第10章固定軸まわりの回転

Calculating Net Torque for Rigid Bodies on a Fixed Axis固定軸を持つ剛体の合トルクの計算

In the following examples, we calculate the torque both abstractly and as applied to a rigid body.

英語のヒント

以下の例では、抽象的な場合と、剛体に力が加わる場合の両方でトルクを計算する。

We first introduce a problem-solving strategy.

英語のヒント

まず、問題を解くための方針を示す。

Finding Net Torque合トルクの求め方

Choose a coordinate system with the pivot point or axis of rotation as the origin of the selected coordinate system.
英語のヒント
支点または回転軸を原点とする座標系を選ぶ。
Determine the angle between the lever arm $\vec{r}$ and the force vector.
英語のヒント
腕を表す $\vec{r}$ と力のベクトルとの間の角度を求める。
Take the cross product of $\vec{r} and \vec{F}$ to determine if the torque is positive or negative about the pivot point or axis.
英語のヒント
$\vec{r} および \vec{F}$ の外積を取り、支点または軸の周りのトルクが正か負かを判定する。
Evaluate the magnitude of the torque using $r_{⊥} F$ .
英語のヒント
$r_{⊥} F$ を使ってトルクの大きさを計算する。
Assign the appropriate sign, positive or negative, to the magnitude.
英語のヒント
大きさに適切な正または負の符号を付ける。
Sum the torques to find the net torque.
英語のヒント
トルクを加え合わせて合トルクを求める。

Example 10.14例題 10.14

Calculating Torqueトルクの計算

Four forces are shown in Figure 10.34 at particular locations and orientations with respect to a given xy-coordinate system. Find the torque due to each force about the origin, then use your results to find the net torque about the origin.

英語のヒント

図10.34には、与えられたxy座標系に対して特定の位置と向きを持つ四つの力を示している。各力による原点の周りのトルクを求め、その結果から原点の周りの合トルクを求めよ。

xy座標系に、トルクを生む四つの力を示す。両軸は距離をmで表す。大きさ40 Nの力は点(4,0)からy軸と平行に正方向へ伸びる。大きさ20 Nの力は点(0,−3)からx軸と平行に負方向へ伸びる。もう一つの20 Nの力は点(0,1)から左上へ伸び、x軸と60度の角をなす。30 Nの力は点(−5,0)から左下へ伸び、x軸と53度の角をなす。 — Figure 10.34図 10.34
Four forces producing torques.
英語のヒント
トルクを生む四つの力。

Strategy方針

This problem requires calculating torque. All known quantities––forces with directions and lever arms––are given in the figure. The goal is to find each individual torque and the net torque by summing the individual torques. Be careful to assign the correct sign to each torque by using the cross product of

\vec{r}

and the force vector

\vec{F}

英語のヒント

この問題ではトルクを計算する。既知の量、すなわち向きも含めた力と腕の長さは、すべて図に示されている。目標は、個々のトルクと、それらを加えた合トルクを求めることである。

\vec{r}

と力のベクトル

\vec{F}

の外積を使い、各トルクに正しい符号を付けるよう注意する。

Solution解答

Use

| \vec{τ} | = r_{⊥} F = | r F sin θ |

to find the magnitude and

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

to determine the sign of the torque.

英語のヒント

| \vec{τ} | = r_{⊥} F = | r F sin θ |

から大きさを求め、

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

からトルクの符号を決める。

The magnitude of the torque from force 40 N in the first quadrant is given by

(4) (40) sin 90 ° = 160 N \cdot m

英語のヒント

第1象限にある40 Nの力によるトルクの大きさは、

(4) (40) sin 90 ° = 160 N \cdot m

となる。

The cross product of

\vec{r}

and

\vec{F}

is out of the page, positive.

