第10章固定軸まわりの回転

Applying moment of inertia calculations to solve problems慣性モーメントの計算を問題へ応用する

Example 10.11例題 10.11

Person on a Merry-Go-Round回転遊具に乗る人

A 25-kg child stands at a distance $r=1.0\text{m}$ from the axis of a rotating merry-go-round (Figure 10.29). The merry-go-round can be approximated as a uniform solid disk with a mass of 500 kg and a radius of 2.0 m. Find the moment of inertia of this system.

英語のヒント

質量25 kgの子どもが、回転遊具の軸から距離$r=1.0\text{m}$に立つ（図10.29）。遊具は質量500 kg、半径2.0 mの一様な中実円板で近似できる。この系の慣性モーメントを求めよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Strategy方針

This problem involves the calculation of a moment of inertia. We are given the mass and distance to the axis of rotation of the child as well as the mass and radius of the merry-go-round. Since the mass and size of the child are much smaller than the merry-go-round, we can approximate the child as a point mass. The notation we use is $m_{\text{c}}=25\text{kg},r_{\text{c}}=1.0\text{m},m_{\text{m}}=500\text{kg},r_{\text{m}}=2.0\text{m}$.

英語のヒント

この問題では慣性モーメントを計算する。子どもの質量と回転軸までの距離、および回転遊具の質量と半径が与えられている。子どもの質量と大きさは遊具よりずっと小さいので、質点で近似できる。記号を$m_{\text{c}}=25\text{kg},r_{\text{c}}=1.0\text{m},m_{\text{m}}=500\text{kg},r_{\text{m}}=2.0\text{m}$とする。

Our goal is to find $I_{\text{total}}={\displaystyle \sum _i{I}_i}$.

英語のヒント

目標は$I_{\text{合計}}={\displaystyle \sum _i{I}_i}$を求めることである。

Solution解答

For the child, $I_{\text{c}}=m_{\text{c}}{r}^2$, and for the merry-go-round, $I_{\text{m}}=\frac{1}{2}{m}_{\text{m}}{r}^2$. Therefore

英語のヒント

子どもについては$I_{\text{c}}=m_{\text{c}}{r}^2$、遊具については$I_{\text{m}}=\frac{1}{2}{m}_{\text{m}}{r}^2$となる。したがって、

$I_{\text{total}}=25{(1)}^2+\frac{1}{2}(500){(2)}^2=25+1000=1025\text{kg}·{\text{m}}^2.$

$I_{\text{合計}}=25{(1)}^2+\frac{1}{2}(500){(2)}^2=25+1000=1025\text{kg}·{\text{m}}^2$

Significance考察

The value should be close to the moment of inertia of the merry-go-round by itself because it has much more mass distributed away from the axis than the child does.

英語のヒント

この値は、遊具だけの慣性モーメントに近くなるはずである。遊具は子どもよりはるかに多くの質量を、軸から離れた場所へ分布させているからである。

Example 10.12例題 10.12

Rod and Solid Sphere棒と中実球

Find the moment of inertia of the rod and solid sphere combination about the two axes as shown below. The rod has length 0.5 m and mass 2.0 kg. The radius of the sphere is 20.0 cm and has mass 1.0 kg.

英語のヒント

下図の棒と中実球を組み合わせた物体について、二つの軸に対する慣性モーメントを求めよ。棒は長さ0.5 m、質量2.0 kg、球は半径20.0 cm、質量1.0 kgである。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Strategy方針

Since we have a compound object in both cases, we can use the parallel-axis theorem to find the moment of inertia about each axis. In (a), the center of mass of the sphere is located at a distance $L+R$ from the axis of rotation. In (b), the center of mass of the sphere is located a distance R from the axis of rotation. In both cases, the moment of inertia of the rod is about an axis at one end. Refer to Table 10.4 for the moments of inertia for the individual objects.

