第10章固定軸まわりの回転

Summaryまとめ

The magnitude of a torque about a fixed axis is calculated by finding the lever arm to the point where the force is applied and using the relation $| \vec{τ} | = r_{⊥} F$ , where $r_{⊥}$ is the perpendicular distance from the axis to the line upon which the force vector lies.
英語のヒント
固定軸の周りのトルクの大きさは、力の作用点に対する腕の長さを求め、関係 $| \vec{τ} | = r_{⊥} F$ を使って計算する。ここで $r_{⊥}$ は、軸から力のベクトルが乗る直線までの垂直距離である。
The sign of the torque is found using the right hand rule. If the page is the plane containing $\vec{r}$ and $\vec{F}$ , then $\vec{r} \times \vec{F}$ is out of the page for positive torques and into the page for negative torques.
英語のヒント
トルクの符号は右手の法則で求める。紙面が $\vec{r}$ と $\vec{F}$ を含む平面であるなら、正のトルクでは $\vec{r} \times \vec{F}$ が紙面から手前へ向き、負のトルクでは紙面の奥へ向く。
The net torque can be found from summing the individual torques about a given axis.
英語のヒント
合トルクは、ある軸の周りの個々のトルクを加え合わせて求められる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 62–68練習問題 62–68

Exercise 62問題 62

What three factors affect the torque created by a force relative to a specific pivot point?

英語のヒント

特定の支点に対して、力が生むトルクに影響する三つの要因は何か。

Solution解き方

magnitude of the force, length of the lever arm, and angle of the lever arm and force vector

英語のヒント

力の大きさ、腕の長さ、腕と力のベクトルの間の角度。

Exercise 63問題 63

Give an example in which a small force exerts a large torque. Give another example in which a large force exerts a small torque.

英語のヒント

小さな力が大きなトルクを及ぼす例を挙げよ。また、大きな力が小さなトルクを及ぼす別の例を挙げよ。

Exercise 64問題 64

When reducing the mass of a racing bike, the greatest benefit is realized from reducing the mass of the tires and wheel rims. Why does this allow a racer to achieve greater accelerations than would an identical reduction in the mass of the bicycle’s frame?

英語のヒント

競技用自転車を軽量化する場合、タイヤとリムの質量を減らすと最も大きな効果が得られる。自転車のフレームの質量を同じ量だけ減らす場合よりも、大きな加速度を得られるのはなぜか。

Solution解き方

The moment of inertia of the wheels is reduced, so a smaller torque is needed to accelerate them.

英語のヒント

車輪の慣性モーメントが小さくなり、加速させるのに必要なトルクが小さくなるからである。

Exercise 65問題 65

Can a single force produce a zero torque?

英語のヒント

一つの力が生むトルクが0になることはあるか。

Exercise 66問題 66

Can a set of forces have a net torque that is zero and a net force that is not zero?

英語のヒント

複数の力の合トルクが0で、合力が0ではないことはあるか。

Solution解き方

yes

ある。

Exercise 67問題 67

Can a set of forces have a net force that is zero and a net torque that is not zero?

英語のヒント

複数の力の合力が0で、合トルクが0ではないことはあるか。

Exercise 68問題 68

In the expression

\vec{r} \times \vec{F}

can

| \vec{r} |

ever be less than the lever arm? Can it be equal to the lever arm?

英語のヒント

式

\vec{r} \times \vec{F}

において、

| \vec{r} |

が腕の長さより小さくなることはあるか。腕の長さと等しくなることはあるか。

Solution解き方

| \vec{r} |

can be equal to the lever arm but never less than the lever arm

英語のヒント

| \vec{r} |

は腕の長さと等しくなることはあるが、腕の長さより小さくなることはない。

Problems問題

Exercises 69–81練習問題 69–81

Exercise 69問題 69

Two flywheels of negligible mass and different radii are bonded together and rotate about a common axis (see below). The smaller flywheel of radius 30 cm has a cord that has a pulling force of 50 N on it. What pulling force needs to be applied to the cord connecting the larger flywheel of radius 50 cm such that the combination does not rotate?

