第10章固定軸まわりの回転

Angular Acceleration角加速度

We have just discussed angular velocity for uniform circular motion, but not all motion is uniform. Envision an ice skater spinning with his arms outstretched—when he pulls his arms inward, his angular velocity increases. Or think about a computer’s hard disk slowing to a halt as the angular velocity decreases. We will explore these situations later, but we can already see a need to define an angular acceleration for describing situations where

ω

changes. The faster the change in

ω

, the greater the angular acceleration. We define the instantaneous angular acceleration

α

as the derivative of angular velocity with respect to time:

英語のヒント

等速円運動の角速度を扱ってきたが、すべての運動が一様とは限らない。腕を広げて回転するアイススケート選手を思い浮かべよう。腕を内側へ引くと、角速度が増す。また、角速度が減って停止に至るコンピューターのハードディスクを考えてもよい。これらは後で詳しく調べるが、

ω

が変化する状況を記述するには、角加速度を定義する必要があると分かる。

ω

の変化が速いほど角加速度は大きい。瞬間角加速度

α

を、角速度の時間微分として定義する。

where we have taken the limit of the average angular acceleration,

\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t}

Δ t \to 0

英語のヒント

ここでは、平均角加速度

\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t}

の、

Δ t \to 0

における極限を取った。

The units of angular acceleration are (rad/s)/s, or

{rad/s}^{2}

英語のヒント

角加速度の単位は(rad/s)/s、すなわち

{rad/s}^{2}

である。

In the same way as we defined the vector associated with angular velocity

\vec{ω}

, we can define

\vec{α}

, the vector associated with angular acceleration (Figure 10.7). If the angular velocity is along the positive z-axis, as in Figure 10.5, and

\frac{d ω}{d t}

is positive, then the angular acceleration

\vec{α}

is positive and points along the

+ z -

axis. Similarly, if the angular velocity

\vec{ω}

is along the positive z-axis and

\frac{d ω}{d t}

is negative, then the angular acceleration is negative and points along the

- z -

axis.

英語のヒント

角速度に対応するベクトル

\vec{ω}

を定義したのと同じように、角加速度に対応するベクトル

\vec{α}

も定義できる（図10.7）。図10.5のように角速度が正のz軸に沿い、

\frac{d ω}{d t}

が正なら、角加速度

\vec{α}

は正で、

+ z -

軸に沿う。同様に、角速度

\vec{ω}

が正のz軸に沿い、

\frac{d ω}{d t}

が負なら、角加速度は負で、

- z -

軸に沿う。

(a)反時計回りの回転を示す。角加速度は角速度と同じ向きである。図の下には「反時計回りの回転が速くなる」とある。(b)時計回りの回転を示す。角加速度は角速度と逆向きである。図の下には「時計回りの回転が遅くなる」とある。 — Figure 10.7図 10.7
The rotation is counterclockwise in both (a) and (b) with the angular velocity in the same direction. (a) The angular acceleration is in the same direction as the angular velocity, which increases the rotation rate. (b) The angular acceleration is in the opposite direction to the angular velocity, which decreases the rotation rate.
英語のヒント
(a)、(b)とも反時計回りで、角速度は同じ向きである。(a)角加速度は角速度と同じ向きで、回転の速さを増す。(b)角加速度は角速度と逆向きで、回転の速さを減らす。

We can express the tangential acceleration vector as a cross product of the angular acceleration and the position vector. This expression can be found by taking the time derivative of

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{r}

and is left as an exercise:

英語のヒント

接線加速度ベクトルは、角加速度と位置ベクトルの外積として表せる。この式は

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{r}

を時間で微分して得られる。導出は演習とする。

\vec{a} = \vec{α} \times \vec{r} .

(10.7)

The vector relationships for the angular acceleration and tangential acceleration are shown in Figure 10.8.

