第10章固定軸まわりの回転

Applying the Equations for Rotational Motion回転運動の式を使う

Now we can apply the key kinematic relations for rotational motion to some simple examples to get a feel for how the equations can be applied to everyday situations.

英語のヒント

回転運動の主要な運動学的関係を簡単な例へ適用し、日常の状況にどう使うかをつかもう。

Example 10.4例題 10.4

Calculating the Acceleration of a Fishing Reel釣り用リールの加速度を計算する

A deep-sea fisherman hooks a big fish that swims away from the boat, pulling the fishing line from his fishing reel. The whole system is initially at rest, and the fishing line unwinds from the reel at a radius of 4.50 cm from its axis of rotation. The reel is given an angular acceleration of

110 {rad/s}^{2}

for 2.00 s (Figure 10.11).

英語のヒント

深海釣りをする人が大きな魚を針に掛けると、魚は釣り糸をリールから引き出しながら、船から離れて泳ぐ。最初は系全体が静止しており、釣り糸は回転軸から半径4.50 cmの位置でリールからほどける。リールは、2.00 sにわたって角加速度

110 {rad/s}^{2}

を与えられる（図10.11）。

(a) What is the final angular velocity of the reel after 2 s?

英語のヒント

(a)2 s後のリールの最終角速度は何か。

(b) How many revolutions does the reel make?

英語のヒント

(b)リールは何回転するか。

回転するリールから出る釣り糸の図。回転半径は4.5 cmで、反時計回りに回転する。 — Figure 10.11図 10.11
Fishing line coming off a rotating reel moves linearly.
英語のヒント
回転するリールから出る釣り糸は、直線的に動く。

Strategy方針

Identify the knowns and compare with the kinematic equations for constant acceleration. Look for the appropriate equation that can be solved for the unknown, using the knowns given in the problem description.

英語のヒント

既知量を特定し、一定加速度の運動学の式と照合する。問題文の既知量を使い、未知量について解ける適切な式を探す。

Solution解答

We are given $α$ and t and want to determine $ω$ . The most straightforward equation to use is $ω_{f} = ω_{0} + α t$ , since all terms are known besides the unknown variable we are looking for. We are given that $ω_{0} = 0$ (it starts from rest), so
英語のヒント
$α$ とtが与えられ、 $ω$ を求める。最も直接的に使える式は $ω_{f} = ω_{0} + α t$ で、求める未知量以外の項がすべて分かっている。静止状態から始まるため $ω_{0} = 0$ であり、次を得る。

$ω_{f} = 0 + (110 {rad/s}^{2}) (2.00 s) = 220 rad/s .$
We are asked to find the number of revolutions. Because $1 rev = 2 π rad$ , we can find the number of revolutions by finding $θ$ in radians. We are given $α$ and t, and we know $ω_{0}$ is zero, so we can obtain $θ$ by using
英語のヒント
求めるのは回転数である。 $1 rev = 2 π rad$ なので、 $θ$ をラジアンで求めれば回転数を得られる。 $α$ とtが与えられ、 $ω_{0}$ が0と分かっているので、次の式で $θ$ を求められる。

$\begin{matrix} θ_{f} & = θ_{i} + ω_{i} t + \frac{1}{2} α t^{2} \\ = 0 + 0 + (0.500) (110 {rad/s}^{2}) {(2.00 s)}^{2} = 220 rad . \end{matrix}$

Converting radians to revolutions gives
英語のヒント
ラジアンを回転数へ換算すると、次を得る。

$Number of rev = (220 rad) \frac{1 rev}{2 π rad} = 35.0 rev .$
$回転数 = (220 rad) \frac{1 rev}{2 π rad} = 35.0 rev$

Significance考察

This example illustrates that relationships among rotational quantities are highly analogous to those among linear quantities. The answers to the questions are realistic. After unwinding for two seconds, the reel is found to spin at 220 rad/s, which is 2100 rpm. (No wonder reels sometimes make high-pitched sounds.)

英語のヒント

この例は、回転の量の間の関係が、並進の量の間の関係と非常によく似ていることを示す。設問への答えは現実的である。2 s間糸がほどけた後、リールは220 rad/s、つまり2100 rpmで回転する。（リールが時に甲高い音を出すのも不思議ではない。）

In the preceding example, we considered a fishing reel with a positive angular acceleration. Now let us consider what happens with a negative angular acceleration.

英語のヒント

前の例では、角加速度が正の釣り用リールを考えた。今度は、角加速度が負の場合に何が起こるかを考えよう。

Example 10.5例題 10.5

Calculating the Duration When the Fishing Reel Slows Down and Stopsリールが減速して止まるまでの時間を計算する

Now the fisherman applies a brake to the spinning reel, achieving an angular acceleration of

−300 {rad/s}^{2}

. How long does it take the reel to come to a stop?