英語のヒント

質量が無視でき、半径の異なる二つのはずみ車が互いに接合され、共通の軸の周りを回転する（下図）。半径30 cmの小さいはずみ車には、50 Nの力で引かれるひもが取り付けられている。この組合せが回転しないようにするには、半径50 cmの大きいはずみ車につながるひもを、どれだけの力で引く必要があるか。

半径の異なる二つのはずみ車が接合され、共通の軸の周りを回転する。小さいはずみ車には50 Nの力が加えられている。大きいはずみ車には大きさが未知の力が加えられ、反対向きに引いている。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

F = 30 N

Exercise 70問題 70

The cylinder head bolts on a car are to be tightened with a torque of 62.0 N

\cdot m

. If a mechanic uses a wrench of length 20 cm, what perpendicular force must he exert on the end of the wrench to tighten a bolt correctly?

英語のヒント

自動車のシリンダーヘッドのボルトを、62.0 N

\cdot m

のトルクで締め付ける。整備士が長さ20 cmのレンチを使うとき、ボルトを正しく締めるには、レンチの端に垂直にどれだけの力を加える必要があるか。

Exercise 71問題 71

(a) When opening a door, you push on it perpendicularly with a force of 55.0 N at a distance of 0.850 m from the hinges. What torque are you exerting relative to the hinges? (b) Does it matter if you push at the same height as the hinges? There is only one pair of hinges.

英語のヒント

(a)ドアを開けるとき、蝶番から0.850 m離れた位置を55.0 Nの力で垂直に押す。蝶番に対してどれだけのトルクを加えているか。(b)蝶番と同じ高さを押すかどうかは関係するか。蝶番は一組だけある。

Solution解き方

0.85 m (55.0 N) = 46.75 N \cdot m

; b. It does not matter at what height you push.

英語のヒント

0.85 m (55.0 N) = 46.75 N \cdot m

。b. 押す高さは関係しない。

Exercise 72問題 72

When tightening a bolt, you push perpendicularly on a wrench with a force of 165 N at a distance of 0.140 m from the center of the bolt. How much torque are you exerting in newton-meters (relative to the center of the bolt)?

英語のヒント

ボルトを締めるとき、ボルトの中心から0.140 m離れた位置で、レンチを165 Nの力で垂直に押す。ボルトの中心に対して加えているトルクは何ニュートンメートルか。

Exercise 73問題 73

What hanging mass must be placed on the cord to keep the pulley from rotating (see the following figure)? The mass on the frictionless plane is 5.0 kg. The mass on the plane is connected to a cord that wraps around the pulley’s inner radius of 20 cm. The hanging mass is connected to a cord that wraps around the pulley’s outer radius of 30 cm.

英語のヒント

滑車が回転しないようにするには、ひもに何kgの物体をつるす必要があるか（下図）。摩擦のない斜面上の物体の質量は5.0 kgである。この物体は、滑車の内側の半径20 cmの部分に巻き付いたひもにつながっている。つり下げた物体は、滑車の外側の半径30 cmの部分に巻き付いたひもにつながっている。

45度の斜面上にある質量5 kgの物体が、滑車を介して、空中につり下げられた未知の質量の物体の釣合いおもりとなる。5 kgの物体につながるひもは滑車の内側の半径20 cmの部分に巻き付き、つり下げられた物体につながるひもは外側の半径30 cmの部分に巻き付いている。

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Solution解き方

m_{2} = \frac{4.9 N \cdot m}{9.8 (0.3 m)} = 1.67 kg

Exercise 74問題 74

A simple pendulum consists of a massless tether 50 cm in length connected to a pivot and a small mass of 1.0 kg attached at the other end. What is the torque about the pivot when the pendulum makes an angle of

40 °

with respect to the vertical?

英語のヒント

単振り子は、支点につないだ長さ50 cmの質量のないひもと、その反対側の端に取り付けた質量1.0 kgの小物体からなる。振り子が鉛直方向となす角が

40 °

のとき、支点の周りのトルクはいくらか。

Exercise 75問題 75

Calculate the torque about the z-axis that is out of the page at the origin in the following figure, given that

