第10章固定軸まわりの回転

Relationships between Rotational and Translational Motion回転運動と並進運動の関係

1. Generally speaking, the linear kinematic equations have their rotational counterparts. Table 10.2 lists the four linear kinematic equations and the corresponding rotational counterpart. The two sets of equations look similar to each other, but describe two different physical situations, that is, rotation and translation.
   

   英語のヒント

   一般に、直線の運動学の式には、それぞれ対応する回転の式がある。表10.2に、直線の四つの運動学の式と、対応する回転の式を並べる。両者の形は似ているが、回転と並進という異なる物理的状況を記述する。

   Rotational and Translational Kinematic Equations回転と並進の運動学の式

   Table 10.2表 10.2

   Rotational 回転	Translational 並進
   ${\theta }_{\text{f}}={\theta }_0+\bar{\omega }t$	$x=x_0+\bar{v}t$
   ${\omega }_{\text{f}}={\omega }_0+\alpha t$	$v_{\text{f}}=v_0+at$
   ${\theta }_{\text{f}}={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$	$x_{\text{f}}=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
   ${\omega }_{\text{f}}^2={\omega }_0^2+2\alpha (\text{Δ}\theta )$	$v_{\text{f}}^2=v_0^2+2a(\text{Δ}x)$

2. The second correspondence has to do with relating linear and rotational variables in the special case of circular motion. This is shown in Table 10.3, where in the third column, we have listed the connecting equation that relates the linear variable to the rotational variable. The rotational variables of angular velocity and acceleration have subscripts that indicate their definition in circular motion.
   

   英語のヒント

   第2の対応は、円運動という特別な場合で、直線の量と回転の量を関係づけることである。表10.3の第3列には、その両者をつなぐ式を示す。角速度と角加速度の量には、円運動での定義を表す添字を付けている。

   Rotational and Translational Quantities: Circular Motion回転と並進の量：円運動

   Table 10.3表 10.3

   Rotational 回転	Translational 並進	Relationship ($r=\text{radius}$) 関係式（$r=\text{半径}$）
   $\theta$	s	$\theta =\frac{s}{r}$
   $\omega$	$v_{\text{t}}$	$\omega =\frac{v_{\text{t}}}{r}$
   $\alpha$	$a_{\text{t}}$	$\alpha =\frac{a_{\text{t}}}{r}$
   	$a_{\text{c}}$	$a_{\text{c}}=\frac{v_{\text{t}}^2}{r}$

Example 10.7例題 10.7

Linear Acceleration of a Centrifuge遠心分離機の並進加速度

A centrifuge has a radius of 20 cm and accelerates from a maximum rotation rate of 10,000 rpm to rest in 30 seconds under a constant angular acceleration. It is rotating counterclockwise. What is the magnitude of the total acceleration of a point at the tip of the centrifuge at $t=29.0\text{s?}$ What is the direction of the total acceleration vector?

英語のヒント

半径20 cmの遠心分離機が、一定の角加速度で、最大回転速度10,000 rpmから30 sで停止する。回転は反時計回りである。$t=29.0\text{s}$で、遠心分離機の先端の点の全加速度の大きさは何か。そのベクトルの向きは何か。

Strategy方針

With the information given, we can calculate the angular acceleration, which then will allow us to find the tangential acceleration. We can find the centripetal acceleration at $t=0$ by calculating the tangential speed at this time. With the magnitudes of the accelerations, we can calculate the total linear acceleration. From the description of the rotation in the problem, we can sketch the direction of the total acceleration vector.

英語のヒント

与えられた情報から角加速度を計算でき、そこから接線加速度を求められる。$t=0$での向心加速度は、その時刻の接線方向の速さを計算すれば求まる。各加速度の大きさから、全並進加速度を計算できる。問題文に示された回転の向きから、全加速度ベクトルの向きを図に描ける。

Solution解答

The angular acceleration is

英語のヒント

角加速度は次のようになる。

$\alpha =\frac{\omega -{\omega }_0}{t}=\frac{0-(1.0\times {10}^4)2\pi \text{/}60.0\text{s}(\text{rad}\text{/}\text{s})}{30.0\text{s}}=\mathrm{-34.9}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2.$

Therefore, the tangential acceleration is

英語のヒント

したがって、接線加速度は次のようになる。

$a_{\text{t}}=r\alpha =0.2\text{m}(\mathrm{-34.9}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2)=\mathrm{-7.0}{\text{m}\text{/}\text{s}}^2.$

