第13章万有引力

13.4 Satellite Orbits and Energy13.4　衛星の軌道とエネルギー

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Describe the mechanism for circular orbits
英語のヒント
円軌道が生じる仕組みを説明する。
Find the orbital periods and speeds of satellites
英語のヒント
衛星の軌道周期と速さを求める。
Determine whether objects are gravitationally bound
英語のヒント
物体が重力で束縛されているかどうかを判断する。

The Moon orbits Earth. In turn, Earth and the other planets orbit the Sun. The space directly above our atmosphere is filled with artificial satellites in orbit. We examine the simplest of these orbits, the circular orbit, to understand the relationship between the speed and period of planets and satellites in relation to their positions and the bodies that they orbit.

英語のヒント

月は地球を公転する。その地球やほかの惑星は、さらに太陽を公転している。大気圏のすぐ上の空間は、軌道を回る人工衛星で満たされている。これらの軌道のうち最も単純な円軌道を調べ、惑星や衛星の速さと周期が、その位置や、公転の中心となる天体とどのように関係するかを理解する。

Circular Orbits円軌道

As noted at the beginning of this chapter, Nicolaus Copernicus first suggested that Earth and all other planets orbit the Sun in circles. He further noted that orbital periods increased with distance from the Sun. Later analysis by Kepler showed that these orbits are actually ellipses, but the orbits of most planets in the solar system are nearly circular. Earth’s orbital distance from the Sun varies a mere 2%. The exception is the eccentric orbit of Mercury, whose orbital distance varies nearly 40%.

英語のヒント

この章の冒頭で述べたように、ニコラウス・コペルニクスは最初に、地球とほかのすべての惑星が円を描いて太陽を公転すると提案した。さらに、太陽からの距離が増すほど公転周期が長くなることに着目した。後のケプラーの分析により、軌道は実際には楕円だと分かったが、太陽系のほとんどの惑星の軌道は円に近い。地球の軌道の太陽からの距離は、わずか2%しか変化しない。例外は離心率の大きい水星の軌道で、距離はほぼ40%変化する。

Determining the orbital speed and orbital period of a satellite is much easier for circular orbits, so we make that assumption in the derivation that follows. As we described in the previous section, an object with negative total energy is gravitationally bound and therefore is in orbit. Our computation for the special case of circular orbits will confirm this. We focus on objects orbiting Earth, but our results can be generalized for other cases.

英語のヒント

衛星の軌道の速さと周期を求めることは、円軌道ならはるかに簡単なので、以下の導出では円軌道を仮定する。前の節で説明したように、全エネルギーが負の物体は重力で束縛され、したがって軌道を回っている。円軌道という特別な場合について計算し、このことを確認する。地球を回る物体に注目するが、結果はほかの場合にも一般化できる。

Consider a satellite of mass m in a circular orbit about Earth at distance r from the center of Earth (Figure 13.13). It has centripetal acceleration directed toward the center of Earth. Earth’s gravity is the only force acting, so Newton’s second law gives

英語のヒント

地球の中心から距離rの円軌道を回る、質量mの衛星を考える（図13.13）。衛星には地球の中心へ向かう向心加速度がある。働く力は地球の重力だけなので、ニュートンの第2法則から次の式が得られる。

\frac{G m M_{E}}{r^{2}} = m a_{c} = \frac{m v_{orbit}^{2}}{r} .

\frac{G m M_{E}}{r^{2}} = m a_{c} = \frac{m v_{軌道}^{2}}{r}

半径rで地球を回る衛星の図。軌道は地球を中心とする青い円である。衛星の位置から地球の中心へ向かう赤い矢印にF、軌道の接線方向の緑色の矢印にvと記されている。 — Figure 13.13図 13.13
A satellite of mass m orbiting at radius r from the center of Earth. The gravitational force supplies the centripetal acceleration.
英語のヒント
地球の中心から半径rの軌道を回る質量mの衛星。重力が向心加速度を生み出す。

We solve for the speed of the orbit, noting that m cancels, to get the orbital speed

英語のヒント

mが約分で消えることに注意して速さについて解くと、軌道の速さは次のようになる。

Consistent with what we saw in Equation 13.2 and Equation 13.6, m does not appear in Equation 13.7. The value of g, the escape velocity, and orbital velocity depend only upon the distance from the center of the planet, and not upon the mass of the object being acted upon. Notice the similarity in the equations for

v_{orbit}

and

v_{esc}

. The escape velocity is exactly

\sqrt{2}

times greater, about 40%, than the orbital velocity. This comparison was noted in Example 13.7, and it is true for a satellite at any radius.

