第10章固定軸まわりの回転

Summaryまとめ

• The angular position $\theta$ of a rotating body is the angle the body has rotated through in a fixed coordinate system, which serves as a frame of reference.

  英語のヒント

  回転する物体の角位置$\theta$は、基準系となる固定した座標系で、物体が回転した角である。
• The angular velocity of a rotating body about a fixed axis is defined as $\omega (\text{rad}\text{/}\text{s})$, the rotational rate of the body in radians per second. The instantaneous angular velocity of a rotating body $\omega =\underset{\text{Δ}t\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}=\frac{d\theta }{dt}$ is the derivative with respect to time of the angular position $\theta$, found by taking the limit $\text{Δ}t\to 0$ in the average angular velocity $\bar{\omega }=\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}$. The angular velocity relates $v_{\text{t}}$ to the tangential speed of a point on the rotating body through the relation $v_{\text{t}}=r\omega$, where r is the radius to the point and $v_{\text{t}}$ is the tangential speed at the given point.

  英語のヒント

  固定軸の周りに回転する物体の角速度は、ラジアン毎秒で測った回転の割合$\omega (\text{rad}\text{/}\text{s})$として定義する。瞬間角速度$\omega =\underset{\text{Δ}t\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}=\frac{d\theta }{dt}$は角位置$\theta$の時間微分であり、平均角速度$\bar{\omega }=\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}$で極限$\text{Δ}t\to 0$を取ることで得られる。角速度は、関係式$v_{\text{t}}=r\omega$を通して、回転物体上の点の接線方向の速さ$v_{\text{t}}$に関係づけられる。rはその点までの半径、$v_{\text{t}}$はその点での接線方向の速さである。
• The angular velocity $\overrightarrow{\omega }$ is found using the right-hand rule. If the fingers curl in the direction of rotation about a fixed axis, the thumb points in the direction of $\overrightarrow{\omega }$ (see Figure 10.5).

  英語のヒント

  角速度$\overrightarrow{\omega }$の向きは右手の法則で求める。指を固定軸の周りの回転方向に曲げると、親指が$\overrightarrow{\omega }$の向きを指す（図10.5参照）。
• If the system’s angular velocity is not constant, then the system has an angular acceleration. The average angular acceleration over a given time interval is the change in angular velocity over this time interval, $\bar{\alpha }=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}$. The instantaneous angular acceleration is the time derivative of angular velocity, $\alpha =\underset{\text{Δ}t\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}=\frac{d\omega }{dt}$. The angular acceleration $\overrightarrow{\alpha }$ is found by locating the angular velocity. If a rotation rate of a rotating body is decreasing, the angular acceleration is in the opposite direction to $\overrightarrow{\omega }$. If the rotation rate is increasing, the angular acceleration is in the same direction as $\overrightarrow{\omega }$.

  英語のヒント

  系の角速度が一定でない場合、系は角加速度を持つ。ある時間区間での平均角加速度は、その区間の角速度の変化を時間で割った$\bar{\alpha }=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}$である。瞬間角加速度は角速度の時間微分$\alpha =\underset{\text{Δ}t\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}=\frac{d\omega }{dt}$である。角加速度$\overrightarrow{\alpha }$の向きは、角速度の向きを定めて求める。回転が遅くなる場合、角加速度は$\overrightarrow{\omega }$と逆向きである。回転が速くなる場合、角加速度は$\overrightarrow{\omega }$と同じ向きである。
• The tangential acceleration of a point at a radius from the axis of rotation is the angular acceleration times the radius to the point.

  英語のヒント

  回転軸からある半径にある点の接線加速度は、角加速度と、その点までの半径の積である。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 5–13練習問題 5–13

Exercise 5問題 5

Calculate the angular velocity of Earth.

英語のヒント

地球の角速度を計算せよ。

Exercise 6問題 6

A track star runs a 400-m race on a 400-m circular track in 45 s. What is his angular velocity assuming a constant speed?

英語のヒント

陸上の名選手が、周長400 mの円形トラックで400 m走を45 sで走る。速さが一定とすると、角速度は何か。

Solution解き方

$\omega =\frac{2\pi \text{rad}}{45.0\text{s}}=0.14\text{rad/s}$

Exercise 7問題 7

A wheel rotates at a constant rate of $2.0\times {10}^3\text{rev}\text{/}\text{min}$. (a) What is its angular velocity in radians per second? (b) Through what angle does it turn in 10 s? Express the solution in radians and degrees.

英語のヒント

車輪が一定の$2.0\times {10}^3\text{rev}\text{/}\text{min}$で回転する。(a)角速度をラジアン毎秒で求めよ。(b)10 s間にどの角度だけ回るか。答えをラジアンと度で表せ。

Exercise 8問題 8

A particle moves 3.0 m along a circle of radius 1.5 m. (a) Through what angle does it rotate? (b) If the particle makes this trip in 1.0 s at a constant speed, what is its angular velocity? (c) What is its acceleration?

