第10章固定軸まわりの回転

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 50–54練習問題 50–54

Exercise 50問題 50

If a child walks toward the center of a merry-go-round, does the moment of inertia increase or decrease?

英語のヒント

子どもが回転遊具の中心へ向かって歩くと、慣性モーメントは増えるか、減るか。

Exercise 51問題 51

A discus thrower rotates with a discus in his hand before letting it go. (a) How does his moment of inertia change after releasing the discus? (b) What would be a good approximation to use in calculating the moment of inertia of the discus thrower and discus?

英語のヒント

円盤投げの選手が、円盤を手に持ったまま回転してから放す。(a)放した後で慣性モーメントはどう変わるか。(b)選手と円盤の慣性モーメントの計算には、どのような近似がよいか。

Solution解き方

a. It decreases. b. The arms could be approximated with rods and the discus with a disk. The torso is near the axis of rotation so it doesn’t contribute much to the moment of inertia.

英語のヒント

(a)減る。(b)腕は棒、円盤は円板で近似できる。胴体は回転軸の近くにあるので、慣性モーメントへの寄与は小さい。

Exercise 52問題 52

Does increasing the number of blades on a propeller increase or decrease its moment of inertia, and why?

英語のヒント

プロペラの羽根の枚数を増やすと、慣性モーメントは増えるか、減るか。なぜか。

Exercise 53問題 53

The moment of inertia of a long rod spun around an axis through one end perpendicular to its length is

m L^{2} / 3

. Why is this moment of inertia greater than it would be if you spun a point mass m at the location of the center of mass of the rod (at L/2) (that would be

m L^{2} / 4

英語のヒント

長い棒が、一端を通り長さに垂直な軸の周りに回るとき、慣性モーメントは

m L^{2} / 3

である。なぜこれは、棒の質量中心の位置（L/2）に質量mの質点を置いて回した場合の値

m L^{2} / 4

より大きいのか。

Solution解き方

Because the moment of inertia varies as the square of the distance to the axis of rotation. The mass of the rod located at distances greater than L/2 would provide the larger contribution to make its moment of inertia greater than the point mass at L/2.

英語のヒント

慣性モーメントは、回転軸までの距離の2乗に従って変わるからである。L/2より遠い部分の質量が大きく寄与し、L/2に置いた質点より、棒の慣性モーメントを大きくする。

Exercise 54問題 54

Why is the moment of inertia of a hoop that has a mass M and a radius R greater than the moment of inertia of a disk that has the same mass and radius?

英語のヒント

質量M、半径Rの輪の慣性モーメントが、同じ質量と半径の円板より大きいのはなぜか。

Problems問題

Exercises 55–61練習問題 55–61

Exercise 55問題 55

While punting a football, a kicker rotates their leg about the hip joint. The moment of inertia of the leg is

3.75 {kg-m}^{2}

and its rotational kinetic energy is 175 J. (a) What is the angular velocity of the leg? (b) What is the velocity of tip of the punter’s shoe if it is 1.05 m from the hip joint?

英語のヒント

フットボールをパントキックする際、選手は股関節の周りに脚を回す。脚の慣性モーメントは

3.75 {kg-m}^{2}

、回転の運動エネルギーは175 Jである。(a)脚の角速度は何か。(b)靴の先が股関節から1.05 m離れているなら、その速度は何か。

Exercise 56問題 56

Using the parallel axis theorem, what is the moment of inertia of the rod of mass m about the axis shown below?

英語のヒント

平行軸の定理を使い、質量mの棒の、下図の軸に対する慣性モーメントを求めよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

I = \frac{7}{36} m L^{2}

Exercise 57問題 57

Find the moment of inertia of the rod in the previous problem by direct integration.

英語のヒント

前問の棒の慣性モーメントを、直接積分して求めよ。

Exercise 58問題 58

A uniform rod of mass 1.0 kg and length 2.0 m is free to rotate about one end (see the following figure). If the rod is released from rest at an angle of

60 °

with respect to the horizontal, what is the speed of the tip of the rod as it passes the horizontal position?

英語のヒント

質量1.0 kg、長さ2.0 mの一様な棒が、一端の周りに自由に回転できる（次の図参照）。水平となす角

60 °

の位置から静かに放したとき、水平位置を通過する棒の先端の速さは何か。

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Solution解き方

v = 7.14 m / s .

Exercise 59問題 59

A pendulum consists of a rod of mass 2 kg and length 1 m with a solid sphere at one end with mass 0.3 kg and radius 20 cm (see the following figure). If the pendulum is released from rest at an angle of

30 °

, what is the angular velocity at the lowest point?

英語のヒント

質量2 kg、長さ1 mの棒の一端に、質量0.3 kg、半径20 cmの中実球を付けた振り子を考える（次の図参照）。角度

30 °

の静止状態から放すと、最下点での角速度は何か。

質量2 kg、長さ1 mの棒と、その一端の質量0.3 kg、半径20 cmの中実球からなる振り子。角度30°の静止状態から放す。

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Exercise 60問題 60

A solid sphere of radius 10 cm is allowed to rotate freely about an axis. The sphere is given a sharp blow so that its center of mass starts from the position shown in the following figure with speed 15 cm/s. What is the maximum angle that the diameter makes with the vertical?

英語のヒント

半径10 cmの中実球が、ある軸の周りに自由に回転できる。球へ鋭い一撃を加え、質量中心が図の位置から速さ15 cm/sで動き始めるようにする。直径が鉛直方向となす最大角は何か。

左図は半径10 cmの中実球で、軸の周りに自由に回転し、その質量中心へ鋭い一撃を受ける。右図はその後の同じ球で、直径が鉛直方向となす角をθとする。

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Solution解き方

θ = 10.2 °

Exercise 61問題 61

Calculate the moment of inertia by direct integration of a thin rod of mass M and length L about an axis through the rod at L/3, as shown below. Check your answer with the parallel-axis theorem.

英語のヒント

質量M、長さLの細い棒について、下図のようにL/3の位置を通る軸に対する慣性モーメントを、直接積分して求めよ。平行軸の定理で答えを確認せよ。

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linear mass density

線密度

the mass per unit length

λ

of a one dimensional object

英語のヒント

1次元物体の単位長さあたりの質量

λ

。

parallel axis

平行軸

axis of rotation that is parallel to an axis about which the moment of inertia of an object is known

英語のヒント

物体の慣性モーメントが分かっている軸と平行な回転軸。

parallel-axis theorem

平行軸の定理

if the moment of inertia is known for a given axis, it can be found for any axis parallel to it

英語のヒント

ある軸の慣性モーメントが分かれば、それと平行な任意の軸について求められるという定理。

surface mass density

面密度

mass per unit area

σ

of a two dimensional object

英語のヒント

2次元物体の単位面積あたりの質量

σ

。