英語のヒント

角加速度と接線加速度のベクトルの関係を図10.8に示す。

(a)xyz座標系に三つのベクトルを示す。αはzの正方向を向き、aはxy平面内にある。rは座標系の原点からaの始点へ向かう。(b)xyz座標系に三つのベクトルを示す。αはzの負方向を向き、aはxy平面内にある。rは原点からaの始点へ向かう。 — Figure 10.8図 10.8
(a) The angular acceleration is the positive z-direction and produces a tangential acceleration in a counterclockwise sense. (b) The angular acceleration is in the negative z-direction and produces a tangential acceleration in the clockwise sense.
英語のヒント
(a)角加速度はzの正方向で、反時計回りの接線加速度を生じさせる。(b)角加速度はzの負方向で、時計回りの接線加速度を生じさせる。

We can relate the tangential acceleration of a point on a rotating body at a distance from the axis of rotation in the same way that we related the tangential speed to the angular velocity. If we differentiate Equation 10.4 with respect to time, noting that the radius r is constant, we obtain

英語のヒント

回転物体上で回転軸からある距離にある点の接線加速度も、接線方向の速さと角速度を関係づけたのと同じように扱える。半径rが一定であることに注意して、式10.4を時間で微分すると、次を得る。

Thus, the tangential acceleration

a_{t}

is the radius times the angular acceleration. Equation 10.4 and Equation 10.8 are important for the discussion of rolling motion (see Angular Momentum).

英語のヒント

したがって、接線加速度

a_{t}

は、半径と角加速度の積である。式10.4と式10.8は、転がり運動を論じる際に重要となる（「角運動量」参照）。

Let’s apply these ideas to the analysis of a few simple fixed-axis rotation scenarios. Before doing so, we present a problem-solving strategy that can be applied to rotational kinematics: the description of rotational motion.

英語のヒント

これらの考えを、固定軸の周りの回転の簡単な事例に適用しよう。その前に、回転の運動学、つまり回転運動の記述に使える問題解法の方針を示す。

Rotational Kinematics回転の運動学

Examine the situation to determine that rotational kinematics (rotational motion) is involved.
英語のヒント
状況を調べ、回転の運動学（回転運動）が関わることを確かめる。
Identify exactly what needs to be determined in the problem (identify the unknowns). A sketch of the situation is useful.
英語のヒント
問題で何を求める必要があるかを正確に特定する（未知量を特定する）。状況の概略図を描くと役立つ。
Make a complete list of what is given or can be inferred from the problem as stated (identify the knowns).
英語のヒント
問題文で与えられたこと、またはそこから推定できることを、漏れなく一覧にする（既知量を特定する）。
Solve the appropriate equation or equations for the quantity to be determined (the unknown). It can be useful to think in terms of a translational analog, because by now you are familiar with the equations of translational motion.
英語のヒント
適切な式を、求める量（未知量）について解く。並進運動の式はすでに学んでいるので、並進運動で対応するものを考えると役立つ。
Substitute the known values along with their units into the appropriate equation and obtain numerical solutions complete with units. Be sure to use units of radians for angles.
英語のヒント
既知の値を単位とともに適切な式へ代入し、単位を含む数値解を得る。角度の単位には必ずラジアンを使う。
Check your answer to see if it is reasonable: Does your answer make sense?
英語のヒント
答えが妥当かを確認する。答えは筋が通っているか。

Now let’s apply this problem-solving strategy to a few specific examples.

英語のヒント

この解法の方針を、いくつかの具体例へ適用しよう。

Example 10.2例題 10.2

A Spinning Bicycle Wheel回転する自転車の車輪

A bicycle mechanic mounts a bicycle on the repair stand and starts the rear wheel spinning from rest to a final angular velocity of 250 rpm in 5.00 s. (a) Calculate the average angular acceleration in

{rad/s}^{2}

. (b) If she now hits the brakes, causing an angular acceleration of −87.3

{rad/s}^{2}

, how long does it take the wheel to stop?

英語のヒント

自転車整備士が自転車を修理台へ取り付け、静止していた後輪を回し始め、5.00 sで角速度250 rpmにする。(a)平均角加速度を

{rad/s}^{2}

で計算せよ。(b)次にブレーキをかけ、−87.3

{rad/s}^{2}

の角加速度を生じさせると、車輪は何秒で止まるか。

Strategy方針

The average angular acceleration can be found directly from its definition

\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t}

because the final angular velocity and time are given. We see that

Δ ω = ω_{final} - ω_{initial} = 250 rev/min

and

Δ t

is 5.00 s. For part (b), we know the angular acceleration and the initial angular velocity. We can find the stopping time by using the definition of average angular acceleration and solving for

Δ t

, yielding

英語のヒント

最終角速度と時間が与えられているので、平均角加速度は定義

\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t}

から直接求められる。

Δ ω = ω_{最後} - ω_{初め} = 250 rev/min

で、

Δ t

は5.00 sである。(b)では角加速度と初めの角速度が分かっている。平均角加速度の定義を

Δ t

について解くことで、停止までの時間を求められる。

Δ t = \frac{Δ ω}{α} .

