第10章固定軸まわりの回転

Power for Rotational Motion回転運動の仕事率

Power always comes up in the discussion of applications in engineering and physics. Power for rotational motion is equally as important as power in linear motion and can be derived in a similar way as in linear motion when the force is a constant. The linear power when the force is a constant is

P = \vec{F} \cdot \vec{v}

. If the net torque is constant over the angular displacement, Equation 10.25 simplifies and the net torque can be taken out of the integral. In the following discussion, we assume the net torque is constant. We can apply the definition of power derived in Power to rotational motion. From Work and Kinetic Energy, the instantaneous power (or just power) is defined as the rate of doing work,

英語のヒント

工学や物理学への応用を論じる際には、仕事率が必ず登場する。回転運動の仕事率は並進運動の仕事率と同じくらい重要であり、力が一定の場合の並進運動と同様に導ける。力が一定の場合、並進運動の仕事率は

P = \vec{F} \cdot \vec{v}

である。角変位の間、合トルクが一定なら、式10.25は簡単になり、合トルクを積分の外に出せる。以下では合トルクを一定とする。仕事率で導いた定義を回転運動にも適用できる。仕事と運動エネルギーで述べたように、瞬間仕事率（または単に仕事率）は、仕事をする速さとして定義される。

P = \frac{d W}{d t} .

If we have a constant net torque, Equation 10.25 becomes

W = τ θ

and the power is

英語のヒント

合トルクが一定なら、式10.25は

W = τ θ

となり、仕事率は次のようになる。

P = \frac{d W}{d t} = \frac{d}{d t} (τ θ) = τ \frac{d θ}{d t}

英語のヒント

すなわち、

Example 10.19例題 10.19

Torque on a Boat Propeller船のプロペラに働くトルク

A boat engine operating at

9.0 \times 10^{4} W

is running at 300 rev/min. What is the torque on the propeller shaft?

英語のヒント

9.0 \times 10^{4} W

で作動する船のエンジンが、300 rev/minで回転している。プロペラ軸に働くトルクはいくらか。

Strategy方針

We are given the rotation rate in rev/min and the power consumption, so we can easily calculate the torque.

英語のヒント

rev/min単位の回転数と消費動力が与えられているので、トルクは容易に計算できる。

Solution解答

300.0 rev/min = 31.4 rad/s;

τ = \frac{P}{ω} = \frac{9.0 \times 10^{4} N \cdot m / s}{31.4 rad / s} = 2864.8 N \cdot m .

Significance考察

It is important to note the radian is a dimensionless unit because its definition is the ratio of two lengths. It therefore does not appear in the solution.

英語のヒント

ラジアンは二つの長さの比として定義されるため、無次元の単位であることに注意する。そのため、解には現れない。

Rotational and Translational Relationships Summarized回転と並進の関係のまとめ

The rotational quantities and their linear analog are summarized in three tables. Table 10.5 summarizes the rotational variables for circular motion about a fixed axis with their linear analogs and the connecting equation, except for the centripetal acceleration, which stands by itself. Table 10.6 summarizes the rotational and translational kinematic equations. Table 10.7 summarizes the rotational dynamics equations with their linear analogs.

英語のヒント

回転に関する量と、それに対応する並進の量を三つの表にまとめる。表10.5は、固定軸の周りの円運動を表す量と、対応する並進の量、および両者を結ぶ式をまとめている。ただし、向心加速度は単独で示している。表10.6は回転と並進の運動学の式、表10.7は回転の動力学の式と、それに対応する並進の式をまとめている。

Rotational and Translational Variables: Summary回転と並進を表す量：まとめ

Table 10.5表 10.5
Rotational 回転	Translational 並進	Relationship 関係
$θ$	$x$	$θ = \frac{s}{r}$
$ω$	$v_{t}$	$ω = \frac{v_{t}}{r}$
$α$	$a_{t}$	$α = \frac{a_{t}}{r}$
	$a_{c}$	$a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}$

Rotational and Translational Kinematic Equations: Summary回転と並進の運動学の式：まとめ

Table 10.6表 10.6
Rotational 回転	Translational 並進
$θ_{f} = θ_{0} + \bar{ω} t$	$x = x_{0} + \bar{v} t$
$ω_{f} = ω_{0} + α t$	$v_{f} = v_{0} + a t$
$θ_{f} = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$	$x_{f} = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
$ω_{f}^{2} = ω^{2}_{0} + 2 α (Δ θ)$	$v_{f}^{2} = v^{2}_{0} + 2 a (Δ x)$

