第8章有理式と有理方程式

8.7 Solve Proportion and Similar Figure Applications8.7　比例式と相似な図形の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve proportions
英語のヒント
比例式を解く
Solve similar figure applications
英語のヒント
相似な図形の応用問題を解く

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Solve Proportions比例式を解く

When two rational expressions are equal, the equation relating them is called a proportion.

英語のヒント

二つの分数式が等しいとき、それらの関係を表す方程式を比例式と呼ぶ。

The equation

\frac{1}{2} = \frac{4}{8}

is a proportion because the two fractions are equal. The proportion

\frac{1}{2} = \frac{4}{8}

is read “1 is to 2 as 4 is to 8.”

英語のヒント

方程式

\frac{1}{2} = \frac{4}{8}

は、二つの分数が等しいので比例式である。比例式

\frac{1}{2} = \frac{4}{8}

は「1対2は4対8に等しい」と読む。

Proportions are used in many applications to ‘scale up’ quantities. We’ll start with a very simple example so you can see how proportions work. Even if you can figure out the answer to the example right away, make sure you also learn to solve it using proportions.

英語のヒント

比例式は、量を「拡大」する多くの応用に使われる。比例式の働きが分かるよう、まず非常に簡単な例から始める。例の答えがすぐに分かっても、比例式を使って解く方法も必ず学ぼう。

Suppose a school principal wants to have 1 teacher for 20 students. She could use proportions to find the number of teachers for 60 students. We let x be the number of teachers for 60 students and then set up the proportion:

英語のヒント

校長が生徒20人に対して教師1人を配置したいと考えているとする。生徒60人に必要な教師の人数は比例式で求められる。生徒60人に対する教師の人数をxとして、次の比例式を立てる。

\frac{1 teacher}{20 students} = \frac{x teachers}{60 students}

\frac{1 教師}{20 生徒} = \frac{x 教師}{60 生徒}

We are careful to match the units of the numerators and the units of the denominators—teachers in the numerators, students in the denominators.

英語のヒント

分子どうしと分母どうしの単位をそろえるよう注意する。分子は教師、分母は生徒とする。

Since a proportion is an equation with rational expressions, we will solve proportions the same way we solved equations in Solve Rational Equations. We’ll multiply both sides of the equation by the LCD to clear the fractions and then solve the resulting equation.

英語のヒント

比例式は分数式を含む方程式なので、「分数方程式を解く」で方程式を解いたのと同じ方法で解く。両辺にLCDを掛けて分数をなくし、得られた方程式を解く。

So let’s finish solving the principal’s problem now. We will omit writing the units until the last step.

英語のヒント

それでは校長の問題を最後まで解こう。最後の手順まで単位の記載は省略する。


Multiply both sides by the LCD, 60. 両辺にLCDの60を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
	The principal needs 3 teachers for 60 students. 校長は生徒60人に対して教師3人を必要とする。

Now we’ll do a few examples of solving numerical proportions without any units. Then we will solve applications using proportions.

英語のヒント

次に、単位を含まない数値の比例式を解く例をいくつか扱う。その後で比例式を使った応用問題を解く。

Example 8.71例題 8.71

Solve the proportion:

\frac{x}{63} = \frac{4}{7} .

英語のヒント

比例式を解け：

\frac{x}{63} = \frac{4}{7}

Solution解答


To isolate $x$ , multiply both sides by the LCD, 63. $x$ を単独にするため、両辺に最小公分母の63を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Divide the common factors. 共通因数を約分する。
Check. To check our answer, we substitute into the original proportion. 確かめる。答えを確かめるため、元の比例式に代入する。


Show common factors. 共通因数を示す。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

When we work with proportions, we exclude values that would make either denominator zero, just like we do for all rational expressions. What value(s) should be excluded for the proportion in the next example?

英語のヒント

比例式を扱うときは、すべての分数式の場合と同じように、どちらかの分母を0にする値を除外する。次の例の比例式では、どの値を除外する必要があるか。

Example 8.72例題 8.72

Solve the proportion:

\frac{144}{a} = \frac{9}{4} .

