第13章万有引力

Summaryまとめ

All masses attract one another with a gravitational force proportional to their masses and inversely proportional to the square of the distance between them.
英語のヒント
すべての質量は互いに重力で引き合う。その力は両者の質量に比例し、両者の間の距離の2乗に反比例する。
Spherically symmetrical masses can be treated as if all their mass were located at the center.
英語のヒント
球対称な質量は、その質量のすべてが中心にあるものとして扱える。
Nonsymmetrical objects can be treated as if their mass were concentrated at their center of mass, provided their distance from other masses is large compared to their size.
英語のヒント
非対称な物体も、ほかの質量との距離が物体の大きさに比べて十分に大きければ、その質量が重心に集中しているものとして扱える。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 1–2練習問題 1–2

Exercise 1問題 1

Action at a distance, such as is the case for gravity, was once thought to be illogical and therefore untrue. What is the ultimate determinant of the truth in science, and why was this action at a distance ultimately accepted?

英語のヒント

重力の場合のような遠隔作用は、かつては非論理的であり、したがって真実ではないと考えられていた。科学において真偽を最終的に決めるものは何か。また、この遠隔作用はなぜ最終的に受け入れられたのか。

Solution解き方

The ultimate truth is experimental verification. Field theory was developed to help explain how force is exerted without objects being in contact for both gravity and electromagnetic forces that act at the speed of light. It has only been since the twentieth century that we have been able to measure that the force is not conveyed immediately.

英語のヒント

究極の判断基準は実験による検証である。光速で作用する重力と電磁気力のいずれについても、物体が接触せずに力を及ぼす仕組みを説明するため、場の理論が発展した。力が瞬時には伝わらないと測定できるようになったのは、20世紀になってからのことである。

Exercise 2問題 2

In the law of universal gravitation, Newton assumed that the force was proportional to the product of the two masses (

~ m_{1} m_{2}

). While all scientific conjectures must be experimentally verified, can you provide arguments as to why this must be? (You may wish to consider simple examples in which any other form would lead to contradictory results.)

英語のヒント

万有引力の法則で、ニュートンは力が二つの質量の積に比例する（

~ m_{1} m_{2}

）と仮定した。科学の予想はすべて実験によって確かめなければならないが、この比例関係でなければならない理由を論じられるか。（ほかのどの形でも矛盾した結果になるような、単純な例を考えてもよい。）

Problems問題

Exercises 3–9練習問題 3–9

Exercise 3問題 3

Evaluate the magnitude of gravitational force between two 5-kg spherical steel balls separated by a center-to-center distance of 15 cm.

英語のヒント

質量がそれぞれ5 kgで、中心間の距離が15 cmの球形の鋼球二つの間に働く重力の大きさを求めよ。

Solution解き方

7.4 \times 10^{−8} N

Exercise 4問題 4

Estimate the gravitational force between two sumo wrestlers, with masses 220 kg and 240 kg, when they are embraced and their centers are 1.2 m apart.

英語のヒント

質量220 kgと240 kgの二人の力士が組み合い、重心間の距離が1.2 mになっている。二人の間に働く重力を見積もれ。

Exercise 5問題 5

Astrology makes much of the position of the planets at the moment of one’s birth. The only known force a planet exerts on Earth is gravitational. (a) Calculate the gravitational force exerted on a 4.20-kg baby by a 100-kg father 0.200 m away at birth (he is assisting, so he is close to the child). (b) Calculate the force on the baby due to Jupiter if it is at its closest distance to Earth, some

6.29 \times 10^{11} m

away. How does the force of Jupiter on the baby compare to the force of the father on the baby? Other objects in the room and the hospital building also exert similar gravitational forces. (Of course, there could be an unknown force acting, but scientists first need to be convinced that there is even an effect, much less that an unknown force causes it.)

