第13章万有引力

Conservation of Energyエネルギー保存

In Potential Energy and Conservation of Energy, we described how to apply conservation of energy for systems with conservative forces. We were able to solve many problems, particularly those involving gravity, more simply using conservation of energy. Those principles and problem-solving strategies apply equally well here. The only change is to place the new expression for potential energy into the conservation of energy equation,

E = K_{1} + U_{1} = K_{2} + U_{2}

英語のヒント

「位置エネルギーとエネルギー保存」では、保存力が働く系にエネルギー保存を適用する方法を説明した。エネルギー保存を利用すると、多くの問題、とくに重力に関わる問題をより簡単に解けた。その原理と問題を解く方針は、ここでも同じように使える。唯一の変更点は、エネルギー保存の式

E = K_{1} + U_{1} = K_{2} + U_{2}

に、位置エネルギーの新しい式を入れることである。

Note that we use M, rather than

M_{E}

, as a reminder that we are not restricted to problems involving Earth. However, we still assume that

m < < M

. (For problems in which this is not true, we need to include the kinetic energy of both masses and use conservation of momentum to relate the velocities to each other. But the principle remains the same.)

英語のヒント

M_{E}

の代わりにMを用いているのは、地球に関する問題だけに限定されないことを意識するためである。ただし、

m < < M

という仮定は引き続き用いる。この仮定が成り立たない問題では、両方の質量の運動エネルギーを含め、運動量保存を使って両者の速度を関係付ける必要がある。しかし、原理自体は変わらない。

Escape velocity脱出速度

Escape velocity is often defined to be the minimum initial velocity of an object that is required to escape the surface of a planet (or any large body like a moon) and never return. As usual, we assume no energy lost to an atmosphere, should there be any.

英語のヒント

脱出速度は、惑星（または月のような大きな天体）の表面を離れて二度と戻らないために必要な、物体の最小の初速度として定義されることが多い。いつものように、大気がある場合でも、それによるエネルギーの損失はないものとする。

Consider the case where an object is launched from the surface of a planet with an initial velocity directed away from the planet. With the minimum velocity needed to escape, the object would just come to rest infinitely far away, that is, the object gives up the last of its kinetic energy just as it reaches infinity, where the force of gravity becomes zero. Since

U \to 0 as r \to \infty

, this means the total energy is zero. Thus, we find the escape velocity from the surface of an astronomical body of mass M and radius R by setting the total energy equal to zero. At the surface of the body, the object is located at

r_{1} = R

and it has escape velocity

v_{1} = v_{esc}

. It reaches

r_{2} = \infty

with velocity

v_{2} = 0

. Substituting into Equation 13.5, we have

英語のヒント

惑星の表面から、惑星を離れる向きの初速度で物体を打ち出す場合を考える。脱出に必要な最小の速度であれば、物体は無限に遠い場所でちょうど静止する。つまり、重力がゼロになる無限遠へ達したところで、残っていた最後の運動エネルギーを失う。

U \to 0 のとき r \to \infty

なので、これは全エネルギーがゼロであることを意味する。したがって、質量M、半径Rの天体表面からの脱出速度は、全エネルギーをゼロと置いて求められる。天体表面では物体の位置は

r_{1} = R

、速度は脱出速度

v_{1} = v_{esc}

である。物体は速度

v_{2} = 0

で

r_{2} = \infty

へ達する。エネルギー保存の式に代入すると、次のようになる。

\frac{1}{2} m v_{esc}^{2} - \frac{G M m}{R} = \frac{1}{2} m 0^{2} - \frac{G M m}{\infty} = 0 .

Solving for the escape velocity,

英語のヒント

脱出速度について解くと、次のようになる。

Notice that m has canceled out of the equation. The escape velocity is the same for all objects, regardless of mass. Also, we are not restricted to the surface of the planet; R can be any starting point beyond the surface of the planet.

英語のヒント

mが式から消えたことに注目しよう。脱出速度は質量にかかわらず、すべての物体で同じである。また、惑星表面に限る必要もない。Rは、惑星表面より外にある任意の出発位置までの距離としてよい。

Example 13.7例題 13.7

Escape from Earth地球からの脱出

What is the escape speed from the surface of Earth? Assume there is no energy loss from air resistance. Compare this to the escape speed from the Sun, starting from Earth’s orbit.

英語のヒント

地表からの脱出の速さはいくらか。空気抵抗によるエネルギー損失はないものとする。この値を、地球の軌道から出発して太陽から脱出する速さと比較せよ。

Strategy方針

We use Equation 13.6, clearly defining the values of R and M. To escape Earth, we need the mass and radius of Earth. For escaping the Sun, we need the mass of the Sun, and the orbital distance between Earth and the Sun.