英語のヒント

どちらも複合物体なので、平行軸の定理を使って各軸の慣性モーメントを求められる。(a)では、球の質量中心は回転軸から距離$L+R$にある。(b)では、回転軸から距離Rにある。どちらの場合も、棒の慣性モーメントは一端を通る軸に対する値である。個々の物体の慣性モーメントは表10.4を参照する。

1. $I_{\text{total}}={\displaystyle \sum _i{I}_i}=I_{\text{Rod}}+I_{\text{Sphere}}$;
   $I_{\text{Sphere}}=I_{\text{center of mass}}+m_{\text{Sphere}}{(L+R)}^2=\frac{2}{5}{m}_{\text{Sphere}}{R}^2+m_{\text{Sphere}}{(L+R)}^2$;
   $I_{\text{total}}=I_{\text{Rod}}+I_{\text{Sphere}}=\frac{1}{3}{m}_{\text{Rod}}{L}^2+\frac{2}{5}{m}_{\text{Sphere}}{R}^2+m_{\text{Sphere}}{(L+R)}^2;$
   $I_{\text{total}}=\frac{1}{3}(2.0\text{kg}){(0.5\text{m})}^2+\frac{2}{5}(1.0\text{kg})(0.2{\text{m})}^2+(1.0\text{kg}){(0.5\text{m}+0.2\text{m})}^2;$
   $I_{\text{total}}=(0.167+0.016+0.490)\text{kg}·{\text{m}}^2=0.673\text{kg}·{\text{m}}^2.$
   

   $I_{\text{合計}}={\displaystyle \sum _i{I}_i}=I_{\text{棒}}+I_{\text{球}}$。$I_{\text{球}}=I_{\text{質量中心}}+m_{\text{球}}{(L+R)}^2=\frac{2}{5}{m}_{\text{球}}{R}^2+m_{\text{球}}{(L+R)}^2$。$I_{\text{合計}}=I_{\text{棒}}+I_{\text{球}}=\frac{1}{3}{m}_{\text{棒}}{L}^2+\frac{2}{5}{m}_{\text{球}}{R}^2+m_{\text{球}}{(L+R)}^2;$ $I_{\text{合計}}=\frac{1}{3}(2.0\text{kg}){(0.5\text{m})}^2+\frac{2}{5}(1.0\text{kg})(0.2{\text{m})}^2+(1.0\text{kg}){(0.5\text{m}+0.2\text{m})}^2;$ $I_{\text{合計}}=(0.167+0.016+0.490)\text{kg}·{\text{m}}^2=0.673\text{kg}·{\text{m}}^2$。
2. $I_{\text{Sphere}}=\frac{2}{5}{m}_{\text{Sphere}}{R}^2+m_{\text{Sphere}}{R}^2$;
   $I_{\text{total}}=I_{\text{Rod}}+I_{\text{Sphere}}=\frac{1}{3}{m}_{\text{Rod}}{L}^2+\frac{2}{5}{m}_{\text{Sphere}}{R}^2+m_{\text{Sphere}}{R}^2$;
   $I_{\text{total}}=\frac{1}{3}(2.0\text{kg}){(0.5\text{m})}^2+\frac{2}{5}(1.0\text{kg})(0.2{\text{m})}^2+(1.0\text{kg}){(0.2\text{m})}^2$;
   $I_{\text{total}}=(0.167+0.016+0.04)\text{kg}·{\text{m}}^2=0.223\text{kg}·{\text{m}}^2.$

   $I_{\text{球}}=\frac{2}{5}{m}_{\text{球}}{R}^2+m_{\text{球}}{R}^2$。$I_{\text{合計}}=I_{\text{棒}}+I_{\text{球}}=\frac{1}{3}{m}_{\text{棒}}{L}^2+\frac{2}{5}{m}_{\text{球}}{R}^2+m_{\text{球}}{R}^2$。$I_{\text{合計}}=\frac{1}{3}(2.0\text{kg}){(0.5\text{m})}^2+\frac{2}{5}(1.0\text{kg})(0.2{\text{m})}^2+(1.0\text{kg}){(0.2\text{m})}^2$。$I_{\text{合計}}=(0.167+0.016+0.04)\text{kg}·{\text{m}}^2=0.223\text{kg}·{\text{m}}^2$。

Significance考察

Using the parallel-axis theorem eases the computation of the moment of inertia of compound objects. We see that the moment of inertia is greater in (a) than (b). This is because the axis of rotation is closer to the center of mass of the system in (b). The simple analogy is that of a rod. The moment of inertia about one end is $\frac{1}{3}m{L}^2$, but the moment of inertia through the center of mass along its length is $\frac{1}{12}m{L}^2$.

英語のヒント

平行軸の定理を使うと、複合物体の慣性モーメントを計算しやすくなる。慣性モーメントは(b)より(a)のほうが大きい。(b)では回転軸が系の質量中心へ近いからである。単純な類例は棒で、一端に対する慣性モーメントは$\frac{1}{3}m{L}^2$、長さ方向の質量中心を通る軸に対しては$\frac{1}{12}m{L}^2$となる。

Example 10.13例題 10.13

Angular Velocity of a Pendulum振り子の角速度

A pendulum in the shape of a rod (Figure 10.30) is released from rest at an angle of $30\text{°}$. It has a length 30 cm and mass 300 g. What is its angular velocity at its lowest point?

