第10章固定軸まわりの回転

Summaryまとめ

• The kinematics of rotational motion describes the relationships among rotation angle (angular position), angular velocity, angular acceleration, and time.

  英語のヒント

  回転運動の運動学は、回転角（角位置）、角速度、角加速度、時間の間の関係を記述する。
• For a constant angular acceleration, the angular velocity varies linearly. Therefore, the average angular velocity is 1/2 the initial plus final angular velocity over a given time period:

  英語のヒント

  角加速度が一定なら、角速度は時間に対して直線的に変化する。したがって、ある時間区間の平均角速度は、初めと最後の角速度を足したものの半分となる。
  $\bar{\omega }=\frac{{\omega }_0+{\omega }_{\text{f}}}{2}.$
• We used a graphical analysis to find solutions to fixed-axis rotation with constant angular acceleration. From the relation $\omega =\frac{d\theta }{dt}$, we found that the area under an angular velocity-vs.-time curve gives the angular displacement, ${\theta }_{\text{f}}-{\theta }_0=\text{Δ}\theta ={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\omega (t)dt}$. The results of the graphical analysis were verified using the kinematic equations for constant angular acceleration. Similarly, since $\alpha =\frac{d\omega }{dt}$, the area under an angular acceleration-vs.-time graph gives the change in angular velocity: ${\omega }_f-{\omega }_0=\text{Δ}\omega ={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha (t)dt}$.

  英語のヒント

  一定の角加速度での固定軸の周りの回転について、グラフによる分析で解を求めた。関係式$\omega =\frac{d\theta }{dt}$から、角速度と時間の曲線の下の面積は、角変位${\theta }_{\text{f}}-{\theta }_0=\text{Δ}\theta ={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\omega (t)dt}$を与える。グラフによる分析の結果は、一定角加速度の運動学の式を使って確認した。同様に、$\alpha =\frac{d\omega }{dt}$なので、角加速度と時間のグラフの下の面積は角速度の変化${\omega }_f-{\omega }_0=\text{Δ}\omega ={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha (t)dt}$を与える。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 18–26練習問題 18–26

Exercise 18問題 18

A wheel has a constant angular acceleration of $5.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$. Starting from rest, it turns through 300 rad. (a) What is its final angular velocity? (b) How much time elapses while it turns through the 300 radians?

英語のヒント

車輪の角加速度は一定の$5.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$である。静止状態から始めて300 rad回転する。(a)最終角速度は何か。(b)300 rad回る間にどれだけ時間が経過するか。

Solution解き方

a. $\omega =55\text{rad}\text{/}\text{s}$;
b. $t=11\text{s}$

(a)$\omega =55\text{rad}\text{/}\text{s}$。(b)$t=11\text{s}$。

Exercise 19問題 19

During a 6.0-s time interval, a flywheel with a constant angular acceleration turns through 500 radians that acquire an angular velocity of 100 rad/s. (a) What is the angular velocity at the beginning of the 6.0 s? (b) What is the angular acceleration of the flywheel?

英語のヒント

一定の角加速度を持つはずみ車が、6.0 s間に500 rad回転し、角速度100 rad/sになる。(a)この6.0 sの始めの角速度は何か。(b)はずみ車の角加速度は何か。

Exercise 20問題 20

The angular velocity of a rotating rigid body increases from 500 to 1500 rev/min in 120 s. (a) What is the angular acceleration of the body? (b) Through what angle does it turn in this 120 s?

英語のヒント

回転する剛体の角速度が、120 s間に500 rev/minから1500 rev/minへ増す。(a)物体の角加速度は何か。(b)この120 s間にどの角度だけ回転するか。

Solution解き方

a. $0.87\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$;
b. $\theta =\mathrm{12,600}\text{rad}$

(a)$0.87\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$。(b)$\theta =\mathrm{12,600}\text{rad}$。

Exercise 21問題 21

A flywheel slows from 600 to 400 rev/min while rotating through 40 revolutions. (a) What is the angular acceleration of the flywheel? (b) How much time elapses during the 40 revolutions?

