プリンキピア

第13章万有引力

Summaryまとめ

  • The acceleration due to gravity changes as we move away from Earth, and the expression for gravitational potential energy must reflect this change.
    英語のヒント
    地球から離れると重力加速度は変化するので、重力による位置エネルギーの式にも、その変化を反映させなければならない。
  • The total energy of a system is the sum of kinetic and gravitational potential energy, and this total energy is conserved in orbital motion.
    英語のヒント
    系の全エネルギーは、運動エネルギーと重力による位置エネルギーの和であり、軌道運動ではこの全エネルギーが保存される。
  • Objects must have a minimum velocity, the escape velocity, to leave a planet and not return.
    英語のヒント
    物体が惑星を離れて戻らないためには、脱出速度という最小の速度が必要である。
  • Objects with total energy less than zero are bound; those with zero or greater are unbounded.
    英語のヒント
    全エネルギーがゼロ未満の物体は束縛され、ゼロ以上の物体は束縛されない。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 20–21練習問題 20–21
Exercise 20問題 20
It was stated that a satellite with negative total energy is in a bound orbit, whereas one with zero or positive total energy is in an unbounded orbit. Why is this true? What choice for gravitational potential energy was made such that this is true?
英語のヒント
全エネルギーが負の衛星は束縛軌道にあり、ゼロまたは正の衛星は非束縛軌道にあると述べた。なぜそういえるのか。これが成り立つために、重力による位置エネルギーの基準をどう選んだのか。
Exercise 21問題 21
It was shown that the energy required to lift a satellite into a low Earth orbit (the change in potential energy) is only a small fraction of the kinetic energy needed to keep it in orbit. Is this true for larger orbits? Is there a trend to the ratio of kinetic energy to change in potential energy as the size of the orbit increases?
英語のヒント
衛星を地球の低い軌道へ持ち上げるのに必要なエネルギー（位置エネルギーの変化）は、その軌道を保つのに必要な運動エネルギーの、ごく一部にすぎないことを示した。もっと大きな軌道でも同じことがいえるか。軌道が大きくなるにつれて、位置エネルギーの変化に対する運動エネルギーの比には、どのような傾向があるか。
Solution解き方
As we move to larger orbits, the change in potential energy increases, whereas the orbital velocity decreases. Hence, the ratio is highest near Earth’s surface (technically infinite if we orbit at Earth’s surface with no elevation change), moving to zero as we reach infinitely far away.
英語のヒント
軌道が大きくなると、位置エネルギーの変化は増加し、軌道の速度は減少する。したがって、その比は地表付近で最大となる。厳密には、高度を変えずに地表すれすれを周回するなら無限大である。その後、無限に遠くへ達すると比はゼロへ近づく。

Problems問題

Exercises 22–28練習問題 22–28
Exercise 22問題 22
Find the escape speed of a projectile from the surface of Mars.
英語のヒント
火星表面から打ち出す物体の脱出の速さを求めよ。
Solution解き方
5000 m/s
Exercise 23問題 23
Find the escape speed of a projectile from the surface of Jupiter.
英語のヒント
木星表面から打ち出す物体の脱出の速さを求めよ。
Exercise 24問題 24
What is the escape speed of a satellite located at the Moon’s orbit about Earth? Assume the Moon is not nearby.
英語のヒント
地球を公転する月の軌道の位置にある人工衛星の、脱出の速さはいくらか。月は近くにないものとする。
Solution解き方
1440 m/s
Exercise 25問題 25
(a) Evaluate the gravitational potential energy between two 5.00-kg spherical steel balls separated by a center-to-center distance of 15.0 cm. (b) Assuming that they are both initially at rest relative to each other in deep space, use conservation of energy to find how fast will they be traveling upon impact. Each sphere has a radius of 5.10 cm.
英語のヒント
(a) 質量がそれぞれ5.00 kgで、中心間距離が15.0 cmの球形の鋼球二つについて、両者の間の重力による位置エネルギーを求めよ。(b) 深宇宙で初めは互いに対して静止していると仮定し、エネルギー保存を使って衝突時の速さを求めよ。各球の半径は5.10 cmである。
Exercise 26問題 26
An average-sized asteroid located 5.0×107km from Earth with mass 2.0×1013kg is detected headed directly toward Earth with speed of 2.0 km/s. What will its speed be just before it hits our atmosphere? (You may ignore the size of the asteroid.)
英語のヒント
地球から5.0×107kmの位置にある、質量2.0×1013kgの平均的な大きさの小惑星が、2.0 km/sで地球へまっすぐ向かっていることが発見された。大気圏へ衝突する直前の速さはいくらになるか。（小惑星の大きさは無視してよい。）
Solution解き方
11 km/s
Exercise 27問題 27
(a) What will be the kinetic energy of the asteroid in the previous problem just before it hits Earth? b) Compare this energy to the output of the largest fission bomb, 2100 TJ. What impact would this have on Earth?
英語のヒント
(a) 前問の小惑星が地球に衝突する直前の運動エネルギーはいくらか。(b) このエネルギーを、最大の核分裂爆弾の放出エネルギー2100 TJと比較せよ。地球にどのような影響を及ぼすか。
Exercise 28問題 28
(a) What is the change in energy of a 1000-kg payload taken from rest at the surface of Earth and placed at rest on the surface of the Moon? (b) What would be the answer if the payload were taken from the Moon’s surface to Earth? Is this a reasonable calculation of the energy needed to move a payload back and forth?
英語のヒント
(a) 地表で静止していた質量1000 kgの積載物を、月面へ運んで静止させると、エネルギーはどれだけ変化するか。(b) 月面から地球へ運んだ場合、答えはどうなるか。これは積載物を往復させるのに必要なエネルギーの、妥当な計算といえるか。
Solution解き方
a. 5.85×1010J; b. −5.85×1010J; No. It assumes the kinetic energy is recoverable. This would not even be reasonable if we had an elevator between Earth and the Moon.
英語のヒント
a. 5.85×1010J。b. −5.85×1010J。妥当ではない。運動エネルギーを回収できると仮定しているためである。地球と月の間にエレベーターがあったとしても、この仮定は妥当とはいえない。
escape velocity
脱出速度
initial velocity an object needs to escape the gravitational pull of another; it is more accurately defined as the velocity of an object with zero total mechanical energy
英語のヒント
別の物体の引力から脱出するために必要な初速度。より正確には、全力学的エネルギーがゼロとなる物体の速度として定義される。
gravitationally bound
重力で束縛されていること
two object are gravitationally bound if their orbits are closed; gravitationally bound systems have a negative total mechanical energy
英語のヒント
二つの物体の軌道が閉じているとき、両者は重力で束縛されている。重力で束縛された系の全力学的エネルギーは負である。