F_{1} = 3 N, F_{2} = 2 N, F_{3} = 3 N, F_{4} = 1.8 N

英語のヒント

下図で

F_{1} = 3 N, F_{2} = 2 N, F_{3} = 3 N, F_{4} = 1.8 N

とするとき、原点を通り紙面から手前へ向くz軸の周りのトルクを計算せよ。

xy座標系。F1の作用点は、原点から右上へ伸びる直線上で原点から3 mの位置にあり、力は右下を向く。F2の作用点はy軸上で原点の2 m上にあり、力はx軸と平行な直線と30度の角をなして左下を向く。F3は原点に加えられ、左下を向く。F4の作用点はx軸上で原点の2 m右にある。F2はy軸と平行な直線と20度の角をなして左下を向く。

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Solution解き方

τ_{n e t} = −9.0 N \cdot m + 3.46 N \cdot m + 0 - 3.38 N \cdot m = −8.92 N \cdot m

Exercise 76問題 76

A seesaw has length 10.0 m and uniform mass 10.0 kg and is resting at an angle of

30 °

with respect to the ground (see the following figure). The pivot is located at 6.0 m. What magnitude of force needs to be applied perpendicular to the seesaw at the raised end so as to allow the seesaw to barely start to rotate?

英語のヒント

長さ10.0 m、質量10.0 kgの一様なシーソーが、地面と

30 °

の角をなして静止している（下図）。支点は6.0 mの位置にある。シーソーを回転し始める寸前にするには、持ち上がっている端に、シーソーと垂直にどれだけの力を加える必要があるか。

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Exercise 77問題 77

A pendulum consists of a rod of mass 1 kg and length 1 m connected to a pivot with a solid sphere attached at the other end with mass 0.5 kg and radius 30 cm. What is the torque about the pivot when the pendulum makes an angle of

30 °

with respect to the vertical?

英語のヒント

振り子は、支点につないだ質量1 kg、長さ1 mの棒と、その反対側の端に取り付けた質量0.5 kg、半径30 cmの中実球からなる。振り子が鉛直方向と

30 °

の角をなすとき、支点の周りのトルクはいくらか。

Solution解き方

τ = 5.66 N \cdot m

Exercise 78問題 78

A torque of

5.00 \times 10^{3} N \cdot m

is required to raise a drawbridge (see the following figure). What is the tension necessary to produce this torque? Would it be easier to raise the drawbridge if the angle

θ

were larger or smaller?

英語のヒント

跳ね橋を持ち上げるには、

5.00 \times 10^{3} N \cdot m

のトルクが必要である（下図）。このトルクを生むのに必要な張力はいくらか。角度

θ

が大きい場合と小さい場合では、どちらが橋を持ち上げやすいか。

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Exercise 79問題 79

A horizontal beam of length 3 m and mass 2.0 kg has a mass of 1.0 kg and width 0.2 m sitting at the end of the beam (see the following figure). What is the torque of the system about the support at the wall?

英語のヒント

長さ3 m、質量2.0 kgの水平な梁の端に、質量1.0 kg、幅0.2 mの物体が置かれている（下図）。壁にある支持点の周りの、この系のトルクはいくらか。

壁に取り付けられた、長さ3 m、質量2.0 kgの水平な梁。梁の端には、質量1.0 kg、幅0.2 mの物体が置かれている。

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Solution解き方

\sum τ = 57.82 N \cdot m

Exercise 80問題 80

What force must be applied to end of a rod along the x-axis of length 2.0 m in order to produce a torque on the rod about the origin of

8.0 \hat{k} N \cdot m

英語のヒント

x軸に沿う長さ2.0 mの棒に、原点の周りのトルク

8.0 \hat{k} N \cdot m

を生じさせるには、棒の端にどのような力を加える必要があるか。

Exercise 81問題 81

What is the torque about the origin of the force

(5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 1.0 \hat{k}) N

if it is applied at the point whose position is:

\vec{r} = (−2.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j}) m?

英語のヒント

力

(5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 1.0 \hat{k}) N

を、位置

\vec{r} = (−2.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j}) m

で表される点に加えたとき、原点の周りのトルクはいくらか。

Solution解き方

\vec{r} \times \vec{F} = 4.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j} - 16.0 \hat{k} N \cdot m

lever arm

腕の長さ

perpendicular distance from the line that the force vector lies on to a given axis

英語のヒント

力のベクトルが乗る直線から、ある軸までの垂直距離。

torque

トルク

cross product of a force and a lever arm to a given axis

英語のヒント

ある軸に対する、力と腕のベクトルの外積。