Solution解答

Entering known information into the definition of angular acceleration, we get
英語のヒント
既知の情報を角加速度の定義へ代入すると、次を得る。

$\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{250 rpm}{5.00 s} .$

Because $Δ ω$ is in revolutions per minute (rpm) and we want the standard units of ${rad/s}^{2}$ for angular acceleration, we need to convert from rpm to rad/s:
英語のヒント
$Δ ω$ は回転毎分（rpm）で与えられているが、角加速度の標準単位 ${rad/s}^{2}$ を使いたい。そのため、rpmをrad/sへ換算する必要がある。

$Δ ω = 250 \frac{rev}{min} \cdot \frac{2 π rad}{rev} \cdot \frac{1 min}{60 s} = 26.2 \frac{rad}{s} .$

Entering this quantity into the expression for $α$ , we get
英語のヒント
この量を $α$ の式へ代入すると、次を得る。

$α = \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{26.2 rad/s}{5.00 s} = 5.24 {rad/s}^{2} .$
Here the angular velocity decreases from 26.2 rad/s (250 rpm) to zero, so that $Δ ω$ is −26.2 rad/s, and $α$ is given to be –87.3 ${rad/s}^{2}$ . Thus,
英語のヒント
角速度は26.2 rad/s（250 rpm）から0へ減るので、 $Δ ω$ は−26.2 rad/sとなる。 $α$ は−87.3 ${rad/s}^{2}$ と与えられている。したがって、

$Δ t = \frac{−26.2 rad/s}{−87.3 {rad/s}^{2}} = 0.300 s .$

Significance考察

Note that the angular acceleration as the mechanic spins the wheel is small and positive; it takes 5 s to produce an appreciable angular velocity. When she hits the brake, the angular acceleration is large and negative. The angular velocity quickly goes to zero.

英語のヒント

整備士が車輪を回すときの角加速度は小さく、正である。かなりの角速度に達するのに5 sかかる。ブレーキをかけると、角加速度は大きく、負になる。角速度はすぐに0となる。

The fan blades on a turbofan jet engine (shown below) accelerate from rest up to a rotation rate of 40.0 rev/s in 20 s. The increase in angular velocity of the fan is constant in time. (The GE90-110B1 turbofan engine mounted on a Boeing 777, as shown, is currently the largest turbofan engine in the world, capable of thrusts of 330–510 kN.)

英語のヒント

下図のターボファンジェットエンジンのファンの羽根が、静止状態から20 sで40.0 rev/sまで加速する。ファンの角速度の増加率は時間によらず一定である。（図のボーイング777に搭載されたGE90-110B1ターボファンエンジンは、現在世界最大のターボファンエンジンで、330～510 kNの推力を生む能力を持つ。）

(a) What is the average angular acceleration?

英語のヒント

(a)平均角加速度は何か。

(b) What is the instantaneous angular acceleration at any time during the first 20 s?

英語のヒント

(b)最初の20 s間の任意の時刻で、瞬間角加速度は何か。

Stefan (Bubinator), GE90 B777-200LR. Modified in OpenStax University Physics Volume 1. CC BY 2.5. · CC BY 2.5 · Source出典

Figure 10.9図 10.9

(credit: “Bubinator”/ Wikimedia Commons)

（出典：「Bubinator」／Wikimedia Commons）

Solution解き方

40.0 rev / s = 2 π (40.0) rad / s

\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{2 π (40.0) - 0 rad/s}{20.0 s} = 2 π (2.0) = 4.0 π rad/ s^{2}

; b. Since the angular velocity increases linearly, there has to be a constant acceleration throughout the indicated time. Therefore, the instantaneous angular acceleration at any time is the solution to

4.0 π rad/ s^{2}

英語のヒント

(a)

40.0 rev / s = 2 π (40.0) rad / s

、

\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{2 π (40.0) - 0 rad/s}{20.0 s} = 2 π (2.0) = 4.0 π rad/ s^{2}

。(b)角速度が時間に比例して増えるため、この時間内では加速度が一定でなければならない。したがって、任意の時刻での瞬間角加速度は、解

4.0 π rad/ s^{2}

に等しい。

Example 10.3例題 10.3

Wind Turbine風力タービン

A wind turbine (Figure 10.10) in a wind farm is being shut down for maintenance. It takes 30 s for the turbine to go from its operating angular velocity to a complete stop in which the angular velocity function is

ω (t) = [{(t s^{−1} −30.0)}^{2} / 100.0] rad / s

, where

t

is the time in seconds. If the turbine is rotating counterclockwise looking into the page, (a) what are the directions of the angular velocity and acceleration vectors? (b) What is the average angular acceleration? (c) What is the instantaneous angular acceleration at

t = 0.0, 15.0, 30.0 s ?