英語のヒント

釣り人が回転中のリールにブレーキをかけ、角加速度

−300 {rad/s}^{2}

を生じさせる。リールが止まるまでにどれだけ時間がかかるか。

Strategy方針

We are asked to find the time t for the reel to come to a stop. The initial and final conditions are different from those in the previous problem, which involved the same fishing reel. Now we see that the initial angular velocity is

ω_{0} = 220 rad / s

and the final angular velocity

ω

is zero. The angular acceleration is given as

α = −300 {rad/s}^{2} .

Examining the available equations, we see all quantities but t are known in

ω_{f} = ω_{0} + α t

, making it easiest to use this equation.

英語のヒント

求めるのはリールが停止するまでの時間tである。同じリールを扱っているが、初期条件と最終条件は前問と異なる。初めの角速度は

ω_{0} = 220 rad / s

で、最後の角速度

ω

は0である。角加速度は

α = −300 {rad/s}^{2}

と与えられる。使える式を調べると、

ω_{f} = ω_{0} + α t

ではt以外のすべての量が分かっている。そのため、この式を使うのが最も簡単である。

Solution解答

The equation states

英語のヒント

式は次のようになる。

ω_{f} = ω_{0} + α t .

We solve the equation algebraically for t and then substitute the known values as usual, yielding

英語のヒント

通常どおり、式を代数的にtについて解いてから既知の値を代入し、次を得る。

t = \frac{ω_{f} - ω_{0}}{α} = \frac{0 - 220.0 rad/s}{−300.0 {rad/s}^{2}} = 0.733 s .

Significance考察

Note that care must be taken with the signs that indicate the directions of various quantities. Also, note that the time to stop the reel is fairly small because the acceleration is rather large. Fishing lines sometimes snap because of the accelerations involved, and fishermen often let the fish swim for a while before applying brakes on the reel. A tired fish is slower, requiring a smaller acceleration.

英語のヒント

各量の向きを示す符号には注意が必要である。また、加速度の大きさがかなり大きいため、リールが停止する時間は比較的短い。釣り糸は関わる加速度によって切れることがあり、釣り人はしばらく魚を泳がせてからリールへブレーキをかけることが多い。疲れた魚は遅くなるため、必要な加速度が小さくなる。

A centrifuge used in DNA extraction spins at a maximum rate of 7000 rpm, producing a “g-force” on the sample that is 6000 times the force of gravity. If the centrifuge takes 10 seconds to come to rest from the maximum spin rate: (a) What is the angular acceleration of the centrifuge? (b) What is the angular displacement of the centrifuge during this time?

英語のヒント

DNA抽出用の遠心分離機が、最大7000 rpmで回転し、試料へ重力の6000倍の「g力」を生じさせる。最大回転速度から停止するまでに10 sかかる場合、(a)遠心分離機の角加速度は何か。(b)この間の角変位は何か。

Solution解き方

a. Using Equation 10.11, we have

7000 rpm = \frac{7000.0 (2 π rad)}{60.0 s} = 733.0 rad / s,

α = \frac{(ω - ω_{0})}{t} = \frac{(0 - 733.0 rad / s)}{10.0 s} = –73.3 rad / s^{2}

;
b. Using Equation 10.13, we have

ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α Δ θ \Rightarrow Δ θ = \frac{ω^{2} - ω_{0}^{2}}{2 α} = \frac{0 - {(733.0 rad / s)}^{2}}{2 (–73.3 rad / s^{2})} = 3665.2 rad

英語のヒント

(a)式10.11を使い、

7000 rpm = \frac{7000.0 (2 π rad)}{60.0 s} = 733.0 rad / s

α = \frac{(ω - ω_{0})}{t} = \frac{(0 - 733.0 rad / s)}{10.0 s} = –73.3 rad / s^{2}

を得る。(b)式10.13を使い、

ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α Δ θ \Rightarrow Δ θ = \frac{ω^{2} - ω_{0}^{2}}{2 α} = \frac{0 - {(733.0 rad / s)}^{2}}{2 (–73.3 rad / s^{2})} = 3665.2 rad

を得る。

Example 10.6例題 10.6

Angular Acceleration of a Propellerプロペラの角加速度

Figure 10.12 shows a graph of the angular velocity of a propeller on an aircraft as a function of time. Its angular velocity starts at 30 rad/s and drops linearly to 0 rad/s over the course of 5 seconds. (a) Find the angular acceleration of the object and verify the result using the kinematic equations. (b) Find the angle through which the propeller rotates during these 5 seconds and verify your result using the kinematic equations.