英語のヒント

比例式を解け：

\frac{144}{a} = \frac{9}{4}

Solution解答


Multiply both sides by the LCD. 両辺にthe LCDを掛ける。
Remove common factors on each side. それぞれの辺で共通因子を約分する。
Simplify. 簡単にする。
Divide both sides by 9. 両辺を9で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check. 確かめる。


Show common factors. 共通因数を示す。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.73例題 8.73

Solve the proportion:

\frac{n}{n + 14} = \frac{5}{7} .

英語のヒント

比例式を解け：

\frac{n}{n + 14} = \frac{5}{7}

Solution解答


Multiply both sides by the LCD. 両辺にthe LCDを掛ける。
Remove common factors on each side. それぞれの辺で共通因子を約分する。
Simplify. 簡単にする。
Solve for $n$ . $n$ について解く。

Check. 確かめる。


Simplify. 簡単にする。
Show common factors. 共通因数を示す。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.74例題 8.74

Solve:

\frac{p + 12}{9} = \frac{p - 12}{6} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{p + 12}{9} = \frac{p - 12}{6}

Solution解答


Multiply both sides by the LCD, 18. 両辺にLCDの18を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Distribute. 分配法則を使う。
Solve for $p$ . $p$ について解く。
Check. 確かめる。


Simplify. 簡単にする。
Divide. 割る。

Try It (2)確認問題（2題）

To solve applications with proportions, we will follow our usual strategy for solving applications. But when we set up the proportion, we must make sure to have the units correct—the units in the numerators must match and the units in the denominators must match.

英語のヒント

比例式の応用問題は、通常の応用問題の解法の方針に従って解く。ただし、比例式を立てるときは単位を正しくそろえなければならない。分子どうしの単位と、分母どうしの単位がそれぞれ一致する必要がある。

Example 8.75例題 8.75

When pediatricians prescribe acetaminophen to children, they prescribe 5 milliliters (ml) of acetaminophen for every 25 pounds of the child’s weight. If Zoe weighs 80 pounds, how many milliliters of acetaminophen will her doctor prescribe?

英語のヒント

小児科医が子どもにアセトアミノフェンを処方するとき、体重25ポンドにつき5ミリリットル（ml）を処方する。ゾーイの体重が80ポンドなら、医師は何ミリリットルのアセトアミノフェンを処方するか。

Solution解答

Identify what we are asked to find, and choose a variable to represent it. 何を求めるよう問われているかを特定し、それを表す変数を選ぶ。		How many ml of acetaminophen will the doctor prescribe? 医師はアセトアミノフェンを何ml処方するか。
		Let $a = ml$ of acetaminophen. アセトアミノフェンの量を $a = ml$ とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。		If 5 ml is prescribed for every 25 pounds, how much will be prescribed for 80 pounds? 25ポンド当たり5 mlを処方するなら、80ポンドではどれだけ処方するか。
Translate into a proportion–be careful of the units. $\frac{ml}{pounds} = \frac{ml}{pounds}$ 単位に注意し、比例式に直す。 $\frac{ml}{ポンド} = \frac{ml}{ポンド}$
Multiply both sides by the LCD, 400. 両辺にLCDの400を掛ける。
Remove common factors on each side. それぞれの辺で共通因子を約分する。
Simplify, but don't multiply on the left. Notice what the next step will be. 簡単にするが、左辺の掛け算は行わない。次の手順が何かに注目する。
Solve for $a$ . $a$ について解く。
Check. 確かめる。
Is the answer reasonable? 答えは妥当か。
Yes, since 80 is about 3 times 25, the medicine should be about 3 times 5. So 16 ml makes sense. 妥当である。80は25のおよそ3倍なので、薬の量は5のおよそ3倍になるはずである。したがって16mlは理にかなっている。

Write a complete sentence. 答えを文で書く。		The pediatrician would prescribe 16 ml of acetaminophen to Zoe. 小児科医はゾーイに16 mlのアセトアミノフェンを処方する。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.76例題 8.76

A 16-ounce iced caramel macchiato has 230 calories. How many calories are there in a 24-ounce iced caramel macchiato?

