + 16 z}{(z - 2) (z + 4) (z + 2)}

\frac{9 z + 18}{(z - 2) (z + 4) (z + 2)}

\frac{4 z^{2} + 16 z}{(z - 2) (z + 4) (z + 2)}

Exercise 180問題 180

\frac{6}{a^{2} + 14 a + 45}, \frac{5 a}{a^{2} - 81}

LCD

(a + 9) (a + 5) (a - 9)

英語のヒント

\frac{6}{a^{2} + 14 a + 45}, \frac{5 a}{a^{2} - 81}

最小公分母

(a + 9) (a + 5) (a - 9)

Exercise 181問題 181

\frac{4}{b^{2} + 6 b + 9}, \frac{2 b}{b^{2} - 2 b - 15}

LCD

(b + 3) (b + 3) (b - 5)

英語のヒント

\frac{4}{b^{2} + 6 b + 9}, \frac{2 b}{b^{2} - 2 b - 15}

最小公分母

(b + 3) (b + 3) (b - 5)

Solution解き方

\frac{4 b - 20}{(b + 3) (b + 3) (b - 5)},

\frac{2 b^{2} + 6 b}{(b + 3) (b + 3) (b - 5)}

\frac{4 b - 20}{(b + 3) (b + 3) (b - 5)}

\frac{2 b^{2} + 6 b}{(b + 3) (b + 3) (b - 5)}

Exercise 182問題 182

\frac{5}{c^{2} - 4 c + 4}, \frac{3 c}{c^{2} - 10 c + 16}

LCD

(c - 2) (c - 2) (c - 8)

英語のヒント

\frac{5}{c^{2} - 4 c + 4}, \frac{3 c}{c^{2} - 10 c + 16}

最小公分母

(c - 2) (c - 2) (c - 8)

Exercise 183問題 183

\frac{2}{3 d^{2} + 14 d - 5}, \frac{5 d}{3 d^{2} - 19 d + 6}

LCD

(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)

英語のヒント

\frac{2}{3 d^{2} + 14 d - 5}, \frac{5 d}{3 d^{2} - 19 d + 6}

最小公分母

(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)

Solution解き方

\frac{2 d - 12}{(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)},

\frac{5 d^{2} + 25 d}{(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)}

\frac{2 d - 12}{(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)}

\frac{5 d^{2} + 25 d}{(3 d - 1) (d + 5) (d - 6)}

Exercise 184問題 184

\frac{3}{5 m^{2} - 3 m - 2}, \frac{6 m}{5 m^{2} + 17 m + 6}

LCD

(5 m + 2) (m - 1) (m + 3)

英語のヒント

\frac{3}{5 m^{2} - 3 m - 2}, \frac{6 m}{5 m^{2} + 17 m + 6}

最小公分母

(5 m + 2) (m - 1) (m + 3)

Exercises 185–208練習問題 185–208

In the following exercises, add.