The angular velocity at $t=29.0\text{s}$ is

英語のヒント

$t=29.0\text{s}$での角速度は次のようになる。

$\begin{array}{cc}\hfill \omega & ={\omega }_0+\alpha t=1.0\times {10}^4\left(\frac{2\pi }{60.0\text{s}}\right)+\left(\mathrm{-34.9}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2\right)\left(29.0\text{s}\right)\hfill \\ & =1047.2\text{rad}\text{/}\text{s}-1012.71=35.1\text{rad}\text{/}\text{s}.\hfill \end{array}$

Thus, the tangential speed at $t=29.0\text{s}$ is

英語のヒント

したがって、$t=29.0\text{s}$での接線方向の速さは次のようになる。

$v_{\text{t}}=r\omega =0.2\text{m}(35.1\text{rad}\text{/}\text{s})=7.0\text{m}\text{/}\text{s}.$

We can now calculate the centripetal acceleration at $t=29.0\text{s}$:

英語のヒント

これで、$t=29.0\text{s}$での向心加速度を計算できる。

$a_{\text{c}}=\frac{v^2}{r}=\frac{{(7.0\text{m}\text{/}\text{s})}^2}{0.2\text{m}}=245.0\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$

Since the two acceleration vectors are perpendicular to each other, the magnitude of the total linear acceleration is

英語のヒント

二つの加速度ベクトルは互いに垂直なので、全並進加速度の大きさは次のようになる。

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_{\text{c}}^2+a_{\text{t}}^2}=\sqrt{{(245.0)}^2+{(\mathrm{-7.0})}^2}=245.1\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$

Since the centrifuge has a negative angular acceleration, it is slowing down. The total acceleration vector is as shown in Figure 10.16. The angle with respect to the centripetal acceleration vector is

英語のヒント

遠心分離機は角加速度が負であるため、回転が遅くなる。全加速度ベクトルは図10.16のようになる。向心加速度ベクトルとなす角は、次のようになる。

$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{\mathrm{-7.0}}{245.0}=\mathrm{-1.6}\text{°}.$

The negative sign means that the total acceleration vector is angled toward the clockwise direction.

英語のヒント

負の符号は、全加速度ベクトルが時計回りの方向へ傾くことを意味する。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Significance考察

From Figure 10.16, we see that the tangential acceleration vector is opposite the direction of rotation. The magnitude of the tangential acceleration is much smaller than the centripetal acceleration, so the total linear acceleration vector will make a very small angle with respect to the centripetal acceleration vector.

英語のヒント

図10.16から、接線加速度ベクトルは回転と逆向きである。接線加速度の大きさは向心加速度よりはるかに小さいので、全並進加速度ベクトルが向心加速度ベクトルとなす角は、ごく小さくなる。

Summaryまとめ

• The linear kinematic equations have their rotational counterparts such that there is a mapping $x\to \theta ,v\to \omega ,a\to \alpha$.

  英語のヒント

  直線の運動学の式には、$x\to \theta ,v\to \omega ,a\to \alpha$の対応による回転の式がある。
• A system undergoing uniform circular motion has a constant angular velocity, but points at a distance r from the rotation axis have a linear centripetal acceleration.

  英語のヒント

  等速円運動する系の角速度は一定だが、回転軸から距離rにある点は、並進の向心加速度を持つ。
• A system undergoing nonuniform circular motion has an angular acceleration and therefore has both a linear centripetal and linear tangential acceleration at a point a distance r from the axis of rotation.

  英語のヒント

  非等速円運動する系は角加速度を持つ。そのため、回転軸から距離rにある点は、並進の向心加速度と接線加速度の両方を持つ。
• The total linear acceleration is the vector sum of the centripetal acceleration vector and the tangential acceleration vector. Since the centripetal and tangential acceleration vectors are perpendicular to each other for circular motion, the magnitude of the total linear acceleration is $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_{\text{c}}^2+a_{\text{t}}^2}$.

  英語のヒント

  全並進加速度は、向心加速度ベクトルと接線加速度ベクトルの和である。円運動では両ベクトルは互いに垂直なので、全並進加速度の大きさは$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_{\text{c}}^2+a_{\text{t}}^2}$となる。