英語のヒント

風力発電所のタービン（図10.10）を、保守作業のために停止させる。稼働時の角速度から完全に止まるまで30 sかかり、角速度の関数は

ω (t) = [{(t s^{−1} −30.0)}^{2} / 100.0] rad / s

で与えられる。

t

は秒で測った時間である。紙面を正面から見て反時計回りに回るとき、(a)角速度ベクトルと角加速度ベクトルの向きは何か。(b)平均角加速度は何か。(c)

t = 0.0, 15.0, 30.0 s

における瞬間角加速度は何か。

正面から見ると反時計回りに回転する風力タービンの図。 — Figure 10.10図 10.10
A wind turbine that is rotating counterclockwise, as seen head on.
英語のヒント
正面から見ると反時計回りに回転する風力タービン。

Strategy方針

We are given the rotational sense of the turbine, which is counterclockwise in the plane of the page. Using the right hand rule (Figure 10.5), we can establish the directions of the angular velocity and acceleration vectors.
英語のヒント
タービンの回転の向きは、紙面内で反時計回りと与えられている。右手の法則（図10.5）から、角速度ベクトルと角加速度ベクトルの向きを決められる。
We calculate the initial and final angular velocities to get the average angular acceleration. We establish the sign of the angular acceleration from the results in (a).
英語のヒント
初めと最後の角速度を計算して、平均角加速度を得る。角加速度の符号は(a)の結果から決める。
We are given the functional form of the angular velocity, so we can find the functional form of the angular acceleration function by taking its derivative with respect to time.
英語のヒント
角速度の関数の形が与えられているので、それを時間で微分すれば、角加速度の関数の形を求められる。

Solution解答

Since the turbine is rotating counterclockwise, angular velocity $\vec{ω}$ points out of the page. But since the angular velocity is decreasing, the angular acceleration $\vec{α}$ points into the page, in the opposite sense to the angular velocity.
英語のヒント
タービンが反時計回りに回るので、角速度 $\vec{ω}$ は紙面から手前へ向く。しかし、角速度は減っているため、角加速度 $\vec{α}$ は角速度と逆向き、つまり紙面の奥へ向く。
The initial angular velocity of the turbine, setting $t = 0, is ω = 9.0 rad / s$ . The final angular velocity is zero, so the average angular acceleration is
英語のヒント
タービンの初めの角速度は、 $t = 0, は ω = 9.0 rad / s$ と置いて得られる。最後の角速度は0なので、平均角加速度は次のようになる。

$\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{ω - ω_{0}}{t - t_{0}} = \frac{0 - 9.0 rad/s}{30.0 - 0 s} = −0.3 rad / s^{2} .$
Taking the derivative of the angular velocity with respect to time gives $α = \frac{d ω}{d t} = (t - 30.0) / 50.0 rad / s^{2}$
英語のヒント
角速度を時間で微分すると、 $α = \frac{d ω}{d t} = (t - 30.0) / 50.0 rad / s^{2}$ を得る。

$α (0.0 s) = −0.6 rad / s^{2}, α (15.0 s) = −0.3 rad / s^{2}, and α (30.0 s) = 0 rad/s .$
$α (0.0 s) = −0.6 rad / s^{2}, α (15.0 s) = −0.3 rad / s^{2}, および α (30.0 s) = 0 rad/s$

Significance考察

We found from the calculations in (a) and (b) that the angular acceleration

α

and the average angular acceleration

\bar{α}

are negative. The turbine has an angular acceleration in the opposite sense to its angular velocity.

英語のヒント

(a)と(b)の計算から、角加速度

α

と平均角加速度

\bar{α}

は負であると分かった。タービンの角加速度は角速度と逆向きである。

We now have a basic vocabulary for discussing fixed-axis rotational kinematics and relationships between rotational variables. We discuss more definitions and connections in the next section.

英語のヒント

固定軸の周りの回転の運動学と、回転を表す量の関係を論じるための基本用語がそろった。次節では、さらに定義や関係を扱う。