第10章固定軸まわりの回転

Applying the Rotational Dynamics Equation回転の運動方程式の応用

Before we apply the rotational dynamics equation to some everyday situations, let’s review a general problem-solving strategy for use with this category of problems.

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回転の運動方程式を身近な状況に適用する前に、この種の問題に用いる一般的な解法の方針を確認しよう。

Rotational Dynamics回転の動力学

Examine the situation to determine that torque and mass are involved in the rotation. Draw a careful sketch of the situation.
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状況を調べ、回転にトルクと質量が関与していることを確かめる。状況を丁寧に図示する。
Determine the system of interest.
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対象とする系を決める。
Draw a free-body diagram. That is, draw and label all external forces acting on the system of interest.
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力の図を描く。つまり、対象とする系に働くすべての外力を描き、記号を付ける。
Identify the pivot point. If the object is in equilibrium, it must be in equilibrium for all possible pivot points––chose the one that simplifies your work the most.
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支点を特定する。物体が釣り合っているなら、どの点を支点に選んでも釣合いが成り立たなければならない。計算が最も簡単になる点を選ぶ。
Apply $\sum_{i} τ_{i} = I α$ , the rotational equivalent of Newton’s second law, to solve the problem. Care must be taken to use the correct moment of inertia and to consider the torque about the point of rotation.
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ニュートンの第2法則に対応する回転の式 $\sum_{i} τ_{i} = I α$ を適用し、問題を解く。正しい慣性モーメントを使い、回転の中心に対するトルクを考えるよう注意する。
As always, check the solution to see if it is reasonable.
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いつものように、解が妥当かどうかを確かめる。

Example 10.16例題 10.16

Calculating the Effect of Mass Distribution on a Merry-Go-Round回転遊具の質量分布の効果を計算する

Consider the father pushing a playground merry-go-round in Figure 10.38. He exerts a force of 250 N at the edge of the 50.0-kg merry-go-round, which has a 1.50-m radius. Calculate the angular acceleration produced (a) when no one is on the merry-go-round and (b) when an 18.0-kg child sits 1.25 m away from the center. Consider the merry-go-round itself to be a uniform disk with negligible friction.

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図10.38で、公園の回転遊具を押している父親を考えよう。父親は、質量50.0 kg、半径1.50 mの遊具の縁に250 Nの力を加えている。(a)誰も乗っていない場合と、(b)質量18.0 kgの子どもが中心から1.25 mの位置に座っている場合について、生じる角加速度を求めよ。遊具自体は一様な円板とし、摩擦は無視できるものとする。

回転遊具の縁を、半径に垂直な方向へ押している男性の図。 — Figure 10.38図 10.38
A father pushes a playground merry-go-round at its edge and perpendicular to its radius to achieve maximum torque.
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父親は、最大のトルクを得るため、回転遊具の縁を半径に垂直な方向へ押している。

Strategy方針

The net torque is given directly by the expression

\sum_{i} τ_{i} = I α

, To solve for

α

, we must first calculate the net torque

τ

(which is the same in both cases) and moment of inertia I (which is greater in the second case).

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合トルクは式

\sum_{i} τ_{i} = I α

から直接得られる。

α

を求めるには、まず合トルク

τ

（どちらの場合も同じ）と、慣性モーメントI（後者のほうが大きい）を計算しなければならない。

Solution解答

The moment of inertia of a solid disk about this axis is given in Figure 10.20 to be
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この軸に対する中実円板の慣性モーメントは、図10.20より次式で与えられる。

$\frac{1}{2} M R^{2} .$

We have $M = 50.0 kg$ and $R = 1.50 m$ , so
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$M = 50.0 kg$ 、 $R = 1.50 m$ なので、

$I = (0.500) (50.0 kg) {(1.50 m)}^{2} = 56.25 {kg-m}^{2} .$

To find the net torque, we note that the applied force is perpendicular to the radius and friction is negligible, so that
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合トルクを求める際には、加える力が半径に垂直で、摩擦が無視できることに注目する。したがって、

$τ = r F sin θ = (1.50 m) (250.0 N) = 375.0 N-m .$

Now, after we substitute the known values, we find the angular acceleration to be
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既知の値を代入すると、角加速度は次のようになる。

$α = \frac{τ}{I} = \frac{375.0 N-m}{56.25 {kg-m}^{2}} = 6.67 \frac{rad}{s^{2}} .$
We expect the angular acceleration for the system to be less in this part because the moment of inertia is greater when the child is on the merry-go-round. To find the total moment of inertia I, we first find the child’s moment of inertia $I_{c}$ by approximating the child as a point mass at a distance of 1.25 m from the axis. Then
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子どもが遊具に乗ると慣性モーメントが大きくなるので、この場合の系の角加速度は小さくなると予想できる。全慣性モーメントIを求めるには、まず子どもを軸から1.25 mの位置にある質点とみなして、子どもの慣性モーメント $I_{c}$ を求める。すると、

