第10章固定軸まわりの回転

Summaryまとめ

• The rotational kinetic energy is the kinetic energy of rotation of a rotating rigid body or system of particles, and is given by $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$, where I is the moment of inertia, or “rotational mass” of the rigid body or system of particles.

  英語のヒント

  回転の運動エネルギーとは、回転する剛体や粒子系の回転による運動エネルギーであり、$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$で与えられる。Iは剛体や粒子系の慣性モーメント、つまり「回転における質量」である。
• The moment of inertia for a system of point particles rotating about a fixed axis is $I={\displaystyle \sum _j{m}_j{r}_j^2}$, where $m_j$ is the mass of the point particle and $r_j$ is the distance of the point particle to the rotation axis. Because of the $r^2$ term, the moment of inertia increases as the square of the distance to the fixed rotational axis. The moment of inertia is the rotational counterpart to the mass in linear motion.

  英語のヒント

  固定軸の周りに回る質点系の慣性モーメントは$I={\displaystyle \sum _j{m}_j{r}_j^2}$である。$m_j$は質点の質量、$r_j$は質点から回転軸までの距離である。$r^2$の項があるので、慣性モーメントは固定回転軸からの距離の2乗に従って増える。慣性モーメントは、直線運動の質量に対応する回転の量である。
• In systems that are both rotating and translating, conservation of mechanical energy can be used if there are no nonconservative forces at work. The total mechanical energy is then conserved and is the sum of the rotational and translational kinetic energies, and the gravitational potential energy.

  英語のヒント

  並進と回転を同時に行う系でも、非保存力が作用しなければ、力学的エネルギーの保存を使える。この場合、全力学的エネルギーは保存され、回転と並進の運動エネルギー、および重力による位置エネルギーの和となる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 40–49練習問題 40–49

Exercise 40問題 40

A system of point particles is shown in the following figure. Each particle has mass 0.3 kg and they all lie in the same plane. (a) What is the moment of inertia of the system about the given axis? (b) If the system rotates at 5 rev/s, what is its rotational kinetic energy?

英語のヒント

次の図に質点系を示す。各粒子の質量は0.3 kgで、すべて同一平面上にある。(a)指定した軸に対する系の慣性モーメントは何か。(b)系が5 rev/sで回転する場合、回転の運動エネルギーは何か。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 41問題 41

(a) Calculate the rotational kinetic energy of Earth on its axis. (b) What is the rotational kinetic energy of Earth in its orbit around the Sun?

英語のヒント

(a)地球の自転の運動エネルギーを計算せよ。(b)太陽を回る地球の公転の運動エネルギーは何か。

Solution解き方

a. $K=2.56\times {10}^{29}\text{J;}$
b. $K=2.68\times {10}^{33}\text{J}$

(a)$K=2.56\times {10}^{29}\text{J;}$。(b)$K=2.68\times {10}^{33}\text{J}$。

Exercise 42問題 42

Calculate the rotational kinetic energy of a 12-kg motorcycle wheel if its angular velocity is 120 rad/s and its inner radius is 0.280 m and outer radius 0.330 m.

英語のヒント

質量12 kg、角速度120 rad/s、内半径0.280 m、外半径0.330 mのオートバイの車輪について、回転の運動エネルギーを計算せよ。

Exercise 43問題 43

A baseball pitcher throws the ball in a motion where there is rotation of the forearm about the elbow joint as well as other movements. If the linear velocity of the ball relative to the elbow joint is 20.0 m/s at a distance of 0.480 m from the joint and the moment of inertia of the forearm is $0.500{\text{kg-m}}^2$, what is the rotational kinetic energy of the forearm?

英語のヒント

野球の投手の投球動作には、肘関節の周りの前腕の回転と、ほかの動きが含まれる。関節から0.480 m離れたボールの、肘関節に対する並進速度が20.0 m/sで、前腕の慣性モーメントが$0.500{\text{kg-m}}^2$なら、前腕の回転運動エネルギーは何か。

Solution解き方

$K=434.0\text{J}$

Exercise 44問題 44

A diver goes into a somersault during a dive by tucking her limbs. If her rotational kinetic energy is 100 J and her moment of inertia in the tuck is $9.0\text{kg}·{\text{m}}^2$, what is her rotational rate during the somersault?