英語のヒント

粒子が半径1.5 mの円に沿って3.0 m進む。(a)どの角度だけ回るか。(b)この移動を一定の速さで1.0 sかけて行うと、角速度は何か。(c)加速度は何か。

Solution解き方

a. $\theta =\frac{s}{r}=\frac{3.0\text{m}}{1.5\text{m}}=2.0\text{rad}$; b. $\omega =\frac{2.0\text{rad}}{1.0\text{s}}=2.0\text{rad/s}$; c. $\frac{v^2}{r}=\frac{{(3.0\text{m/s})}^2}{1.5\text{m}}=6.0\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$

(a)$\theta =\frac{s}{r}=\frac{3.0\text{m}}{1.5\text{m}}=2.0\text{rad}$。(b)$\omega =\frac{2.0\text{rad}}{1.0\text{s}}=2.0\text{rad/s}$。(c)$\frac{v^2}{r}=\frac{{(3.0\text{m/s})}^2}{1.5\text{m}}=6.0\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$。

Exercise 9問題 9

A compact disc rotates at 500 rev/min. If the diameter of the disc is 120 mm, (a) what is the tangential speed of a point at the edge of the disc? (b) At a point halfway to the center of the disc?

英語のヒント

CDが500 rev/minで回転する。直径が120 mmの場合、(a)外縁の点の接線方向の速さは何か。(b)中心までの半分の位置にある点ではどうか。

Exercise 10問題 10

Unreasonable results. The propeller of an aircraft is spinning at 10 rev/s when the pilot shuts off the engine. The propeller reduces its angular velocity at a constant $2.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$ for a time period of 40 s. What is the rotation rate of the propeller in 40 s? Is this a reasonable situation?

英語のヒント

不合理な結果。航空機のプロペラが10 rev/sで回転しているとき、パイロットがエンジンを切る。プロペラの角速度は、40 sにわたり一定の$2.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$の割合で減少する。40 s後の回転の割合は何か。この状況は妥当か。

Solution解き方

The propeller takes only $\text{Δ}t=\frac{\text{Δ}\omega }{\alpha }=\frac{0\text{rad/s}-10.0(2\pi )\text{rad/s}}{\mathrm{-2.0}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2}=31.4\text{s}$ to come to rest, when the propeller is at 0 rad/s, it would start rotating in the opposite direction. This would be impossible due to the magnitude of forces involved in getting the propeller to stop and start rotating in the opposite direction.

英語のヒント

プロペラは、わずか$\text{Δ}t=\frac{\text{Δ}\omega }{\alpha }=\frac{0\text{rad/s}-10.0(2\pi )\text{rad/s}}{\mathrm{-2.0}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2}=31.4\text{s}$で停止する。角速度が0 rad/sになった後も同じ角加速度が続くなら、逆向きに回り始めることになる。プロペラを停止させ、逆向きに回し始めるために関わる力の大きさを考えると、これは不可能である。

Exercise 11問題 11

A gyroscope slows from an initial rate of 32.0 rad/s at a rate of $0.700{\text{rad/s}}^2$. How long does it take to come to rest?

英語のヒント

ジャイロスコープが、初めの角速度32.0 rad/sから、$0.700{\text{rad/s}}^2$の割合で遅くなる。停止までにどれだけ時間がかかるか。

Exercise 12問題 12

On takeoff, the propellers on a UAV (unmanned aerial vehicle) increase their angular velocity for 3.0 s from rest at a rate of $\omega =(25.0t)\text{rad}\text{/}\text{s}$ where t is measured in seconds. (a) What is the instantaneous angular velocity of the propellers at $t=2.0\text{s}$? (b) What is the angular acceleration?

英語のヒント

UAV（無人航空機）の離陸時に、プロペラが静止状態から3.0 s間、$\omega =(25.0t)\text{rad}\text{/}\text{s}$に従って角速度を増す。tは秒で測る。(a)$t=2.0\text{s}$での瞬間角速度は何か。(b)角加速度は何か。

Solution解き方

a. $\omega =25.0(2.0\text{s})=50.0\text{rad/s}$; b. $\alpha =\frac{d\omega }{dt}=25.0{\text{rad/s}}^2$

(a)$\omega =25.0(2.0\text{s})=50.0\text{rad/s}$。(b)$\alpha =\frac{d\omega }{dt}=25.0{\text{rad/s}}^2$。

Exercise 13問題 13

The angular position of a rod varies as $20.0t^2$ radians from time $t=0$. The rod has two beads on it as shown in the following figure, one at 10 cm from the rotation axis and the other at 20 cm from the rotation axis. (a) What is the instantaneous angular velocity of the rod at $t=5\text{s}?$ (b) What is the angular acceleration of the rod? (c) What are the tangential speeds of the beads at $t=5\text{s}?$ (d) What are the tangential accelerations of the beads at $t=5\text{s}?$ (e) What are the centripetal accelerations of the beads at $t=5\text{s}?$

英語のヒント

棒の角位置は、時刻$t=0$から、$20.0t^2$ラジアンに従って変化する。図のように棒には二つのビーズがあり、一方は回転軸から10 cm、他方は20 cm離れている。(a)$t=5\text{s}$での棒の瞬間角速度は何か。(b)棒の角加速度は何か。(c)$t=5\text{s}$でのビーズの接線方向の速さは何か。(d)$t=5\text{s}$でのビーズの接線加速度は何か。(e)$t=5\text{s}$でのビーズの向心加速度は何か。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典