英語のヒント

以下の問題では、足し算せよ。

Exercise 185問題 185

\frac{5}{24} + \frac{11}{36}

Solution解き方

\frac{37}{72}

Exercise 186問題 186

\frac{7}{30} + \frac{13}{45}

Exercise 187問題 187

\frac{9}{20} + \frac{11}{30}

Solution解き方

\frac{49}{60}

Exercise 188問題 188

\frac{8}{27} + \frac{7}{18}

Exercise 189問題 189

\frac{7}{10 x^{2} y} + \frac{4}{15 x y^{2}}

Solution解き方

\frac{21 y + 8 x}{30 x^{2} y^{2}}

Exercise 190問題 190

\frac{1}{12 a^{3} b^{2}} + \frac{5}{9 a^{2} b^{3}}

Exercise 191問題 191

\frac{1}{2 m} + \frac{7}{8 m^{2} n}

Solution解き方

\frac{4 m n + 7}{8 m^{2} n}

Exercise 192問題 192

\frac{5}{6 p^{2} q} + \frac{1}{4 p}

Exercise 193問題 193

\frac{3}{r + 4} + \frac{2}{r - 5}

Solution解き方

\frac{5 r - 7}{(r + 4) (r - 5)}

Exercise 194問題 194

\frac{4}{s - 7} + \frac{5}{s + 3}

Exercise 195問題 195

\frac{8}{t + 5} + \frac{6}{t - 5}

Solution解き方

\frac{14 t - 10}{(t + 5) (t - 5)}

Exercise 196問題 196

\frac{7}{v + 5} + \frac{9}{v - 5}

Exercise 197問題 197

\frac{5}{3 w - 2} + \frac{2}{w + 1}

Solution解き方

\frac{11 w + 1}{(3 w - 2) (w + 1)}

Exercise 198問題 198

\frac{4}{2 x + 5} + \frac{2}{x - 1}

Exercise 199問題 199

\frac{2 y}{y + 3} + \frac{3}{y - 1}

Solution解き方

\frac{2 y^{2} + y + 9}{(y + 3) (y - 1)}

Exercise 200問題 200

\frac{3 z}{z - 2} + \frac{1}{z + 5}

Exercise 201問題 201

\frac{5 b}{a^{2} b - 2 a^{2}} + \frac{2 b}{b^{2} - 4}

Solution解き方

\frac{b (5 b + 10 + 2 a^{2})}{a^{2} (b - 2) (b + 2)}

Exercise 202問題 202

\frac{4}{c d + 3 c} + \frac{1}{d^{2} - 9}

Exercise 203問題 203

\frac{2 m}{3 m - 3} + \frac{5 m}{m^{2} + 3 m - 4}

Solution解き方

\frac{2 m^{2} + 23 m}{3 (m - 1) (m + 4)}

Exercise 204問題 204

\frac{3}{4 n + 4} + \frac{6}{n^{2} - n - 2}

Exercise 205問題 205

\frac{3}{n^{2} + 3 n - 18} + \frac{4 n}{n^{2} + 8 n + 12}

Solution解き方

\frac{4 n^{2} - 9 n + 6}{(n - 3) (n + 6) (n + 2)}

Exercise 206問題 206

\frac{6}{q^{2} - 3 q - 10} + \frac{5 q}{q^{2} - 8 q + 15}

Exercise 207問題 207

\frac{3 r}{r^{2} + 7 r + 6} + \frac{9}{r^{2} + 4 r + 3}

Solution解き方

\frac{3 (r^{2} + 6 r + 18)}{(r + 1) (r + 6) (r + 3)}

Exercise 208問題 208

\frac{2 s}{s^{2} + 2 s - 8} + \frac{4}{s^{2} + 3 s - 10}

Exercises 209–228練習問題 209–228

In the following exercises, subtract.