英語のヒント

重力加速度の式と脱出速度の式で見たことと同じく、軌道の速さの式にもmは現れない。g、脱出速度、軌道の速度はいずれも惑星の中心からの距離だけに依存し、力を受ける物体の質量には依存しない。

v_{軌道}

と

v_{esc}

の式が似ていることに注目しよう。脱出速度は軌道の速度のちょうど

\sqrt{2}

倍、すなわち約40%大きい。この比較は例題13.7でも述べたが、どの半径の軌道を回る衛星にも当てはまる。

To find the period of a circular orbit, we note that the satellite travels the circumference of the orbit

2 π r

in one period T. Using the definition of speed, we have

v_{orbit} = 2 π r / T

. We substitute this into Equation 13.7 and rearrange to get

英語のヒント

円軌道の周期を求めるには、衛星が1周期Tの間に軌道の円周

2 π r

を進むことに着目する。速さの定義から

v_{軌道} = 2 π r / T

である。これを軌道の速さの式へ代入し、変形すると次のようになる。

We see in the next section that this represents Kepler’s third law for the case of circular orbits. It also confirms Copernicus’s observation that the period of a planet increases with increasing distance from the Sun. We need only replace

M_{E}

with

M_{Sun}

in Equation 13.8.

英語のヒント

次の節で見るように、これは円軌道の場合のケプラーの第3法則を表している。また、太陽からの距離が増すほど惑星の周期が長くなるという、コペルニクスの観察も確かめられる。周期の式で

M_{E}

を

M_{Sun}

に置き換えるだけでよい。

We conclude this section by returning to our earlier discussion about astronauts in orbit appearing to be weightless, as if they were free-falling towards Earth. In fact, they are in free fall. Consider the trajectories shown in Figure 13.14. (This figure is based on a drawing by Newton in his Principia and also appeared earlier in Motion in Two and Three Dimensions.) All the trajectories shown that hit the surface of Earth have less than orbital velocity. The astronauts would accelerate toward Earth along the noncircular paths shown and feel weightless. (Astronauts actually train for life in orbit by riding in airplanes that free fall for 30 seconds at a time.) But with the correct orbital velocity, Earth’s surface curves away from them at exactly the same rate as they fall toward Earth. Of course, staying the same distance from the surface is the point of a circular orbit.

英語のヒント

この節の最後に、軌道上の宇宙飛行士が、地球へ自由落下しているかのように無重量に見えるという先の議論へ戻ろう。実際、彼らは自由落下している。図13.14の軌跡を考える。この図はニュートンの『プリンキピア』の図に基づき、「2次元と3次元の運動」にもすでに登場した。図のうち地表に衝突する軌跡は、すべて軌道の速度より小さい速度の場合である。宇宙飛行士は、図の円形でない軌跡に沿って地球へ向かって加速し、無重量を感じる。実際に宇宙飛行士は、1回に30秒間自由落下する飛行機に乗って、軌道上の生活の訓練を行う。しかし、適切な軌道の速度を持てば、地表は、宇宙飛行士が地球へ落下するのとまったく同じ割合で下方へ曲がって遠ざかっていく。もちろん、地表からの距離を一定に保つことこそ、円軌道の要点である。

北極に高い塔が立つ地球の図。塔の上部から右向きの水平な矢印が出ており、v0と記されている。同じ上部から始まる5本の軌跡がある。1本目は塔の近くの地表に達し、2本目はもっと遠く、3本目はさらに遠くで地表に達する。4本目は赤道で地表に衝突し、そこで地表に接する。5本目は地球と同心の円となる。 — Figure 13.14図 13.14
A circular orbit is the result of choosing a tangential velocity such that Earth’s surface curves away at the same rate as the object falls toward Earth.
英語のヒント
物体が地球へ落下するのと同じ割合で、地表が曲がって遠ざかるような接線方向の速度を選ぶと、円軌道が生じる。

We can summarize our discussion of orbiting satellites in the following Problem-Solving Strategy.