Rotational and Translational Equations: Dynamics回転と並進の式：動力学

Table 10.7表 10.7
Rotational 回転	Translational 並進
$I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$	m
$K = \frac{1}{2} I ω^{2}$	$K = \frac{1}{2} m v^{2}$
$\sum_{i} τ_{i} = I α$	$\sum_{i} {\vec{F}}_{i} = m \vec{a}$
$W_{A B} = \int_{θ_{A}}^{θ_{B}} (\sum_{i} τ_{i}) d θ$	$W = \int \vec{F} \cdot d \vec{s}$
$P = τ ω$	$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

Summaryまとめ

The incremental work dW in rotating a rigid body about a fixed axis is the sum of the torques about the axis times the incremental angle $d θ$ .
英語のヒント
固定軸の周りで剛体を回転させる微小な仕事dWは、軸の周りのトルクの和と微小角度 $d θ$ の積である。
The total work done to rotate a rigid body through an angle $θ$ about a fixed axis is the sum of the torques integrated over the angular displacement. If the torque is a constant as a function of $θ$ , then $W_{A B} = τ (θ_{B} - θ_{A})$ .
英語のヒント
固定軸の周りに剛体を角度 $θ$ だけ回転させる全仕事は、トルクの和を角変位にわたって積分したものである。トルクが $θ$ によらず一定なら、 $W_{A B} = τ (θ_{B} - θ_{A})$ となる。
The work-energy theorem relates the rotational work done to the change in rotational kinetic energy: $W_{A B} = K_{B} - K_{A}$ where $K = \frac{1}{2} I ω^{2} .$
英語のヒント
仕事とエネルギーの定理は、回転の仕事と回転の運動エネルギーの変化を結び付ける。すなわち $W_{A B} = K_{B} - K_{A}$ であり、ここで $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ である。
The power delivered to a system that is rotating about a fixed axis is the torque times the angular velocity, $P = τ ω$ .
英語のヒント
固定軸の周りを回転する系に供給される仕事率は、トルクと角速度の積 $P = τ ω$ である。

Key Equations重要な式

Angular position 角位置	$θ = \frac{s}{r}$
Angular velocity 角速度	$ω = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ θ}{Δ t} = \frac{d θ}{d t}$
Tangential speed 接線速度	$v_{t} = r ω$
Angular acceleration 角加速度	$α = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{d ω}{d t} = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}$
Tangential acceleration 接線加速度	$a_{t} = r α$
Average angular velocity 平均角速度	$\bar{ω} = \frac{ω_{0} + ω_{f}}{2}$
Angular displacement 角変位	$θ_{f} = θ_{0} + \bar{ω} t$
Angular velocity from constant angular acceleration 一定の角加速度から求める角速度	$ω_{f} = ω_{0} + α t$
Angular velocity from displacement and constant angular acceleration 角変位と一定の角加速度から求める角速度	$θ_{f} = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$
Change in angular velocity 角速度の変化	$ω_{f}^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α (Δ θ)$
Total acceleration 全加速度	$\vec{a} = {\vec{a}}_{c} + {\vec{a}}_{t}$
Rotational kinetic energy 回転の運動エネルギー	$K = \frac{1}{2} (\sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}) ω^{2}$
Moment of inertia 慣性モーメント	$I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}$
Rotational kinetic energy in terms of the moment of inertia of a rigid body 剛体の慣性モーメントで表した回転の運動エネルギー	$K = \frac{1}{2} I ω^{2}$
Moment of inertia of a continuous object 連続体の慣性モーメント	$I = \int r^{2} d m$
Parallel-axis theorem 平行軸の定理	$I_{parallel-axis} = I_{center of mass} + m d^{2}$ $I_{平行軸} = I_{質量中心} + m d^{2}$
Moment of inertia of a compound object 複合物体の慣性モーメント	$I_{total} = \sum_{i} I_{i}$ $I_{合計} = \sum_{i} I_{i}$
Torque vector トルクのベクトル	$\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}$
Magnitude of torque トルクの大きさ	$\| \vec{τ} \| = r_{⊥} F$
Total torque 合トルク	${\vec{τ}}_{net} = \sum_{i} \| {\vec{τ}}_{i} \|$ ${\vec{τ}}_{合計} = \sum_{i} \| {\vec{τ}}_{i} \|$
Newton’s second law for rotation 回転に対するニュートンの第2法則	$\sum_{i} τ_{i} = I α$
Incremental work done by a torque トルクによる微小な仕事	$d W = (\sum_{i} τ_{i}) d θ$
Work-energy theorem 仕事とエネルギーの定理	$W_{A B} = K_{B} - K_{A}$
Rotational work done by net force 合力による回転の仕事	$W_{A B} = \int_{θ_{A}}^{θ_{B}} (\sum_{i} τ_{i}) d θ$
Rotational power 回転の仕事率	$P = τ ω$

