第13章万有引力

Energy and gravitationally bound objectsエネルギーと重力で束縛された物体

As stated previously, escape velocity can be defined as the initial velocity of an object that can escape the surface of a moon or planet. More generally, it is the speed at any position such that the total energy is zero. If the total energy is zero or greater, the object escapes. If the total energy is negative, the object cannot escape. Let’s see why that is the case.

英語のヒント

前に述べたように、脱出速度は月や惑星の表面から脱出できる物体の初速度として定義できる。より一般には、任意の位置で、全エネルギーをゼロにする速さである。全エネルギーがゼロ以上であれば物体は脱出し、負であれば脱出できない。その理由を見てみよう。

As noted earlier, we see that

U \to 0 as r \to \infty

. If the total energy is zero, then as m reaches a value of r that approaches infinity, U becomes zero and so must the kinetic energy. Hence, m comes to rest infinitely far away from M. It has “just escaped” M. If the total energy is positive, then kinetic energy remains at

r = \infty

and certainly m does not return. When the total energy is zero or greater, then we say that m is not gravitationally bound to M.

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先に見たように、

U \to 0 のとき r \to \infty

である。全エネルギーがゼロなら、mが無限大に近づくrの位置へ達するにつれて、Uがゼロになり、運動エネルギーもゼロにならなければならない。したがって、mはMから無限に遠い場所で静止する。Mから「ちょうど脱出した」ことになる。全エネルギーが正なら、

r = \infty

でも運動エネルギーが残るので、mが戻ることはない。全エネルギーがゼロ以上のとき、mはMに重力で束縛されていないという。

On the other hand, if the total energy is negative, then the kinetic energy must reach zero at some finite value of r, where U is negative and equal to the total energy. The object can never exceed this finite distance from M, since to do so would require the kinetic energy to become negative, which is not possible. We say m is gravitationally bound to M.

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これに対して全エネルギーが負なら、rがある有限の値に達したところで運動エネルギーはゼロにならなければならない。そこではUは負で、全エネルギーに等しい。物体はMからこの有限の距離を超えることは決してできない。それには運動エネルギーが負になる必要があり、それは不可能だからである。このとき、mはMに重力で束縛されているという。

We have simplified this discussion by assuming that the object was headed directly away from the planet. What is remarkable is that the result applies for any velocity. Energy is a scalar quantity and hence Equation 13.5 is a scalar equation—the direction of the velocity plays no role in conservation of energy. It is possible to have a gravitationally bound system where the masses do not “fall together,” but maintain an orbital motion about each other.

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ここまでは、物体が惑星からまっすぐ遠ざかるものと仮定して、議論を単純にした。注目すべきことに、この結果はどのような速度にも当てはまる。エネルギーはスカラー量なので、エネルギー保存の式もスカラーの式である。速度の向きはエネルギー保存には関与しない。重力で束縛されていても、質量どうしが「一緒に落ちて衝突する」ことなく、互いのまわりの軌道運動を続ける系が存在できる。

We have one important final observation. Earlier we stated that if the total energy is zero or greater, the object escapes. Strictly speaking, Equation 13.5 and Equation 13.6 apply for point objects. They apply to finite-sized, spherically symmetric objects as well, provided that the value for r in Equation 13.5 is always greater than the sum of the radii of the two objects. If r becomes less than this sum, then the objects collide. (Even for greater values of r, but near the sum of the radii, gravitational tidal forces could create significant effects if both objects are planet sized. We examine tidal effects in Tidal Forces.) Neither positive nor negative total energy precludes finite-sized masses from colliding. For real objects, direction is important.

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最後に、重要な点を一つ挙げる。先ほどは、全エネルギーがゼロ以上なら物体は脱出すると述べた。厳密には、エネルギー保存の式と脱出速度の式は質点に適用される。有限の大きさを持つ球対称の物体にも使えるが、エネルギー保存の式に現れるrが、常に二物体の半径の和より大きいことが条件となる。rがその和より小さくなれば、物体どうしは衝突する。両者が惑星ほどの大きさの場合、rが半径の和より大きくても、その和に近いところでは重力の潮汐力が大きな影響を生むことがある。潮汐の効果は「潮汐力」で調べる。全エネルギーが正でも負でも、有限の大きさを持つ物体の衝突が妨げられるわけではない。実在の物体では、方向が重要である。

Example 13.8例題 13.8

How Far Can an Object Escape?物体はどこまで遠ざかれるか

Let’s consider the preceding example again, where we calculated the escape speed from Earth and the Sun, starting from Earth’s orbit. We noted that Earth already has an orbital speed of 30 km/s. As we see in the next section, that is the tangential speed needed to stay in circular orbit. If an object had this speed at the distance of Earth’s orbit, but was headed directly away from the Sun, how far would it travel before coming to rest? Ignore the gravitational effects of any other bodies.