英語のヒント

軌道を回る衛星についての議論を、次の問題を解く方針にまとめられる。

Orbits and Conservation of Energy軌道とエネルギー保存

Determine whether the equations for speed, energy, or period are valid for the problem at hand. If not, start with the first principles we used to derive those equations.
英語のヒント
速さ、エネルギー、周期の式が、いま扱っている問題に適用できるかを判断する。適用できなければ、それらの式を導くために使った基本原理に戻る。
To start from first principles, draw a free-body diagram and apply Newton’s law of gravitation and Newton’s second law.
英語のヒント
基本原理から始めるには、自由物体図を描き、ニュートンの万有引力の法則とニュートンの第2法則を適用する。
Along with the definitions for speed and energy, apply Newton’s second law of motion to the bodies of interest.
英語のヒント
速さとエネルギーの定義を用いるとともに、対象の物体にニュートンの運動の第2法則を適用する。

Example 13.9例題 13.9

The International Space Station国際宇宙ステーション

Determine the orbital speed and period for the International Space Station (ISS).

英語のヒント

国際宇宙ステーション（ISS）の軌道の速さと周期を求めよ。

Strategy方針

Since the ISS orbits

4.00 \times 10^{2} km

above Earth’s surface, the radius at which it orbits is

R_{E} + 4.00 \times 10^{2} km

. We use Equation 13.7 and Equation 13.8 to find the orbital speed and period, respectively.

英語のヒント

ISSは地表から

4.00 \times 10^{2} km

上空を周回しているので、軌道半径は

R_{E} + 4.00 \times 10^{2} km

である。軌道の速さの式と周期の式を用いて、それぞれ軌道の速さと周期を求める。

Solution解答

Using Equation 13.7, the orbital velocity is

英語のヒント

軌道の速さの式を使うと、軌道の速度は次のようになる。

v_{orbit} = \sqrt{\frac{G M_{E}}{r}} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{−11} N \cdot m^{2} {/kg}^{2} (5.96 \times 10^{24} kg)}{(6.36 \times 10^{6} + 4.00 \times 10^{5} m)}} = 7.67 \times 10^{3} m/s

v_{軌道} = \sqrt{\frac{G M_{E}}{r}} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{−11} N \cdot m^{2} {/kg}^{2} (5.96 \times 10^{24} kg)}{(6.36 \times 10^{6} + 4.00 \times 10^{5} m)}} = 7.67 \times 10^{3} m/s

which is about 17,000 mph. Using Equation 13.8, the period is

英語のヒント

これは約17,000 mphである。周期の式を使うと、周期は次のようになる。

T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M_{E}}} = 2 π \sqrt{\frac{{(6.37 \times 10^{6} + 4.00 \times 10^{5} m)}^{3}}{(6.67 \times 10^{−11} N \cdot m^{2} {/kg}^{2}) (5.96 \times 10^{24} kg)}} = 5.55 \times 10^{3} s

which is just over 90 minutes.

英語のヒント

これは90分を少し超える。

Significance考察

The ISS is considered to be in low Earth orbit (LEO). Nearly all satellites are in LEO, including most weather satellites. GPS satellites, at about 20,000 km, are considered medium Earth orbit. The higher the orbit, the more energy is required to put it there and the more energy is needed to reach it for repairs. Of particular interest are the satellites in geosynchronous orbit. All fixed satellite dishes on the ground pointing toward the sky, such as TV reception dishes, are pointed toward geosynchronous satellites. These satellites are placed at the exact distance, and just above the equator, such that their period of orbit is 1 day. They remain in a fixed position relative to Earth’s surface.

英語のヒント

ISSは地球低軌道（LEO）にあるとされる。ほとんどの気象衛星を含め、人工衛星のほぼすべてはLEOにある。約20,000 km上空のGPS衛星は、地球中軌道にあるとされる。軌道が高いほど、そこへ衛星を入れるのにも、修理のために到達するのにも、多くのエネルギーが必要になる。とくに関心があるのは、対地同期軌道の衛星である。テレビ受信用など、地上で空の一定方向へ固定して向けた衛星アンテナは、すべて対地同期衛星へ向いている。これらの衛星は、赤道の真上で、公転周期が1日となるちょうどの距離に配置される。そのため、地表に対して一定の位置にとどまる。

By what factor must the radius change to reduce the orbital velocity of a satellite by one-half? By what factor would this change the period?