英語のヒント

\vec{r}

と

\vec{F}

の外積は紙面から手前へ向くので、正である。

The magnitude of the torque from force 20 N in the third quadrant is given by

(3) (20) sin 90 ° = - 60 N \cdot m

英語のヒント

第3象限にある20 Nの力によるトルクの大きさは、

(3) (20) sin 90 ° = - 60 N \cdot m

となる。

The cross product of

\vec{r}

and

\vec{F}

is into the page, so it is negative:

- 60 N \cdot m

英語のヒント

\vec{r}

と

\vec{F}

の外積は紙面の奥へ向くので、負の

- 60 N \cdot m

となる。

The magnitude of the torque from force 30 N in the third quadrant is given by

(5) (30) sin 53 ° = 120 N \cdot m

英語のヒント

第3象限にある30 Nの力によるトルクの大きさは、

(5) (30) sin 53 ° = 120 N \cdot m

となる。

The cross product of

\vec{r}

and

\vec{F}

is out of the page, positive.

英語のヒント

\vec{r}

と

\vec{F}

の外積は紙面から手前へ向くので、正である。

The magnitude of the torque from force 20 N in the second quadrant is given by

(1) (20) sin 30 ° = 10 N \cdot m

英語のヒント

第2象限にある20 Nの力によるトルクの大きさは、

(1) (20) sin 30 ° = 10 N \cdot m

となる。

The cross product of

\vec{r}

and

\vec{F}

is out of the page.

英語のヒント

\vec{r}

と

\vec{F}

の外積は紙面から手前へ向く。

The net magnitude of the torque is therefore

τ_{net} = \sum_{i} | τ_{i} | = 160 - 60 + 120 + 10 = 230 N \cdot m .

英語のヒント

したがって、合トルクの大きさは

τ_{合計} = \sum_{i} | τ_{i} | = 160 - 60 + 120 + 10 = 230 N \cdot m

となる。

Significance考察

Note that each force that acts in the counterclockwise direction has a positive torque, whereas each force that acts in the clockwise direction has a negative torque. The torque is greater when the distance, force, or perpendicular components are greater.

英語のヒント

反時計回りに作用する力はそれぞれ正のトルクを生み、時計回りに作用する力はそれぞれ負のトルクを生む。距離、力、または垂直成分が大きいほど、トルクは大きくなる。

Example 10.15例題 10.15

Calculating Torque on a rigid body剛体に働くトルクの計算

Figure 10.35 shows several forces acting at different locations and angles on a flywheel. We have

| {\vec{F}}_{1} | = 20 N,

| {\vec{F}}_{2} | = 30 N

| {\vec{F}}_{3} | = 30 N

, and

r = 0.5 m

. Find the net torque on the flywheel about an axis through the center.

英語のヒント

図10.35には、はずみ車の異なる位置に異なる角度で働くいくつかの力を示している。

| {\vec{F}}_{1} | = 20 N

| {\vec{F}}_{2} | = 30 N

、

| {\vec{F}}_{3} | = 30 N

、

r = 0.5 m

である。中心を通る軸の周りの、はずみ車に働く合トルクを求めよ。

異なる位置と角度で三つの力が働くはずみ車。F3は中心に加えられ、回転軸に垂直である。F2は左端に加えられ、回転軸に垂直である。F1は中心に加えられ、回転軸と30度の角をなす。 — Figure 10.35図 10.35
Three forces acting on a flywheel.
英語のヒント
はずみ車に働く三つの力。

Strategy方針

We calculate each torque individually, using the cross product, and determine the sign of the torque. Then we sum the torques to find the net torque.

英語のヒント

外積を使って各トルクを個別に計算し、その符号を求める。その後、トルクを加え合わせて合トルクを求める。

Solution解答

We start with

{\vec{F}}_{1}

. If we look at Figure 10.35, we see that

{\vec{F}}_{1}

makes an angle of

90 ° + 60 °

with the radius vector

\vec{r}

. Taking the cross product, we see that it is out of the page and so is positive. We also see this from calculating its magnitude:

英語のヒント

{\vec{F}}_{1}

から始める。図10.35を見ると、

{\vec{F}}_{1}

は半径ベクトル

\vec{r}

と

90 ° + 60 °

の角をなす。外積を取ると、その向きは紙面から手前へ向くので正である。これは、大きさを計算しても分かる。

| {\vec{τ}}_{1} | = r F_{1} sin 150 ° = 0.5 m (20 N) (0.5) = 5.0 N \cdot m .

