第13章万有引力

Dark matter暗黒物質

Stars orbiting near the very heart of our galaxy provide strong evidence for a black hole there, but the orbits of stars far from the center suggest another intriguing phenomenon that is observed indirectly as well. Recall from Gravitation Near Earth’s Surface that we can consider the mass for spherical objects to be located at a point at the center for calculating their gravitational effects on other masses. Similarly, we can treat the total mass that lies within the orbit of any star in our galaxy as being located at the center of the Milky Way disc. We can estimate that mass from counting the visible stars and include in our estimate the mass of the black hole at the center as well.

英語のヒント

銀河の中心のすぐ近くを回る恒星は、そこにブラックホールがあるという強い証拠になる。しかし、中心から遠い恒星の軌道は、やはり間接的に観測される、別の興味深い現象を示す。「地表付近の重力」で、球形の物体がほかの質量へ及ぼす重力の効果を計算するとき、その質量が中心の1点に集まっているとみなせたことを思い出そう。同様に、銀河内のある恒星の軌道より内側にある全質量を、天の川銀河の円盤の中心に集まっているものとして扱える。その質量は、見える恒星を数え、さらに中心のブラックホールの質量も含めることで推定できる。

But when we do that, we find the orbital speed of the stars is far too fast to be caused by that amount of matter. Astronomer Vera Rubin disovered this phenomenon in the 1970s while researching the movement of spiral galaxies. She observed that their outermost reaches were rotating as quickly as their centers, which was not the predicted outcome. Figure 13.33 shows the orbital velocities of stars as a function of their distance from the center of the Milky Way. The blue line represents the velocities we would expect from our estimates of the mass, whereas the green curve is what we get from direct measurements. Rubin calculated that the rotational velocity of galaxies should have been enough to cause them to fly apart, unless there was a significant discrepancy between their observable matter and their actual matter. This became known as the galaxy rotation problem. Rubin proposed that massive amounts of unseen matter must be present in and around the galaxies for the rotation speeds to occur. Furthermore, the velocity profile does not follow what we expect from the observed distribution of visible stars. Not only is the estimate of the total mass inconsistent with the data, but the expected distribution is inconsistent as well. Rubin’s 1978 discovery provided much more concrete and widespread evidence of dark matter, a term Fritz Zwicky coined in 1933 when he observed a similar anomaly while examining a galaxy cluster.

英語のヒント

しかし、そのように計算すると、恒星の公転の速さは、その量の物質によって生じるには速すぎることが分かる。天文学者ヴェラ・ルービンは、1970年代に渦巻銀河の運動を研究する中でこの現象を発見した。銀河の最も外側が中心部と同じくらい速く回っており、予測と違っていたのである。図13.33は、天の川銀河の中心からの距離に対する恒星の公転速度を示す。青線は質量の推定から予想される速度、緑線は直接測定で得られる速度である。ルービンの計算によれば、銀河の観測できる物質と実際の物質との間に大きな食い違いがない限り、その回転速度では銀河はばらばらに飛び散るはずだった。これは銀河の回転問題として知られるようになった。ルービンは、その回転速度が生じるためには、銀河の内部と周囲に大量の見えない物質が存在しなければならないと提案した。さらに、速度の分布も、見える恒星の観測された分布から予想される形には従わない。全質量の推定がデータと合わないだけでなく、予想される分布も一致しない。ルービンの1978年の発見は、暗黒物質について、はるかに具体的で広範な証拠をもたらした。暗黒物質という用語は、1933年、銀河団を調べていて同様の異常を観測したフリッツ・ツビッキーが作ったものである。

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Figure 13.33図 13.33

The blue curve shows the expected orbital velocity of stars in the Milky Way based upon the visible stars we can see. The green curve shows that the actually velocities are higher, suggesting additional matter that cannot be seen. (credit: modification of work by Matthew Newby)

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青い曲線は、見えている恒星に基づいて予想した、天の川銀河内の恒星の公転速度を示す。緑の曲線は、実際の速度がそれより大きいことを示し、見えない物質がさらに存在することを示唆する。（クレジット：Matthew Newbyの作品を改変）

There are two prevailing ideas of what this matter could be—WIMPs and MACHOs. WIMPs stands for weakly interacting massive particles. These particles (neutrinos are one example) interact very weakly with ordinary matter and, hence, are very difficult to detect directly. MACHOs stands for massive compact halo objects, which are composed of ordinary baryonic matter, such as neutrons and protons. There are unresolved issues with both of these ideas, and far more research will be needed to solve the mystery.