英語のヒント

衛星の軌道の速度を半分にするには、半径を何倍に変える必要があるか。その変更で、周期は何倍になるか。

Solution解き方

In Equation 13.7, the radius appears in the denominator inside the square root. So the radius must increase by a factor of 4, to decrease the orbital velocity by a factor of 2. The circumference of the orbit has also increased by this factor of 4, and so with half the orbital velocity, the period must be 8 times longer. That can also be seen directly from Equation 13.8.

英語のヒント

軌道の速さの式では、半径は平方根の中の分母にある。したがって、軌道の速度を2分の1にするには、半径を4倍にしなければならない。軌道の円周も4倍になり、速度は半分になるので、周期は8倍になる。このことは周期の式からも直接分かる。

Example 13.10例題 13.10

Determining the Mass of Earth地球の質量を求める

Determine the mass of Earth from the orbit of the Moon.

英語のヒント

月の軌道から地球の質量を求めよ。

Strategy方針

We use Equation 13.8, solve for

M_{E}

, and substitute for the period and radius of the orbit. The radius and period of the Moon’s orbit was measured with reasonable accuracy thousands of years ago. From the astronomical data in Appendix D, the period of the Moon is 27.3 days

= 2.36 \times 10^{6} s

, and the average distance between the centers of Earth and the Moon is 384,000 km.

英語のヒント

周期の式を

M_{E}

について解き、軌道の周期と半径を代入する。月の軌道の半径と周期は、何千年も前にかなりの正確さで測定されていた。付録Dの天文データによれば、月の周期は27.3日

= 2.36 \times 10^{6} s

、地球と月の中心間の平均距離は384,000 kmである。

Solution解答

Solving for

M_{E}

英語のヒント

M_{E}

について解くと、次のようになる。

\begin{matrix} T & = & 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M_{E}}} \\ M_{E} & = & \frac{4 π^{2} r^{3}}{G Τ^{2}} = \frac{4 π^{2} {(3.84 \times 10^{8} m)}^{3}}{(6.67 \times 10^{−11} N \cdot m^{2} {/kg}^{2}) {(2.36 \times 10^{6} s)}^{2}} = 6.01 \times 10^{24} kg . \end{matrix}

Significance考察

Compare this to the value of

5.96 \times 10^{24} kg

that we obtained in Example 13.5, using the value of g at the surface of Earth. Although these values are very close (~0.8%), both calculations use average values. The value of g varies from the equator to the poles by approximately 0.5%. But the Moon has an elliptical orbit in which the value of r varies just over 10%. (The apparent size of the full Moon actually varies by about this amount, but it is difficult to notice through casual observation as the time from one extreme to the other is many months.)

英語のヒント

この値を、例題13.5で地表のgを使って求めた

5.96 \times 10^{24} kg

と比較しよう。両者は非常に近い（差は約0.8%）が、どちらの計算も平均値を使っている。gは赤道から極までに約0.5%変わる。一方、月の軌道は楕円で、rの値は10%を少し超えて変化する。満月の見かけの大きさも実際にこの程度変化するが、一方の極値からもう一方までに何か月もかかるため、何気なく観察するだけでは気付きにくい。

There is another consideration to this last calculation of

M_{E}

. We derived Equation 13.8 assuming that the satellite orbits around the center of the astronomical body at the same radius used in the expression for the gravitational force between them. What assumption is made to justify this? Earth is about 81 times more massive than the Moon. Does the Moon orbit about the exact center of Earth?

英語のヒント

最後に行った

M_{E}

の計算には、もう一つ考慮すべき点がある。周期の式を導いたとき、衛星は、万有引力の式で両者の距離として用いたのと同じ半径で、天体の中心を公転すると仮定した。この仮定を正当化するには、どのような前提が必要か。地球の質量は月の約81倍である。月は本当に地球の中心そのもののまわりを公転しているか。

Solution解き方

The assumption is that orbiting object is much less massive than the body it is orbiting. This is not really justified in the case of the Moon and Earth. Both Earth and the Moon orbit about their common center of mass. We tackle this issue in the next example.