Next we look at

{\vec{F}}_{2}

. The angle between

{\vec{F}}_{2}

and

\vec{r}

90 °

and the cross product is into the page so the torque is negative. Its value is

英語のヒント

次に

{\vec{F}}_{2}

を見る。

{\vec{F}}_{2}

と

\vec{r}

の間の角は

90 °

で、外積は紙面の奥へ向くのでトルクは負となる。その値は次のとおりである。

| {\vec{τ}}_{2} | = − r F_{2} sin 90 ° = −0.5 m (30 N) = −15.0 N \cdot m .

When we evaluate the torque due to

{\vec{F}}_{3}

, we see that the angle it makes with

\vec{r}

is zero so

\vec{r} \times {\vec{F}}_{3} = 0 .

Therefore,

{\vec{F}}_{3}

does not produce any torque on the flywheel.

英語のヒント

{\vec{F}}_{3}

によるトルクを計算すると、この力と

\vec{r}

の間の角は0なので、

\vec{r} \times {\vec{F}}_{3} = 0

となる。したがって、

{\vec{F}}_{3}

は、はずみ車にトルクを生じさせない。

We evaluate the sum of the torques:

英語のヒント

トルクの和を計算する。

τ_{net} = \sum_{i} | τ_{i} | = 5 - 15 = −10 N \cdot m .

τ_{合計} = \sum_{i} | τ_{i} | = 5 - 15 = −10 N \cdot m

Significance考察

The axis of rotation is at the center of mass of the flywheel. Since the flywheel is on a fixed axis, it is not free to translate. If it were on a frictionless surface and not fixed in place,

{\vec{F}}_{3}

would cause the flywheel to translate, as well as

{\vec{F}}_{1}

. Its motion would be a combination of translation and rotation.

英語のヒント

回転軸は、はずみ車の質量中心にある。はずみ車は固定軸に取り付けられているので、自由に並進することはできない。摩擦のない面上にあり、位置が固定されていなければ、

{\vec{F}}_{3}

は

{\vec{F}}_{1}

と同じく、はずみ車を並進させる。その運動は、並進と回転を組み合わせたものになる。

A large ocean-going ship runs aground near the coastline, similar to the fate of the Costa Concordia, and lies at an angle as shown below. Salvage crews must apply a torque to right the ship in order to float the vessel for transport. A force of

5.0 \times 10^{5} N

acting at point A must be applied to right the ship. What is the torque about the point of contact of the ship with the ground (Figure 10.36)?

英語のヒント

大型の外洋船が、コスタ・コンコルディア号と同様に海岸近くで座礁し、下図のように傾いている。救難作業員は、船を輸送のために浮かせるにあたり、トルクを加えて船を起こさなければならない。船を起こすには、点Aに

5.0 \times 10^{5} N

の力を加える必要がある。船と地面の接点の周りのトルクはいくらか（図10.36）。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 10.36図 10.36

A ship runs aground and tilts, requiring torque to be applied to return the vessel to an upright position.

英語のヒント

船が座礁して傾いており、直立した姿勢に戻すにはトルクを加える必要がある。

Solution解き方

The angle between the lever arm and the force vector is

80 °;

therefore,

r_{⊥} = 100 m(sin80 °) = 98.5 m

英語のヒント

腕と力のベクトルの間の角は

80 °;

であり、したがって

r_{⊥} = 100 m(sin80 °) = 98.5 m

となる。

The cross product

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

gives a negative or clockwise torque.

英語のヒント

外積

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

は、負、すなわち時計回りのトルクを与える。

The torque is then

τ = − r_{⊥} F = −98.5 m (5.0 \times 10^{5} N) = −4.9 \times 10^{7} N \cdot m

英語のヒント

したがって、トルクは

τ = − r_{⊥} F = −98.5 m (5.0 \times 10^{5} N) = −4.9 \times 10^{7} N \cdot m

となる。