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地球の軌道から出発する場合について、地球と太陽からの脱出の速さを計算した前の例題を、もう一度考えよう。地球にはすでに30 km/sの公転の速さがあることを述べた。次の節で見るように、これは円軌道を保つのに必要な接線方向の速さである。地球の軌道と同じ距離にある物体が、この速さを持ちながら太陽からまっすぐ遠ざかっていたら、静止するまでにどこまで進むか。ほかの天体の重力の効果は無視せよ。

Strategy方針

The object has initial kinetic and potential energies that we can calculate. When its speed reaches zero, it is at its maximum distance from the Sun. We use Equation 13.5, conservation of energy, to find the distance at which kinetic energy is zero.

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物体の初めの運動エネルギーと位置エネルギーは計算できる。速さがゼロになったとき、太陽からの距離は最大となる。エネルギー保存の式を用いて、運動エネルギーがゼロになる距離を求める。

Solution解答

The initial position of the object is Earth’s radius of orbit and the intial speed is given as 30 km/s. The final velocity is zero, so we can solve for the distance at that point from the conservation of energy equation. Using

R_{ES} = 1.50 \times 10^{11} m

and

M_{Sun} = 1.99 \times 10^{30} kg

, we have

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初めの物体の位置は地球の軌道半径のところで、初速度は30 km/sと与えられている。最後の速度はゼロなので、エネルギー保存の式から、そのときの距離を求められる。

R_{ES} = 1.50 \times 10^{11} m

と

M_{Sun} = 1.99 \times 10^{30} kg

を用いると、次のようになる。

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{G M m}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{G M m}{r_{2}} \\ \frac{1}{2} m (3.0 \times 10^{3} m/s)^{2} - \frac{(6.67 \times 10^{−11} N \cdot {m/kg}^{2}) (1.99 \times 10^{30} kg) m}{1.50 \times 10^{11} m} \\ = \frac{1}{2} m 0^{2} - \frac{(6.67 \times 10^{−11} N \cdot {m/kg}^{2}) (1.99 \times 10^{30} kg) m}{r_{2}} \end{matrix}

where the mass m cancels. Solving for

r_{2}

we get

r_{2} = 3.0 \times 10^{11} m

. Note that this is twice the initial distance from the Sun and takes us past Mars’s orbit, but not quite to the asteroid belt.

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ここで質量mは約分で消える。

r_{2}

について解くと、

r_{2} = 3.0 \times 10^{11} m

となる。これは太陽からの初めの距離の2倍で、火星の軌道を越えるが、小惑星帯には届かない。

Significance考察

The object in this case reached a distance exactly twice the initial orbital distance. We will see the reason for this in the next section when we calculate the speed for circular orbits.

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この場合、物体は初めの軌道距離のちょうど2倍の距離に達した。その理由は、次の節で円軌道の速さを計算すると分かる。

Assume you are in a spacecraft in orbit about the Sun at Earth’s orbit, but far away from Earth (so that it can be ignored). How could you redirect your tangential velocity to the radial direction such that you could then pass by Mars’s orbit? What would be required to change just the direction of the velocity?

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地球と同じ軌道で太陽を公転する宇宙機に乗っているが、地球からは十分に遠く、地球の影響は無視できるものとする。接線方向の速度を半径方向へ向け直し、火星の軌道を通り越せるようにするには、どうすればよいか。速度の向きだけを変えるには、何が必要か。

Solution解き方

You change the direction of your velocity with a force that is perpendicular to the velocity at all points. In effect, you must constantly adjust the thrusters, creating a centripetal force until your momentum changes from tangential to radial. A simple momentum vector diagram shows that the net change in momentum is

\sqrt{2}

times the magnitude of momentum itself. This turns out to be a very inefficient way to reach Mars. We discuss the most efficient way in Kepler’s Laws of Planetary Motion.

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運動のすべての点で速度に垂直な力を加えれば、速度の向きを変えられる。実際には、運動量の向きが接線方向から半径方向へ変わるまで、スラスターを絶えず調節して向心力を生み出さなければならない。単純な運動量のベクトル図から、運動量の正味の変化は、運動量そのものの大きさの

\sqrt{2}

倍となる。これは火星へ行く方法としては非常に効率が悪い。最も効率のよい方法は「ケプラーの惑星運動の法則」で扱う。