英語のヒント

仮定は、公転する物体の質量が、その公転の中心となる天体よりはるかに小さいということである。月と地球の場合、この仮定が十分に正当化されているとはいえない。地球も月も、共通の重心のまわりを公転している。次の例題でこの問題に取り組む。

Example 13.11例題 13.11

Galactic Speed and Period銀河の速さと周期

Let’s revisit Example 13.2. Assume that the Milky Way and Andromeda galaxies are in a circular orbit about each other. What would be the velocity of each and how long would their orbital period be? Assume the mass of each is 8 × 10¹¹ solar masses and their centers are separated by 2.5 million light years.

英語のヒント

例題13.2をもう一度考えよう。天の川銀河とアンドロメダ銀河が、互いのまわりを円軌道で公転していると仮定する。それぞれの速度と公転周期はいくらになるか。各銀河の質量を8 × 10¹¹太陽質量、中心間の距離を250万光年とする。

Strategy方針

We cannot use Equation 13.7 and Equation 13.8 directly because they were derived assuming that the object of mass m orbited about the center of a much larger planet of mass M. We determined the gravitational force in Example 13.2 using Newton’s law of universal gravitation. We can use Newton’s second law, applied to the centripetal acceleration of either galaxy, to determine their tangential speed. From that result we can determine the period of the orbit.

英語のヒント

軌道の速さの式と周期の式は、そのままでは使えない。これらは、質量mの物体が、それよりはるかに大きい質量Mの惑星の中心を回るとして導いた式だからである。例題13.2では、ニュートンの万有引力の法則を用いて両銀河の間の引力を求めた。どちらか一方の銀河の向心加速度にニュートンの第2法則を適用すれば、接線方向の速さを求められる。その結果から公転周期も求められる。

Solution解答

In Example 13.2, we found the force between the galaxies to be

英語のヒント

例題13.2では、銀河間の力は次のように求まった。

F_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = (6.67 \times 10^{−11} N \cdot m^{2} {/kg}^{2}) \frac{{[(800 \times 10^{9}) (2.0 \times 10^{30} kg)]}^{2}}{{[(2.5 \times 10^{6}) (9.5 \times 10^{15} m)]}^{2}} = 3.0 \times 10^{29} N

and that the acceleration of each galaxy is

英語のヒント

また、各銀河の加速度は次のように求まった。

a = \frac{F}{m} = \frac{3.0 \times 10^{29} N}{(800 \times 10^{9}) (2.0 \times 10^{30} kg)} = 1.9 \times 10^{−13} {m/s}^{2} .

Since the galaxies are in a circular orbit, they have centripetal acceleration. If we ignore the effect of other galaxies, then, as we learned in Linear Momentum and Collisions and Fixed-Axis Rotation, the centers of mass of the two galaxies remain fixed. Hence, the galaxies must orbit about this common center of mass. For equal masses, the center of mass is exactly half way between them. So the radius of the orbit,

r_{orbit}

, is not the same as the distance between the galaxies, but one-half that value, or 1.25 million light-years. These two different values are shown in Figure 13.15.

英語のヒント

銀河は円軌道にあるので向心加速度を持つ。ほかの銀河の影響を無視すれば、「運動量と衝突」および「固定軸のまわりの回転」で学んだように、二つの銀河の重心は固定されたままである。したがって、両者はこの共通の重心のまわりを公転しなければならない。質量が等しければ、重心は両者のちょうど中間にある。軌道半径

r_{軌道}

は銀河間距離とは異なり、その半分の125万光年となる。図13.15に、この二つの異なる距離を示す。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 13.15図 13.15

The distance between two galaxies, which determines the gravitational force between them, is r, and is different from

r_{orbit}

, which is the radius of orbit for each. For equal masses,

r_{orbit} = r / 2

. (credit: modification of work by Marc Van Norden)

英語のヒント

両銀河の間の重力を決める距離rは、各銀河の軌道半径

r_{軌道}

とは異なる。質量が等しい場合には、

r_{軌道} = r / 2

である。（出典：Marc Van Nordenの作品を改変）

Using the expression for centripetal acceleration, we have

英語のヒント

向心加速度の式を用いると、次のようになる。

\begin{matrix} a_{c} & = & \frac{v_{orbit}^{2}}{r_{orbit}} \\ 1.9 \times 10^{−13} {m/s}^{2} & = & \frac{v_{orbit}^{2}}{(1.25 \times 10^{6}) (9.5 \times 10^{15} m)} . \end{matrix}

\begin{matrix} a_{c} & = & \frac{v_{軌道}^{2}}{r_{軌道}} \\ 1.9 \times 10^{−13} {m/s}^{2} & = & \frac{v_{軌道}^{2}}{(1.25 \times 10^{6}) (9.5 \times 10^{15} m)} . \end{matrix}

Solving for the orbit velocity, we have

v_{orbit} = 47 km/s

. Finally, we can determine the period of the orbit directly from

T = 2 π r / v_{orbit}

, to find that the period is

T = 1.6 \times 10^{18} s

, about 5 × 10¹⁰ years.