英語のヒント

飛び込み選手が手足を折り畳み、飛び込み中に宙返りを始める。回転の運動エネルギーが100 J、抱え込んだ姿勢での慣性モーメントが$9.0\text{kg}·{\text{m}}^2$なら、宙返り中の回転の割合は何か。

Exercise 45問題 45

An aircraft is coming in for a landing at 300 meters height when the propeller falls off. The aircraft is flying at 40.0 m/s horizontally. The propeller has a rotation rate of 20 rev/s, a moment of inertia of $70.0{\text{kg-m}}^2$, and a mass of 200 kg. Neglect air resistance so the rotation rate does not change as the propeller falls. (a) With what translational velocity does the propeller hit the ground? (b) What is the rotation rate of the propeller at impact?

英語のヒント

航空機が高度300 mで着陸進入中に、プロペラが外れる。航空機は水平方向へ40.0 m/sで飛んでいる。プロペラの回転の割合は20 rev/s、慣性モーメントは$70.0{\text{kg-m}}^2$、質量は200 kgである。空気抵抗を無視し、落下中も回転の割合は変わらないとする。(a)地面に衝突するときの並進速度は何か。(b)衝突時の回転の割合は何か。

Solution解き方

a. $v_{\text{f}}=86.5\text{m}\text{/}\text{s}$;
b. The rotational rate of the propeller stays the same at 20 rev/s.

英語のヒント

(a)$v_{\text{f}}=86.5\text{m}\text{/}\text{s}$。(b)プロペラの回転の割合は20 rev/sのままである。

Exercise 46問題 46

An aircraft is coming in for a landing at 300 meters height when the propeller falls off. When it comes off, the propeller has a rotation rate of 20 rev/s, a moment of inertia of $70.0{\text{kg-m}}^2$, and a mass of 200 kg. If air resistance is present and reduces the propeller’s rotational kinetic energy at impact by 30%, what is the propeller’s rotation rate at impact?

英語のヒント

航空機が高度300 mで着陸進入中に、プロペラが外れる。外れたとき、回転の割合は20 rev/s、慣性モーメントは$70.0{\text{kg-m}}^2$、質量は200 kgである。空気抵抗があり、衝突時までに回転の運動エネルギーが30%減る場合、衝突時の回転の割合は何か。

Exercise 47問題 47

A neutron star of mass $2\times {10}^{30}\text{kg}$ and radius 10 km rotates with a period of 0.02 seconds. What is its rotational kinetic energy?

英語のヒント

質量$2\times {10}^{30}\text{kg}$、半径10 kmの中性子星が、周期0.02 sで回転する。回転の運動エネルギーは何か。

Solution解き方

$K=3.95\times {10}^{42}\text{J}$

Exercise 48問題 48

An electric sander consisting of a rotating disk of mass 0.7 kg and radius 10 cm rotates at 15 rev/s. When applied to a rough wooden wall the rotation rate decreases by 20%. (a) What is the final rotational kinetic energy of the rotating disk? (b) How much has its rotational kinetic energy decreased?

英語のヒント

質量0.7 kg、半径10 cmの回転円板からなる電動研磨機が、15 rev/sで回転する。粗い木の壁へ当てると、回転の割合が20%減る。(a)回転円板の最終的な回転運動エネルギーは何か。(b)どれだけ運動エネルギーが減ったか。

Exercise 49問題 49

A system consists of a disk of mass 2.0 kg and radius 50 cm upon which is mounted an annular cylinder of mass 1.0 kg with inner radius 20 cm and outer radius 30 cm (see below). The system rotates about an axis through the center of the disk and annular cylinder at 10 rev/s. (a) What is the moment of inertia of the system? (b) What is its rotational kinetic energy?

英語のヒント

質量2.0 kg、半径50 cmの円板の上に、質量1.0 kg、内半径20 cm、外半径30 cmの中空円筒を載せた系を考える（下図参照）。系は円板と円筒の中心を通る軸の周りに10 rev/sで回転する。(a)系の慣性モーメントは何か。(b)回転の運動エネルギーは何か。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

a. $I=0.315\text{kg}·{\text{m}}^2$;
b. $K=621.8\text{J}$

(a)$I=0.315\text{kg}·{\text{m}}^2$。(b)$K=621.8\text{J}$。