$I_{c} = m R^{2} = (18.0 kg) {(1.25 m)}^{2} = 28.13 {kg-m}^{2} .$

The total moment of inertia is the sum of the moments of inertia of the merry-go-round and the child (about the same axis):
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全慣性モーメントは、遊具と子どもの、同じ軸に対する慣性モーメントの和である。

$I = 28.13 {kg-m}^{2} + 56.25 {kg-m}^{2} = 84.38 {kg-m}^{2} .$

Substituting known values into the equation for α gives
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αの式に既知の値を代入すると、

$α = \frac{τ}{I} = \frac{375.0 N-m}{84.38 {kg-m}^{2}} = 4 .44 \frac{rad}{s^{2}} .$

Significance考察

The angular acceleration is less when the child is on the merry-go-round than when the merry-go-round is empty, as expected. The angular accelerations found are quite large, partly due to the fact that friction was considered to be negligible. If, for example, the father kept pushing perpendicularly for 2.00 s, he would give the merry-go-round an angular velocity of 13.3 rad/s when it is empty but only 8.89 rad/s when the child is on it. In terms of revolutions per second, these angular velocities are 2.12 rev/s and 1.41 rev/s, respectively. The father would end up running at about 50 km/h in the first case.

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予想したとおり、子どもが遊具に乗っている場合の角加速度は、誰も乗っていない場合より小さい。得られた角加速度はかなり大きいが、その理由の一つは摩擦を無視したことである。たとえば、父親が2.00 sにわたり垂直に押し続けると、遊具の角速度は、誰も乗っていなければ13.3 rad/sとなるが、子どもが乗っていれば8.89 rad/sにとどまる。毎秒の回転数で表すと、それぞれ2.12 rev/sと1.41 rev/sである。前者では、父親は最後には約50 km/hで走ることになる。

The fan blades on a jet engine have a moment of inertia

30.0 {kg-m}^{2}

. In 10 s, they rotate counterclockwise from rest up to a rotation rate of 20 rev/s. (a) What torque must be applied to the blades to achieve this angular acceleration? (b) What is the torque required to bring the fan blades rotating at 20 rev/s to a rest in 20 s?

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ジェットエンジンのファンの羽根の慣性モーメントは

30.0 {kg-m}^{2}

である。羽根は静止状態から10 sで反時計回りに20 rev/sまで加速する。(a)この角加速度を得るには、羽根にどれだけのトルクを加える必要があるか。(b)20 rev/sで回転する羽根を20 sで停止させるには、どれだけのトルクが必要か。

Solution解き方

a. The angular acceleration is

α = \frac{20.0 (2 π) rad / s - 0}{10.0 s} = 12.56 rad / s^{2}

. Solving for the torque, we have

\sum_{i} τ_{i} = I α = (30.0 kg \cdot m^{2}) (12.56 rad / s^{2}) = 376.80 N \cdot m

; b. The angular acceleration is

α = \frac{0 - 20.0 (2 π) rad / s}{20.0 s} = −6.28 rad / s^{2}

. Solving for the torque, we have

\sum_{i} τ_{i} = I α = (30.0 {kg-m}^{2}) (−6.28 rad / s^{2}) = −188.50 N \cdot m

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a. 角加速度は

α = \frac{20.0 (2 π) rad / s - 0}{10.0 s} = 12.56 rad / s^{2}

となる。トルクを求めると

\sum_{i} τ_{i} = I α = (30.0 kg \cdot m^{2}) (12.56 rad / s^{2}) = 376.80 N \cdot m

となる。b. 角加速度は

α = \frac{0 - 20.0 (2 π) rad / s}{20.0 s} = −6.28 rad / s^{2}

となる。トルクを求めると

\sum_{i} τ_{i} = I α = (30.0 {kg-m}^{2}) (−6.28 rad / s^{2}) = −188.50 N \cdot m

となる。

Summaryまとめ

Newton’s second law for rotation, $\sum_{i} τ_{i} = I α$ , says that the sum of the torques on a rotating system about a fixed axis equals the product of the moment of inertia and the angular acceleration. This is the rotational analog to Newton’s second law of linear motion.
英語のヒント
回転に対するニュートンの第2法則 $\sum_{i} τ_{i} = I α$ は、固定軸の周りを回転する系に働くトルクの和が、慣性モーメントと角加速度の積に等しいことを表す。これは、並進運動に対するニュートンの第2法則の回転版である。
In the vector form of Newton’s second law for rotation, the torque vector $\vec{τ}$ is in the same direction as the angular acceleration $\vec{α}$ . If the angular acceleration of a rotating system is positive, the torque on the system is also positive, and if the angular acceleration is negative, the torque is negative.
英語のヒント
ベクトル形式の回転に対するニュートンの第2法則では、トルクのベクトル $\vec{τ}$ は角加速度 $\vec{α}$ と同じ方向を向く。回転する系の角加速度が正なら系に働くトルクも正であり、角加速度が負ならトルクも負である。