英語のヒント

軌道の速度について解くと、

v_{軌道} = 47 km/s

となる。最後に、

T = 2 π r / v_{軌道}

から周期を直接求めると、

T = 1.6 \times 10^{18} s

、すなわち約5 × 10¹⁰年となる。

Significance考察

The orbital speed of 47 km/s might seem high at first. But this speed is comparable to the escape speed from the Sun, which we calculated in an earlier example. To give even more perspective, this period is nearly four times longer than the time that the Universe has been in existence.

英語のヒント

軌道の速さ47 km/sは、初めは大きく思えるかもしれない。しかし、この速さは、先の例題で求めた太陽からの脱出の速さと同程度である。さらに規模をつかむためにいうと、この周期は、宇宙が存在してきた時間のほぼ4倍である。

In fact, the present relative motion of these two galaxies is such that they are expected to collide in about 4 × 10⁹ years. Although the density of stars in each galaxy makes a direct collision of any two stars unlikely, such a collision will have a dramatic effect on the shape of the galaxies. Examples of such collisions are well known in astronomy.

英語のヒント

実際には、二つの銀河の現在の相対運動から、約4 × 10⁹年後に衝突すると予想される。各銀河の恒星密度から考えて、二つの恒星が直接衝突する可能性は低いが、銀河どうしの衝突は銀河の形に劇的な影響を与える。このような衝突の例は、天文学でよく知られている。

Galaxies are not single objects. How does the gravitational force of one galaxy exerted on the “closer” stars of the other galaxy compare to those farther away? What effect would this have on the shape of the galaxies themselves?

英語のヒント

銀河は一個の物体ではない。一方の銀河が、他方の銀河の「近い側」の恒星に及ぼす重力は、遠い側の恒星に及ぼす力と比べてどうか。この違いは、銀河そのものの形にどのような影響を与えるか。

Solution解き方

The stars on the “inside” of each galaxy will be closer to the other galaxy and hence will feel a greater gravitational force than those on the outside. Consequently, they will have a greater acceleration. Even without this force difference, the inside stars would be orbiting at a smaller radius, and, hence, there would develop an elongation or stretching of each galaxy. The force difference only increases this effect.

英語のヒント

各銀河の「内側」の恒星は相手の銀河に近いので、外側の恒星より大きな重力を受ける。したがって加速度も大きくなる。この力の違いがなくても、内側の恒星はより小さい半径の軌道を回るので、それぞれの銀河に伸長、すなわち引き伸ばしが生じる。力の違いは、その効果をさらに大きくする。

Additional Resources追加教材

See the Sloan Digital Sky Survey page for more information on colliding galaxies.

英語のヒント

衝突する銀河について詳しくは、スローン・デジタル・スカイ・サーベイのページを参照せよ。

Engage the Phet simulation below to move the Sun, Earth, Moon, and space station to see the effects on their gravitational forces and orbital paths. Visualize the sizes and distances between different heavenly bodies, and turn off gravity to see what would happen without it.

英語のヒント

下のPhETシミュレーションを操作し、太陽、地球、月、宇宙ステーションを動かして、重力や軌道がどう変わるか調べよう。異なる天体の大きさや距離を可視化し、重力をオフにして、重力がなければ何が起こるかも見てみよう。

https://openstax.org/l/21gravityorbits

第13章万有引力

13.4 Satellite Orbits and Energy13.4 衛星の軌道とエネルギー

Learning Objectives学習目標

Circular Orbits円軌道

The International Space Station国際宇宙ステーション

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

Determining the Mass of Earth地球の質量を求める

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

Galactic Speed and Period銀河の速さと周期

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

13.4 Satellite Orbits and Energy13.4　衛星の軌道とエネルギー