Problems問題

Exercises 97–106練習問題 97–106

Exercise 97問題 97

A wind turbine rotates at 20 rev/min. If its power output is 2.0 MW, what is the torque produced on the turbine from the wind?

英語のヒント

風力タービンが20 rev/minで回転している。出力が2.0 MWの場合、風によってタービンに生じるトルクはいくらか。

Solution解き方

τ = \frac{P}{ω} = \frac{2.0 \times 10^{6} W}{2.1 rad / s} = 9.5 \times 10^{5} N \cdot m

Exercise 98問題 98

A clay cylinder of radius 20 cm on a potter’s wheel spins at a constant rate of 10 rev/s. The potter applies a force of 10 N to the clay with his hands where the coefficient of friction is 0.1 between his hands and the clay. What is the power that the potter has to deliver to the wheel to keep it rotating at this constant rate?

英語のヒント

ろくろに載せた半径20 cmの粘土の円柱が、一定の10 rev/sで回転している。陶工は手で粘土に10 Nの力を加える。手と粘土の間の摩擦係数は0.1である。この一定の回転数を保つため、陶工がろくろに供給しなければならない仕事率はいくらか。

Exercise 99問題 99

A uniform cylindrical grindstone has a mass of 10 kg and a radius of 12 cm. (a) What is the rotational kinetic energy of the grindstone when it is rotating at

1.5 \times 10^{3} rev / min ?

(b) After the grindstone’s motor is turned off, a knife blade is pressed against the outer edge of the grindstone with a perpendicular force of 5.0 N. The coefficient of kinetic friction between the grindstone and the blade is 0.80. Use the work energy theorem to determine how many turns the grindstone makes before it stops.

英語のヒント

一様な円柱形の砥石の質量は10 kg、半径は12 cmである。(a)

1.5 \times 10^{3} rev / min

で回転しているときの回転の運動エネルギーはいくらか。(b)砥石のモーターを止めた後、ナイフの刃を5.0 Nの垂直な力で砥石の外縁に押し付ける。砥石と刃の動摩擦係数は0.80である。仕事とエネルギーの定理を使い、砥石が停止するまでの回転数を求めよ。

Solution解き方

K = 888.50 J

;
b.

Δ θ = 294.6 rev

K = 888.50 J

。b.

Δ θ = 294.6 rev

。

Exercise 100問題 100

A uniform disk of mass 500 kg and radius 0.25 m is mounted on frictionless bearings so it can rotate freely around a vertical axis through its center (see the following figure). A cord is wrapped around the rim of the disk and pulled with a force of 10 N. (a) How much work has the force done at the instant the disk has completed three revolutions, starting from rest? (b) Determine the torque due to the force, then calculate the work done by this torque at the instant the disk has completed three revolutions? (c) What is the angular velocity at that instant? (d) What is the power output of the force at that instant?

英語のヒント

質量500 kg、半径0.25 mの一様な円板を、中心を通る鉛直軸の周りを自由に回転できるよう、摩擦のない軸受に取り付ける（下図）。円板の縁にひもを巻き、10 Nの力で引く。(a)静止状態から3回転した瞬間までに、この力はどれだけの仕事をしたか。(b)この力によるトルクを求め、3回転した瞬間までにトルクがした仕事を計算せよ。(c)その瞬間の角速度はいくらか。(d)その瞬間の力の仕事率はいくらか。

中心を通る鉛直軸の周りを回転する一様な円板。縁に巻いたひもを10 Nの力で引く。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 101問題 101

A propeller is accelerated from rest to an angular velocity of 1000 rev/min over a period of 6.0 seconds by a constant torque of

2.0 \times 10^{3} N \cdot m

. (a) What is the moment of inertia of the propeller? (b) What power is being provided to the propeller 3.0 s after it starts rotating?