英語のヒント

占星術では、人が生まれた瞬間の惑星の位置を重視する。惑星が地球に及ぼす力として知られているのは、重力だけである。(a) 生まれたときの質量4.20 kgの赤ん坊から0.200 m離れた、質量100 kgの父親が赤ん坊に及ぼす重力を計算せよ。父親は出産を手伝っているため、子どもの近くにいる。(b) 木星が地球に最も近づき、約

6.29 \times 10^{11} m

の距離にあるとき、木星が赤ん坊に及ぼす力を計算せよ。この力は父親が赤ん坊に及ぼす力と比べてどうか。部屋にあるほかの物体や病院の建物も、同程度の重力を及ぼす。未知の力が働いている可能性はある。しかし、その原因が未知の力だということはもとより、そもそも何らかの効果が存在するということ自体について、科学者をまず納得させる必要がある。

Solution解き方

7.01 \times 10^{−7} N

; b. The mass of Jupiter is

\begin{matrix} m_{J} = 1.90 \times 10^{27} kg \\ F_{J} = 1.35 \times 10^{−6} N \\ \frac{F_{f}}{F_{J}} = 0.521 \end{matrix}

英語のヒント

7.01 \times 10^{−7} N

。b. 木星の質量は次のとおりである。

\begin{matrix} m_{J} = 1.90 \times 10^{27} kg \\ F_{J} = 1.35 \times 10^{−6} N \\ \frac{F_{f}}{F_{J}} = 0.521 \end{matrix}

Exercise 6問題 6

A mountain 10.0 km from a person exerts a gravitational force on the person equal to 2.00% of their weight. (a) Calculate the mass of the mountain. (b) Compare the mountain’s mass with that of Earth. (c) What is unreasonable about these results? (d) Which premises are unreasonable or inconsistent? (Note that accurate gravitational measurements can easily detect the effect of nearby mountains and variations in local geology.)

英語のヒント

ある人から10.0 km離れた山が、その人の重さの2.00%に等しい重力を及ぼしている。(a) 山の質量を求めよ。(b) 山の質量を地球の質量と比較せよ。(c) 結果のどの点が不合理か。(d) どの前提が不合理、または矛盾しているか。（精密な重力測定では、近くの山の影響や局所的な地質の違いを容易に検出できることに注意せよ。）

Exercise 7問題 7

The International Space Station has a mass of approximately 370,000 kg. (a) What is the force on a 150-kg suited astronaut if she is 20 m from the center of mass of the station? (b) How accurate do you think your answer would be?

英語のヒント

国際宇宙ステーションの質量は約370,000 kgである。(a) 宇宙服を含む質量が150 kgの宇宙飛行士が、ステーションの重心から20 m離れているとき、宇宙飛行士に働く力はいくらか。(b) 得られた答えは、どの程度正確だと考えられるか。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 13.7図 13.7

(credit: ©ESA–David Ducros)

（出典：©ESA–David Ducros）

Solution解き方

9.25 \times 10^{−6} N

; b. Not very, as the ISS is not even symmetrical, much less spherically symmetrical.

英語のヒント

9.25 \times 10^{−6} N

。b. それほど正確ではない。ISSは球対称でないどころか、対称ですらないからである。

Exercise 8問題 8

Asteroid Toutatis passed near Earth in 2006 at four times the distance to our Moon. This was the closest approach we will have until 2060. If it has mass of

5.0 \times 10^{13} kg

, what force did it exert on Earth at its closest approach?

英語のヒント

小惑星トータティスは2006年、地球と月の距離の4倍のところを通って地球に接近した。2060年までは、これが最も近い接近となる。質量が

5.0 \times 10^{13} kg

であるとき、最接近時に地球へ及ぼした力はいくらか。

Exercise 9問題 9

(a) What was the acceleration of Earth caused by asteroid Toutatis (see previous problem) at its closest approach? (b) What was the acceleration of Toutatis at this point?

英語のヒント

(a) 小惑星トータティス（前問参照）が最接近したとき、それによって生じた地球の加速度はいくらだったか。(b) このときのトータティスの加速度はいくらだったか。

Solution解き方

1.41 \times 10^{−15} {m/s}^{2}

; b.

1.69 \times 10^{−4} {m/s}^{2}

1.41 \times 10^{−15} {m/s}^{2}

。b.

1.69 \times 10^{−4} {m/s}^{2}

Newton’s law of gravitation

ニュートンの万有引力の法則

every mass attracts every other mass with a force proportional to the product of their masses, inversely proportional to the square of the distance between them, and with direction along the line connecting the center of mass of each

英語のヒント

あらゆる質量は、ほかのあらゆる質量を引き付ける。その力は両者の質量の積に比例し、両者の間の距離の2乗に反比例し、それぞれの重心を結ぶ直線に沿う向きに働く。

universal gravitational constant

万有引力定数

constant representing the strength of the gravitational force, that is believed to be the same throughout the universe

英語のヒント

重力の強さを表す定数で、宇宙全体で同じ値を取ると考えられているもの。