第13章万有引力

Summaryまとめ

Orbital velocities are determined by the mass of the body being orbited and the distance from the center of that body, and not by the mass of a much smaller orbiting object.
英語のヒント
軌道の速度は、公転の中心となる天体の質量と、その中心からの距離で決まり、それよりはるかに小さい公転物体の質量では決まらない。
The period of the orbit is likewise independent of the orbiting object’s mass.
英語のヒント
軌道の周期も同様に、公転する物体の質量には依存しない。
Bodies of comparable masses orbit about their common center of mass and their velocities and periods should be determined from Newton’s second law and law of gravitation.
英語のヒント
質量が同程度の天体は共通の重心のまわりを公転し、その速度と周期はニュートンの第2法則と万有引力の法則から求めるべきである。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 29–30練習問題 29–30

Exercise 29問題 29

One student argues that a satellite in orbit is in free fall because the satellite keeps falling toward Earth. Another says a satellite in orbit is not in free fall because the acceleration due to gravity is not

9.80 {m/s}^{2}

. With whom do you agree with and why?

英語のヒント

ある学生は、軌道上の衛星は地球へ向かって落ち続けているため、自由落下していると主張する。別の学生は、重力加速度が

9.80 {m/s}^{2}

ではないので自由落下ではないという。どちらに賛成するか。理由も述べよ。

Exercise 30問題 30

Many satellites are placed in geosynchronous orbits. What is special about these orbits? For a global communication network, how many of these satellites would be needed?

英語のヒント

多くの人工衛星は対地同期軌道に配置される。この軌道の特別な点は何か。地球全体の通信網を作るには、このような衛星が何個必要か。

Solution解き方

The period of the orbit must be 24 hours. But in addition, the satellite must be located in an equatorial orbit and orbiting in the same direction as Earth’s rotation. All three criteria must be met for the satellite to remain in one position relative to Earth’s surface. At least three satellites are needed, as two on opposite sides of Earth cannot communicate with each other. (This is not technically true, as a wavelength could be chosen that provides sufficient diffraction. But it would be totally impractical.)

英語のヒント

公転周期は24時間でなければならない。さらに、衛星は赤道面内の軌道にあり、地球の自転と同じ向きに公転していなければならない。地表に対して同じ位置にとどまるには、この三つの条件をすべて満たす必要がある。地球の反対側にある二つの衛星は互いに通信できないので、少なくとも3個が必要になる。（厳密には、十分な回折を起こす波長を選ぶことができるため、通信できないという断定は正しくない。しかし、まったく実用的ではない。）

Problems問題

Exercises 31–41練習問題 31–41

Exercise 31問題 31

If a planet with 1.5 times the mass of Earth was traveling in Earth’s orbit, what would its period be?

英語のヒント

地球の1.5倍の質量を持つ惑星が、地球と同じ軌道を動いていたら、その周期はいくらになるか。

Exercise 32問題 32

Two planets in circular orbits around a star have speeds of v and 2v. (a) What is the ratio of the orbital radii of the planets? (b) What is the ratio of their periods?

英語のヒント

恒星のまわりを円軌道で回る二つの惑星の速さは、vと2vである。(a) 両惑星の軌道半径の比はいくらか。(b) 周期の比はいくらか。

Solution解き方

a. 0.25; b. 0.125

a. 0.25。b. 0.125

Exercise 33問題 33

Using the average distance of Earth from the Sun, and the orbital period of Earth, (a) ﬁnd the centripetal acceleration of Earth in its motion about the Sun. (b) Compare this value to that of the centripetal acceleration at the equator due to Earth’s rotation.

英語のヒント

地球と太陽の平均距離、および地球の公転周期を用いて、(a) 太陽を回る地球の向心加速度を求めよ。(b) この値を、地球の自転による赤道上の向心加速度と比較せよ。

Exercise 34問題 34

(a) What is the orbital radius of an Earth satellite having a period of 1.00 h? (b) What is unreasonable about this result?

英語のヒント

(a) 周期1.00 hの地球の人工衛星の軌道半径はいくらか。(b) この結果のどこが不合理か。

Solution解き方

5.08 \times 10^{3} km

; b. This less than the radius of Earth.

英語のヒント

5.08 \times 10^{3} km

。b. 地球の半径より小さい。

Exercise 35問題 35

Calculate the mass of the Sun based on data for Earth’s orbit and compare the value obtained with the Sun’s actual mass.

英語のヒント

地球の軌道のデータから太陽の質量を計算し、得られた値を太陽の実際の質量と比較せよ。

Exercise 36問題 36

Find the mass of Jupiter based on the fact that Io, its innermost moon, has an average orbital radius of 421,700 km and a period of 1.77 days.

英語のヒント

木星の最も内側の衛星イオの平均軌道半径が421,700 km、周期が1.77日であることを使って、木星の質量を求めよ。

Solution解き方

1.89 \times 10^{27} kg

Exercise 37問題 37

Astronomical observations of light from the Milky Way galaxy's stars indicate that it has a mass of about

8.0 \times 10^{11}

solar masses. A star orbiting on the galaxy’s periphery is about

6.0 \times 10^{4}

light-years from its center. (a) What should the orbital period of that star be? (b) If its period is

6.0 \times 10^{7}

years instead, what is the mass of the galaxy? Such calculations are used to imply the existence of mass that does not emit any light. Scientists do not know what it is comprised of, so this mass is known simply as "dark matter" and remains an enduring astronomical mystery.