英語のヒント

はずみ車が40回転する間に、600 rev/minから400 rev/minへ遅くなる。(a)角加速度は何か。(b)40回転の間にどれだけ時間が経過するか。

Exercise 22問題 22

A wheel 1.0 m in radius rotates with an angular acceleration of $4.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$. (a) If the wheel’s initial angular velocity is 2.0 rad/s, what is its angular velocity after 10 s? (b) Through what angle does it rotate in the 10-s interval? (c) What are the tangential speed and acceleration of a point on the rim of the wheel at the end of the 10-s interval?

英語のヒント

半径1.0 mの車輪が、角加速度$4.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$で回転する。(a)初めの角速度が2.0 rad/sなら、10 s後の角速度は何か。(b)この10 s間にどの角度だけ回るか。(c)10 s間の終わりに、車輪の縁の点が持つ接線方向の速さと加速度は何か。

Solution解き方

a. $\omega =42.0\text{rad}\text{/}\text{s}$;
b. $\theta =220\text{rad}$; c. $\begin{array}{}\\ \\ v_t=42\text{m}\text{/}\text{s}\hfill \\ a_t=4.0\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\hfill \end{array}$

(a)$\omega =42.0\text{rad}\text{/}\text{s}$。(b)$\theta =220\text{rad}$。(c)$\begin{array}{}\\ \\ v_t=42\text{m}\text{/}\text{s}\hfill \\ a_t=4.0\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\hfill \end{array}$。

Exercise 23問題 23

A vertical wheel with a diameter of 50 cm starts from rest and rotates with a constant angular acceleration of $5.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$ around a fixed axis through its center counterclockwise. (a) Where is the point that is initially at the bottom of the wheel at $t=10\text{s?}$ (b) What is the point’s linear acceleration at this instant?

英語のヒント

鉛直に置かれた直径50 cmの車輪が、静止状態から、中心を通る固定軸の周りを反時計回りに、一定の角加速度$5.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$で回転する。(a)初めに車輪の最下部にあった点は、$t=10\text{s}$にどこにあるか。(b)その瞬間の点の並進加速度は何か。

Exercise 24問題 24

A circular disk of radius 10 cm has a constant angular acceleration of $1.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$; at $t=0$ its angular velocity is 2.0 rad/s. (a) Determine the disk’s angular velocity at $t=5.0\text{s}$. (b) What is the angle it has rotated through during this time? (c) What is the tangential acceleration of a point on the disk at $t=5.0\text{s}?$

英語のヒント

半径10 cmの円板の角加速度は一定の$1.0\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$で、$t=0$での角速度は2.0 rad/sである。(a)$t=5.0\text{s}$での角速度を求めよ。(b)この間に回転した角は何か。(c)$t=5.0\text{s}$での円板上の点の接線加速度は何か。

Solution解き方

a. $\omega =7.0\text{rad}\text{/}\text{s}$;
b. $\theta =22.5\text{rad}$; c. $a_{\text{t}}=0.10\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

(a)$\omega =7.0\text{rad}\text{/}\text{s}$。(b)$\theta =22.5\text{rad}$。(c)$a_{\text{t}}=0.10\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$。

Exercise 25問題 25

The angular velocity vs. time for a fan on a hovercraft is shown below. (a) What is the angle through which the fan blades rotate in the first 8 seconds? (b) Verify your result using the kinematic equations.

英語のヒント

ホバークラフトのファンの角速度と時間の関係を下図に示す。(a)最初の8 s間にファンの羽根が回る角度は何か。(b)運動学の式を使って結果を確認せよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 26問題 26

A rod of length 20 cm has two beads attached to its ends. The rod with beads starts rotating from rest. If the beads are to have a tangential speed of 20 m/s in 7 s, what is the angular acceleration of the rod to achieve this?

英語のヒント

長さ20 cmの棒の両端にビーズを取り付ける。棒とビーズは静止状態から回り始める。7 sでビーズの接線方向の速さを20 m/sにするには、棒の角加速度はいくら必要か。

Solution解き方

$\alpha =28.6\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$.