英語のヒント

プロペラに一定のトルク

2.0 \times 10^{3} N \cdot m

を加え、静止状態から6.0秒で1000 rev/minまで加速する。(a)プロペラの慣性モーメントはいくらか。(b)回転を始めてから3.0 s後に、プロペラに供給される仕事率はいくらか。

Solution解き方

I = 114.6 kg \cdot m^{2}

;
b.

P = 104,700 W

I = 114.6 kg \cdot m^{2}

。b.

P = 104,700 W

。

Exercise 102問題 102

A sphere of mass 1.0 kg and radius 0.5 m is attached to the end of a massless rod of length 3.0 m. The rod rotates about an axis that is at the opposite end of the sphere (see below). The system rotates horizontally about the axis at a constant 400 rev/min. After rotating at this angular speed in a vacuum, air resistance is introduced and provides a force

0.15 N

on the sphere opposite to the direction of motion. What is the power provided by air resistance to the system 100.0 s after air resistance is introduced?

英語のヒント

質量1.0 kg、半径0.5 mの球が、長さ3.0 mの質量のない棒の端に取り付けられている。棒は、球と反対側の端にある軸の周りを回転する（下図）。系は水平面内で軸の周りを一定の400 rev/minで回転している。真空中でこの角速度で回転させた後に空気抵抗を加えると、球には運動と反対方向の力

0.15 N

が働く。空気抵抗を加えてから100.0 s後、空気抵抗が系に与える仕事率はいくらか。

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Exercise 103問題 103

A uniform rod of length L and mass M is held vertically with one end resting on the floor as shown below. When the rod is released, it rotates around its lower end until it hits the floor. Assuming the lower end of the rod does not slip, what is the linear velocity of the upper end when it hits the floor?

英語のヒント

長さL、質量Mの一様な棒を、下図のように一端を床に接して鉛直に保持する。棒を放すと、下端の周りを回転して床に倒れる。棒の下端が滑らないとして、上端が床に当たるときの並進速度はいくらか。

長さL、質量Mの一様な棒を、一端を床に接して鉛直に保持する。放すと、棒は下端の周りを回転して床に倒れる。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

v = L ω = \sqrt{3 L g}

Exercise 104問題 104

An athlete in a gym applies a constant force of 50 N to the pedals of a bicycle at a rate of the pedals moving 60 rev/min. The length of the pedal arms is 30 cm. What is the power delivered to the bicycle by the athlete?

英語のヒント

ジムの選手が、自転車のペダルに一定の50 Nの力を加え、60 rev/minでこいでいる。ペダルの腕の長さは30 cmである。選手が自転車に供給する仕事率はいくらか。

Exercise 105問題 105

A 2-kg block on a frictionless inclined plane at

40 °

has a cord attached to a pulley of mass 1 kg and radius 20 cm (see the following figure). The block slides a distance of 0.50 m. (a) What is the acceleration of the block down the plane? (b) What is the work done by the cord on the pulley?

英語のヒント

角度

40 °

の摩擦のない斜面上にある2 kgのブロックにひもを付け、質量1 kg、半径20 cmの滑車につなぐ（下図）。ブロックは0.50 m滑る。(a)斜面を下るブロックの加速度はいくらか。(b)ひもが滑車にする仕事はいくらか。

40度の斜面上にある2 kgのブロックが、ひもで質量1 kg、半径20 cmの滑車につながっている。

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Solution解き方

a = 5.0 m / s^{2}

; b.

W = 1.25 N \cdot m

a = 5.0 m / s^{2}

。b.

W = 1.25 N \cdot m

。

Exercise 106問題 106

Small bodies of mass

m_{1} and m_{2}

are attached to opposite ends of a thin rigid rod of length L and mass M. The rod is mounted so that it is free to rotate in a horizontal plane around a vertical axis (see below). What distance d from

m_{1}

should the rotational axis be so that a minimum amount of work is required to set the rod rotating at an angular velocity

ω ?

英語のヒント

長さL、質量Mの細い剛体棒の両端に、質量

m_{1} および m_{2}

の小物体が取り付けられている。棒は鉛直軸の周りを水平面内で自由に回転できるよう設置されている（下図）。棒を角速度

ω

で回転させるのに必要な仕事を最小にするには、回転軸を

m_{1}

からどれだけの距離dの位置に置けばよいか。

長さLの細い棒の両端に質量m1、m2の物体が付いている。棒は、m1から距離d、m2から距離L−dの位置を通る軸の周りを回転する。

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