英語のヒント

天の川銀河の恒星からの光を天文観測すると、銀河の質量は約

8.0 \times 10^{11}

太陽質量であると分かる。銀河の外縁を公転するある恒星は、中心から約

6.0 \times 10^{4}

光年の位置にある。(a) この恒星の公転周期はいくらのはずか。(b) 実際の周期が

6.0 \times 10^{7}

年であった場合、銀河の質量はいくらか。このような計算は、光を一切放出しない質量の存在を示唆するために使われる。科学者は、それが何でできているのか分かっていない。そのため、この質量は単に「暗黒物質」と呼ばれ、天文学の未解決の謎であり続けている。

Exercise 38問題 38

(a) In order to keep a small satellite from drifting into a nearby asteroid, it is placed in orbit with a period of 3.02 hours and radius of 2.0 km. What is the mass of the asteroid? (b) Does this mass seem reasonable for the size of the orbit?

英語のヒント

(a) 小さな人工衛星が近くの小惑星へ漂って衝突しないよう、周期3.02時間、半径2.0 kmの軌道に入れる。小惑星の質量はいくらか。(b) この質量は軌道の大きさに対して妥当だと思うか。

Solution解き方

4.01 \times 10^{13} kg

; b. The satellite must be outside the radius of the asteroid, so it can’t be larger than this. If it were this size, then its density would be about

1200 {kg/m}^{3}

. This is just above that of water, so this seems quite reasonable.

英語のヒント

4.01 \times 10^{13} kg

。b. 衛星は小惑星の半径の外側にいなければならないので、小惑星はこの軌道半径より大きくはなれない。仮にその大きさであれば、密度は約

1200 {kg/m}^{3}

となる。これは水の密度を少し上回る程度なので、十分に妥当と思われる。

Exercise 39問題 39

The Moon and Earth rotate about their common center of mass, which is located about 4700 km from the center of Earth. (This is 1690 km below the surface.) (a) Calculate the acceleration due to the Moon’s gravity at that point. (b) Calculate the centripetal acceleration of the center of Earth as it rotates about that point once each lunar month (about 27.3 d) and compare it with the acceleration found in part (a). Comment on whether or not they are equal and why they should or should not be.

英語のヒント

月と地球は共通の重心のまわりを回り、その重心は地球の中心から約4700 kmのところにある。（地表から1690 kmの深さである。）(a) この点での月の重力による加速度を計算せよ。(b) 地球の中心が、この点を1か月ごと（約27.3日）に1周するときの向心加速度を計算し、(a)と比較せよ。両者が等しいかどうか、また等しいべきか等しくないべきか、その理由を論じよ。

Exercise 40問題 40

The Sun orbits the Milky Way galaxy once each

2.60 \times 10^{8} years

, with a roughly circular orbit averaging a radius of

3.00 \times 10^{4}

light-years. (A light-year is the distance traveled by light in 1 year.) Calculate the centripetal acceleration of the Sun in its galactic orbit. Does your result support the contention that a nearly inertial frame of reference can be located at the Sun? (b) Calculate the average speed of the Sun in its galactic orbit. Does the answer surprise you?

英語のヒント

太陽は、平均半径がおよそ

3.00 \times 10^{4}

光年のほぼ円形の軌道で、

2.60 \times 10^{8} 年

に1回、天の川銀河を公転する。（1光年は、光が1年間に進む距離である。）この銀河内の軌道における太陽の向心加速度を計算せよ。結果は、太陽を基準とする系をほぼ慣性系とみなせるという主張を裏付けるか。(b) 銀河内の軌道における太陽の平均の速さを求めよ。その答えは意外だろうか。

Solution解き方

1.66 \times 10^{−10} {m/s}^{2}

; Yes, the centripetal acceleration is so small it supports the contention that a nearly inertial frame of reference can be located at the Sun. b.

2.17 \times 10^{5} m / s

英語のヒント

1.66 \times 10^{−10} {m/s}^{2}

。裏付ける。向心加速度が非常に小さいので、太陽を基準とする系をほぼ慣性系とみなせるという主張が支持される。b.

2.17 \times 10^{5} m / s

Exercise 41問題 41

A geosynchronous Earth satellite is one that has an orbital period of precisely 1 day. Such orbits are useful for communication and weather observation because the satellite remains above the same point on Earth (provided it orbits in the equatorial plane in the same direction as Earth’s rotation). Calculate the radius of such an orbit based on the data for Earth in Appendix D.

英語のヒント

対地同期の地球衛星とは、公転周期が正確に1日である衛星をいう。地球の自転と同じ向きに赤道面内を公転していれば、地球上の同じ点の真上にとどまるため、この軌道は通信や気象観測に役立つ。付録Dの地球のデータを用いて、この軌道の半径を計算せよ。

orbital period

軌道周期

time required for a satellite to complete one orbit

英語のヒント

衛星が軌道を1周するのに必要な時間。

orbital speed

軌道の速さ

speed of a satellite in a circular orbit; it can be also be used for the instantaneous speed for noncircular orbits in which the speed is not constant

英語のヒント

円軌道上の衛星の速さ。速さが一定でない非円軌道についても、瞬間の速さを表す語として使われる。