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この物質の正体については、WIMPとMACHOという二つの有力な考えがある。WIMPは、弱く相互作用する大質量粒子の略称である。こうした粒子（ニュートリノが一例）は通常の物質と非常に弱くしか相互作用しないため、直接検出するのが難しい。MACHOは、大質量コンパクト・ハロー天体の略称で、中性子や陽子などの通常のバリオン物質から成る。どちらの考えにも未解決の問題があり、謎を解くには、さらに多くの研究が必要になる。

Summaryまとめ

According to the theory of general relativity, gravity is the result of distortions in space-time created by mass and energy.
英語のヒント
一般相対性理論によれば、重力は質量とエネルギーが生む時空のゆがみの結果である。
The principle of equivalence states that that both mass and acceleration distort space-time and are indistinguishable in comparable circumstances.
英語のヒント
等価原理によれば、質量と加速度はともに時空をゆがめ、対応する状況では区別できない。
Black holes, the result of gravitational collapse, are singularities with an event horizon that is proportional to their mass.
英語のヒント
重力崩壊の結果であるブラックホールは、その質量に比例する事象の地平面を持つ特異点である。
Evidence for the existence of black holes is still circumstantial, but the amount of that evidence is overwhelming.
英語のヒント
ブラックホールの存在を示す証拠は、なお状況証拠だが、その量は圧倒的である。

Key Equations重要な式

Newton’s law of gravitation ニュートンの万有引力の法則	${\vec{F}}_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} {\hat{r}}_{12}$
Acceleration due to gravity at the surface of Earth 地表での重力加速度	$g = G \frac{M_{E}}{r_{}^{2}}$
Gravitational potential energy beyond Earth 地球から離れた場所での重力による位置エネルギー	$U = - \frac{G M_{E} m}{r}$
Conservation of energy エネルギー保存	$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{G M m}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{G M m}{r_{2}}$
Escape velocity 脱出速度	$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ $v_{脱出} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$
Orbital speed 公転速度	$v_{orbit} = \sqrt{\frac{{GM}_{E}}{r}}$ $v_{軌道} = \sqrt{\frac{{GM}_{E}}{r}}$
Orbital period 公転周期	$Τ = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{{GM}_{E}}}$
Energy in circular orbit 円軌道でのエネルギー	$E = K + U = - \frac{G m M_{E}}{2 r}$
Conic sections 円錐曲線	$\frac{α}{r} = 1 + e cos θ$
Kepler’s third law ケプラーの第3法則	$Τ^{2} = \frac{4 π^{2}}{G M} a^{3}$
Schwarzschild radius シュワルツシルト半径	$R_{S} = \frac{2 G M}{c^{2}}$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 55–56練習問題 55–56

Exercise 55問題 55

The principle of equivalence states that all experiments done in a lab in a uniform gravitational field cannot be distinguished from those done in a lab that is not in a gravitational field but is uniformly accelerating. For the latter case, consider what happens to a laser beam at some height shot perfectly horizontally to the floor, across the accelerating lab. (View this from a nonaccelerating frame outside the lab.) Relative to the height of the laser, where will the laser beam hit the far wall? What does this say about the effect of a gravitational field on light? Does the fact that light has no mass make any difference to the argument?

英語のヒント

等価原理によれば、一様な重力場内の実験室で行うすべての実験は、重力場のない場所で一様に加速する実験室で行う実験と区別できない。後者の場合について、ある高さから床と完全に平行に、加速する実験室を横切るようにレーザー光を放つとどうなるか考えよ。（実験室の外側の、加速していない基準系から見る。）レーザーを放った高さに対し、光は向こう側の壁のどの位置に当たるか。このことから、重力場が光に及ぼす効果について何が言えるか。光に質量がないという事実は、この議論に何か違いをもたらすか。

Solution解き方

The laser beam will hit the far wall at a lower elevation than it left, as the floor is accelerating upward. Relative to the lab, the laser beam “falls.” So we would expect this to happen in a gravitational field. The mass of light, or even an object with mass, is not relevant.

英語のヒント

床は上向きに加速しているため、レーザー光は放たれた位置より低い高さで向こう側の壁に当たる。実験室に対しては、レーザー光は「落下する」。したがって、重力場でも同じことが起こると予想される。光の質量は関係せず、質量を持つ物体の場合でも同じである。

Exercise 56問題 56

As a person approaches the Schwarzschild radius of a black hole, outside observers see all the processes of that person (their clocks, their heart rate, etc.) slowing down, and coming to a halt as they reach the Schwarzschild radius. (The person falling into the black hole sees their own processes unaffected.) But the speed of light is the same everywhere for all observers. What does this say about space as you approach the black hole?

英語のヒント

人がブラックホールのシュワルツシルト半径へ近づくと、外部の観測者には、その人のあらゆる過程（時計、心拍など）が遅くなり、シュワルツシルト半径に達すると止まるように見える。（ブラックホールへ落ちる本人には、自分の過程は影響を受けていないように見える。）しかし、光の速さは、どの場所でも、どの観測者にとっても同じである。このことから、ブラックホールへ近づくときの空間について何が言えるか。