英語のヒント

図10.12は、航空機のプロペラの角速度を時間の関数として示したグラフである。角速度は30 rad/sから始まり、5 s間に直線的に0 rad/sまで減る。(a)角加速度を求め、運動学の式で結果を確かめよ。(b)この5 s間にプロペラが回る角度を求め、運動学の式で結果を確かめよ。

角速度（rad/s）を時間（s）に対して示したグラフ。角速度は0 sで30 rad/s、5 sで0となり、時間に対して直線的に減少する。 — Figure 10.12図 10.12
A graph of the angular velocity of a propeller versus time.
英語のヒント
時間に対するプロペラの角速度のグラフ。

Strategy方針

Since the angular velocity varies linearly with time, we know that the angular acceleration is constant and does not depend on the time variable. The angular acceleration is the slope of the angular velocity vs. time graph, $α = \frac{d ω}{d t}$ . To calculate the slope, we read directly from Figure 10.12, and see that $ω_{0} = 30 rad/s$ at $t = 0 s$ and $ω_{f} = 0 rad/s$ at $t = 5 s$ . Then, we can verify the result using $ω = ω_{0} + α t$ .
英語のヒント
角速度が時間に対して直線的に変わるので、角加速度は一定で、時間には依存しない。角加速度は角速度と時間のグラフの傾き $α = \frac{d ω}{d t}$ である。傾きを求めるため図10.12から直接読み取ると、 $t = 0 s$ で $ω_{0} = 30 rad/s$ 、 $t = 5 s$ で $ω_{f} = 0 rad/s$ である。次に、 $ω = ω_{0} + α t$ で結果を確かめられる。
We use the equation $ω = \frac{d θ}{d t};$ since the time derivative of the angle is the angular velocity, we can find the angular displacement by integrating the angular velocity, which from the figure means taking the area under the angular velocity graph. In other words:
英語のヒント
$ω = \frac{d θ}{d t};$ という式を使う。角の時間微分は角速度なので、角速度を積分すれば角変位を得られる。図で言えば、角速度のグラフの下の面積を求めることである。つまり、

$\int_{θ_{0}}^{θ_{f}} d θ = θ_{f} - θ_{0} = \int_{t_{0}}^{t_{f}} ω (t) d t .$

Then we use the kinematic equations for constant acceleration to verify the result.
英語のヒント
次に、一定加速度の運動学の式を使って結果を確かめる。

Solution解答

Calculating the slope, we get
英語のヒント
傾きを計算すると、次を得る。

$α = \frac{ω - ω_{0}}{t - t_{0}} = \frac{(0 - 30.0) rad/s}{(5.0 - 0) s} = −6.0 {rad/s}^{2} .$

We see that this is exactly Equation 10.11 with a little rearranging of terms.
英語のヒント
これは、項を少し整理しただけの式10.11である。
We can find the area under the curve by calculating the area of the right triangle, as shown in Figure 10.13.
英語のヒント
図10.13のように、直角三角形の面積を計算すれば、曲線の下の面積を求められる。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 10.13図 10.13
The area under the curve is the area of the right triangle.
英語のヒント
曲線の下の面積は、直角三角形の面積である。

$\begin{matrix} Δ θ & = & area (triangle); \\ Δ θ & = & \frac{1}{2} (30 rad/s) (5 s) = 75 rad . \end{matrix}$
$\begin{matrix} Δ θ & = & 面積 (三角形); \\ Δ θ & = & \frac{1}{2} (30 rad/s) (5 s) = 75 rad . \end{matrix}$

We verify the solution using Equation 10.12:
英語のヒント
式10.12を使って解を確かめる。

$θ_{f} = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2} .$

Setting $θ_{0} = 0$ , we have
英語のヒント
$θ_{0} = 0$ と置くと、次を得る。

$θ_{f} = (30.0 rad / s) (5.0 s) + \frac{1}{2} {(−6.0 rad / s^{2}) (5.0 rad / s)}^{2} = 150.0 - 75.0 = 75.0 rad .$

This verifies the solution found from finding the area under the curve.
英語のヒント
これで、曲線の下の面積から得た解が確認できた。

Significance考察

We see from part (b) that there are alternative approaches to analyzing fixed-axis rotation with constant acceleration. We started with a graphical approach and verified the solution using the rotational kinematic equations. Since

α = \frac{d ω}{d t}

, we could do the same graphical analysis on an angular acceleration-vs.-time curve. The area under an

α -vs.- t

curve gives us the change in angular velocity. Since the angular acceleration is constant in this section, this is a straightforward exercise.

英語のヒント

(b)から、一定の加速度での固定軸の周りの回転には、別の分析方法もあると分かる。まずグラフで考え、回転の運動学の式を使って解を確認した。

α = \frac{d ω}{d t}

なので、角加速度と時間の曲線でも同じようなグラフによる分析ができる。

α 対 t

曲線の下の面積は、角速度の変化を与える。本節では角加速度が一定なので、これは簡単な演習となる。