英語のヒント

16オンスのアイスキャラメルマキアートは230カロリーである。24オンスのアイスキャラメルマキアートは何カロリーか。

Solution解答

Identify what we are asked to find, and choose a variable to represent it. 何を求めるよう問われているかを特定し、それを表す変数を選ぶ。		How many calories are in a 24 ounce iced caramel macchiato? 24オンスのアイスキャラメルマキアートは何カロリーか。
		Let $c = calories$ in 24 ounces. 24オンスのカロリー数を $c = カロリー$ とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。		If there are 230 calories in 16 ounces, then how many calories are in 24 ounces? 16オンスで230カロリーなら、24オンスでは何カロリーか。
Translate into a proportion–be careful of the units. $\frac{calories}{ounce} = \frac{calories}{ounce}$ 単位に注意し、比例式に直す。 $\frac{カロリー}{オンス} = \frac{カロリー}{オンス}$
Multiply both sides by the LCD, 48. 両辺にLCDの48を掛ける。
Remove common factors on each side. それぞれの辺で共通因子を約分する。
Simplify. 簡単にする。
Solve for $c$ . $c$ について解く。

Check. 確かめる。
Is the answer reasonable? 答えは妥当か。
Yes, 345 calories for 24 ounces is more than 290 calories for 16 ounces, but not too much more. 妥当である。24オンスの345カロリーは、16オンスの290カロリーより多いが、それほど大きくは増えていない。

Write a complete sentence. 答えを文で書く。		There are 345 calories in a 24-ounce iced caramel macchiato. 24オンスのアイスキャラメルマキアートは345カロリーである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.77例題 8.77

Josiah went to Mexico for spring break and changed $325 dollars into Mexican pesos. At that time, the exchange rate had $1 US is equal to 12.54 Mexican pesos. How many Mexican pesos did he get for his trip?

英語のヒント

ジョサイアは春休みにメキシコへ行き、325ドルをメキシコペソに両替した。そのときの為替レートは1米ドル＝12.54メキシコペソだった。旅行のために何メキシコペソを受け取ったか。

Solution解答

What are you asked to find? 何を求めるよう問われているか。		How many Mexican pesos did Josiah get? ジョサイアは何メキシコ・ペソを受け取ったか。
Assign a variable. 変数を割り当てる。		Let $p = the number of Mexican pesos.$ $p = メキシコペソの額。$ とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。		If $1 US is equal to 12.54 Mexican pesos, then $325 is how many pesos? 1米ドルが12.54メキシコペソなら、325ドルは何ペソか。
Translate into a proportion–be careful of the units. 単位に注意して比例式に直す。
$\frac{$}{pesos} = \frac{$}{pesos}$ $\frac{$}{ペソ} = \frac{$}{ペソ}$
Multiply both sides by the LCD, $12.54 p$ . 両辺にLCDの $12.54 p$ を掛ける。
Remove common factors on each side. それぞれの辺で共通因子を約分する。
Simplify. 簡単にする。
Check. 確かめる。
Is the answer reasonable? 答えは妥当か。
Yes, $100 would be 1,254 pesos. $325 is a little more than 3 times this amount, so our answer of 4075.5 pesos makes sense. 妥当である。100ドルは1,254ペソとなる。325ドルはこの金額の3倍より少し多いので、4075.5ペソという答えは理にかなっている。

Write a complete sentence. 答えを文で書く。		Josiah got 4075.5 pesos for his spring break trip. ジョサイアは春休みの旅行のために4075.5ペソを受け取った。

Try It (2)確認問題（2題）

In the example above, we related the number of pesos to the number of dollars by using a proportion. We could say the number of pesos is proportional to the number of dollars. If two quantities are related by a proportion, we say that they are proportional.

英語のヒント

上の例では、比例式を用いてペソの額とドルの額を関連付けた。ペソの額はドルの額に比例すると言える。二つの量が比例式で関連付けられているとき、それらは比例すると言う。

第8章有理式と有理方程式

8.7 Solve Proportion and Similar Figure Applications8.7 比例式と相似な図形の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Proportions比例式を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

8.7 Solve Proportion and Similar Figure Applications8.7　比例式と相似な図形の応用問題を解く