英語のヒント

次の練習問題では、ひき算をせよ。

Exercise 209問題 209

\frac{t}{t - 6} - \frac{t - 2}{t + 6}

Solution解き方

\frac{2 (7 t - 6)}{(t - 6) (t + 6)}

Exercise 210問題 210

\frac{v}{v - 3} - \frac{v - 6}{v + 1}

Exercise 211問題 211

\frac{w + 2}{w + 4} - \frac{w}{w - 2}

Solution解き方

\frac{−4 (1 + w)}{(w + 4) (w - 2)}

Exercise 212問題 212

\frac{x - 3}{x + 6} - \frac{x}{x + 3}

Exercise 213問題 213

\frac{y - 4}{y + 1} - \frac{1}{y + 7}

Solution解き方

\frac{y^{2} + 2 y - 29}{(y + 1) (y + 7)}

Exercise 214問題 214

\frac{z + 8}{z - 3} - \frac{z}{z - 2}

Exercise 215問題 215

\frac{5 a}{a + 3} - \frac{a + 2}{a + 6}

Solution解き方

\frac{4 a^{2} + 25 a - 6}{(a + 3) (a + 6)}

Exercise 216問題 216

\frac{3 b}{b - 2} - \frac{b - 6}{b - 8}

Exercise 217問題 217

\frac{6 c}{c^{2} - 25} - \frac{3}{c + 5}

Solution解き方

\frac{3}{c - 5}

Exercise 218問題 218

\frac{4 d}{d^{2} - 81} - \frac{2}{d + 9}

Exercise 219問題 219

\frac{6}{m + 6} - \frac{12 m}{m^{2} - 36}

Solution解き方

\frac{−6}{m - 6}

Exercise 220問題 220

\frac{4}{n + 4} - \frac{8 n}{n^{2} - 16}

Exercise 221問題 221

\frac{−9 p - 17}{p^{2} - 4 p - 21} - \frac{p + 1}{7 - p}

Solution解き方

\frac{p + 2}{p + 3}

Exercise 222問題 222

\frac{- 13 q - 8}{q^{2} + 2 q - 24} - \frac{q + 2}{4 - q}

Exercise 223問題 223

\frac{−2 r - 16}{r^{2} + 6 r - 16} - \frac{5}{2 - r}

Solution解き方

\frac{3}{r - 2}

Exercise 224問題 224

\frac{2 t - 30}{t^{2} + 6 t - 27} - \frac{2}{3 - t}

Exercise 225問題 225

\frac{5 v - 2}{v + 3} - 4

Solution解き方

\frac{v - 14}{v + 3}

Exercise 226問題 226

\frac{6 w + 5}{w - 1} + 2

Exercise 227問題 227

\frac{2 x + 7}{10 x - 1} + 3

Solution解き方

\frac{4 (8 x + 1)}{10 x - 1}

Exercise 228問題 228

\frac{8 y - 4}{5 y + 2} - 6

Exercises 229–232練習問題 229–232

In the following exercises, add and subtract.

英語のヒント

次の各問で、足し算と引き算をせよ。

Exercise 229問題 229

\frac{5 a}{a - 2} + \frac{9}{a} - \frac{2 a + 18}{a^{2} - 2 a}

Solution解き方

\frac{5 a^{2} + 7 a - 36}{a (a - 2)}

Exercise 230問題 230

\frac{2 b}{b - 5} + \frac{3}{2 b} - \frac{2 b - 15}{2 b^{2} - 10 b}

Exercise 231問題 231

\frac{c}{c + 2} + \frac{5}{c - 2} - \frac{10 c}{c^{2} - 4}

Solution解き方

\frac{c - 5}{c + 2}

Exercise 232問題 232

\frac{6 d}{d - 5} + \frac{1}{d + 4} - \frac{7 d - 5}{d^{2} - d - 20}

Exercises 233–250練習問題 233–250

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 233問題 233

\frac{6 a}{3 a b + b^{2}} + \frac{3 a}{9 a^{2} - b^{2}}

Solution解き方

\frac{3 a (6 a - b)}{b (3 a + b) (3 a - b)}

Exercise 234問題 234

\frac{2 c}{2 c + 10} + \frac{7 c}{c^{2} + 9 c + 20}

Exercise 235問題 235

\frac{6 d}{d^{2} - 64} - \frac{3}{d - 8}

Solution解き方

\frac{3}{d + 8}

Exercise 236問題 236

\frac{5}{n + 7} - \frac{10 n}{n^{2} - 49}

Exercise 237問題 237

\frac{4 m}{m^{2} + 6 m - 7} + \frac{2}{m^{2} + 10 m + 21}

Solution解き方

\frac{2 (2 m^{2} + 7 m - 1)}{(m + 7) (m - 1) (m + 3)}

Exercise 238問題 238

\frac{3 p}{p^{2} + 4 p - 12} + \frac{1}{p^{2} + p - 30}

Exercise 239問題 239

\frac{−5 n - 5}{n^{2} + n - 6} + \frac{n + 1}{2 - n}

Solution解き方

- \frac{(n + 1) (n + 8)}{(n + 3) (n - 2)}

Exercise 240問題 240

\frac{−4 b - 24}{b^{2} + b - 30} + \frac{b + 7}{5 - b}

Exercise 241問題 241

\frac{7}{15 p} + \frac{5}{18 p q}

Solution解き方

\frac{42 q + 25}{90 p q}

Exercise 242問題 242

\frac{3}{20 a^{2}} + \frac{11}{12 a b^{2}}

Exercise 243問題 243

\frac{4}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}

Solution解き方

\frac{7 (x + 2)}{(x - 2) (x + 5)}

Exercise 244問題 244

\frac{6}{m + 4} + \frac{9}{m - 8}

Exercise 245問題 245

\frac{2 q + 7}{q + 4} - 2

Solution解き方

\frac{- 1}{q + 4}

Exercise 246問題 246

\frac{3 y - 1}{y + 4} - 2

Exercise 247問題 247

\frac{z + 2}{z - 5} - \frac{z}{z + 1}

Solution解き方

\frac{2 (4 z + 1)}{(z - 5) (z + 1)}

Exercise 248問題 248

\frac{t}{t - 5} - \frac{t - 1}{t + 5}

Exercise 249問題 249

\frac{3 d}{d + 2} + \frac{4}{d} - \frac{d + 8}{d^{2} + 2 d}

Solution解き方

\frac{3 (d + 1)}{d + 2}

Exercise 250問題 250

\frac{2 q}{q + 5} + \frac{3}{q - 3} - \frac{13 q + 15}{q^{2} + 2 q - 15}