英語のヒント

RとMの値を明確に定めて、脱出速度の式を用いる。地球から脱出するには地球の質量と半径が必要である。太陽から脱出するには、太陽の質量と、地球の軌道の太陽からの距離が必要になる。

Solution解答

Substituting the values for Earth’s mass and radius directly into Equation 13.6, we obtain

英語のヒント

地球の質量と半径を脱出速度の式へ直接代入すると、次のようになる。

v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{\frac{2 (6.67 \times 10^{−11} N \cdot m^{2} {/kg}^{2}) (5.96 \times 10^{24} kg)}{6.37 \times 10^{6} m}} = 1.12 \times 10^{4} m/s.

That is about 11 km/s or 25,000 mph. To escape the Sun, starting from Earth’s orbit, we use

R = R_{ES} = 1.50 \times 10^{11} m

and

M_{Sun} = 1.99 \times 10^{30} kg

. The result is

v_{esc} = 4.21 \times 10^{4} m/s

or about 42 km/s.

英語のヒント

これは約11 km/s、すなわち25,000 mphである。地球の軌道から出発して太陽から脱出する場合には、

R = R_{ES} = 1.50 \times 10^{11} m

と

M_{Sun} = 1.99 \times 10^{30} kg

を用いる。結果は

v_{esc} = 4.21 \times 10^{4} m/s

、すなわち約42 km/sとなる。

Significance考察

The speed needed to escape the Sun (leave the solar system) is nearly four times the escape speed from Earth’s surface. But there is help in both cases. Earth is rotating, at a speed of nearly 460 m/s at the equator, and we can use that velocity to help escape, or to achieve orbit. For this reason, many commercial space companies maintain launch facilities near the equator. To escape the Sun, there is even more help. Earth revolves about the Sun at a speed of approximately 30 km/s. By launching in the direction that Earth is moving, we need only an additional 12 km/s. The use of gravitational assist from other planets, essentially a gravity slingshot technique, allows space probes to reach even greater speeds. In this slingshot technique, the vehicle approaches the planet and is accelerated by the planet’s gravitational attraction. It has its greatest speed at the closest point of approach, although it accelerates opposite to the motion in equal measure as it moves away. But relative to the planet, the vehicle’s speed far before the approach, and long after, are the same. If the directions are chosen correctly, that can result in a significant increase (or decrease if needed) in the vehicle’s speed relative to the rest of the solar system.

英語のヒント

太陽から脱出する（太陽系を離れる）ための速さは、地表からの脱出の速さのほぼ4倍である。しかし、どちらの場合にも助けになるものがある。地球は自転しており、赤道での速さは約460 m/sである。この速度を利用して脱出や軌道への投入を助けられる。そのため、多くの民間宇宙企業は赤道付近に打ち上げ施設を置いている。太陽から脱出する場合には、さらに大きな助けがある。地球は約30 km/sで太陽を公転している。地球が動く向きへ打ち上げれば、追加で必要な速さは12 km/sにすぎない。ほかの惑星からの重力アシスト、つまり重力によるスリングショット技術を使えば、宇宙探査機はさらに大きな速さに達することができる。このスリングショットでは、宇宙機は惑星へ近づき、その引力で加速される。最接近点で速さが最大になり、その後は離れるにつれて、同じ程度だけ運動と反対向きに加速される。そのため惑星に対しては、接近するはるか前と、通過して十分に時間がたった後の速さは等しい。方向を適切に選べば、太陽系のほかの部分に対する宇宙機の速さを大きく増加させられる。必要なら減少させることもできる。

Additional Resources追加教材

If we send a probe out of the solar system starting from Earth’s surface, do we only have to escape the Sun?

英語のヒント

地表から出発する探査機を太陽系外へ送る場合、太陽から脱出することだけを考えればよいか。

Solution解き方

The probe must overcome both the gravitational pull of Earth and the Sun. In the second calculation of our example, we found the speed necessary to escape the Sun from a distance of Earth’s orbit, not from Earth itself. The proper way to find this value is to start with the energy equation, Equation 13.5, in which you would include a potential energy term for both Earth and the Sun.

英語のヒント

探査機は地球と太陽の両方の引力に打ち勝たなければならない。例題の2番目の計算では、地球そのものからではなく、地球の軌道の距離から太陽を脱出するために必要な速さを求めた。正しくこの値を求めるには、エネルギー保存の式を出発点とし、地球と太陽それぞれによる位置エネルギーの項を含める。