英語のヒント

棒状の振り子（図10.30）を角度$30\text{°}$で静止させてから放す。長さは30 cm、質量は300 gである。最下点での角速度は何か。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Strategy方針

Use conservation of energy to solve the problem. At the point of release, the pendulum has gravitational potential energy, which is determined from the height of the center of mass above its lowest point in the swing. At the bottom of the swing, all of the gravitational potential energy is converted into rotational kinetic energy.

英語のヒント

エネルギー保存を使って解く。放す位置では、振り子は重力による位置エネルギーを持つ。その値は、振り子が揺れる際の最下点から測った質量中心の高さで決まる。最下点では、重力による位置エネルギーがすべて回転の運動エネルギーへ変わる。

Solution解答

The change in potential energy is equal to the change in rotational kinetic energy, $\Delta U+\Delta K=0$.

英語のヒント

位置エネルギーの変化は、回転の運動エネルギーの変化と釣り合う。$\Delta U+\Delta K=0$。

At the top of the swing: $U=mg{h}_{\text{cm}}=mg\frac{L}{2}(\text{cos}\theta )$. At the bottom of the swing, $U=mg\frac{L}{2}$ with respect to the lowest point the rod swings.

英語のヒント

振れの最上点では$U=mg{h}_{\text{cm}}=mg\frac{L}{2}(\text{cos}\theta )$。最下点では、棒が通る最も低い点を基準として、$U=mg\frac{L}{2}$となる。

At the top of the swing, the rotational kinetic energy is $K=0$. At the bottom of the swing, $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$. Therefore:

英語のヒント

振れの最上点では、回転の運動エネルギーは$K=0$である。最下点では$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$となる。したがって、

$\text{Δ}U+\text{Δ}K=0\Rightarrow (mg\frac{L}{2}(1-\text{cos}\theta )-0)+(0-\frac{1}{2}I{\omega }^2)=0$

or

英語のヒント

すなわち、

$\frac{1}{2}I{\omega }^2=mg\frac{L}{2}(1-\text{cos}\theta ).$

Solving for $\omega$, we have

英語のヒント

$\omega$について解くと、次を得る。

$\omega =\sqrt{mg\frac{L}{I}(1-\text{cos}\theta )}=\sqrt{mg\frac{L}{1\text{/}3m{L}^2}(1-\text{cos}\theta )}=\sqrt{g\frac{3}{L}(1-\text{cos}\theta )}.$

Inserting numerical values, we have

英語のヒント

数値を代入すると、次を得る。

$\omega =\sqrt{9.8\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\frac{3}{0.3\text{m}}(1-\text{cos}30)}=3.6\text{rad}\text{/}\text{s}.$

Significance考察

Note that the angular velocity of the pendulum does not depend on its mass.

英語のヒント

振り子の角速度は質量によらないことに注意しよう。

Summaryまとめ

• Moments of inertia can be found by summing or integrating over every ‘piece of mass’ that makes up an object, multiplied by the square of the distance of each ‘piece of mass’ to the axis. In integral form the moment of inertia is $I={\displaystyle \int r^{2}dm}$.

  英語のヒント

  慣性モーメントは、物体を構成する各「小さな質量部分」に、軸までの距離の2乗を掛け、すべてについて総和または積分を取ることで求められる。積分形では$I={\displaystyle \int r^{2}dm}$となる。
• Moment of inertia is larger when an object’s mass is farther from the axis of rotation.

  英語のヒント

  物体の質量が回転軸から遠くにあるほど、慣性モーメントは大きい。
• It is possible to find the moment of inertia of an object about a new axis of rotation once it is known for a parallel axis. This is called the parallel axis theorem given by $I_{\text{parallel-axis}}=I_{\text{center of mass}}+m{d}^2$, where d is the distance from the initial axis to the parallel axis.

  英語のヒント

  ある軸に対する慣性モーメントが分かれば、それと平行な新しい回転軸に対する値を求められる。これを平行軸の定理といい、$I_{\text{平行軸}}=I_{\text{質量中心}}+m{d}^2$で与えられる。dは元の軸から平行な軸までの距離である。
• Moment of inertia for a compound object is simply the sum of the moments of inertia for each individual object that makes up the compound object.

  英語のヒント

  複合物体の慣性モーメントは、それを構成する各物体の慣性モーメントの和である。