第14章流体力学

Velocity measurement速度の測定

Figure 14.32 shows two devices that apply Bernoulli’s principle to measure fluid velocity. The manometer in part (a) is connected to two tubes that are small enough not to appreciably disturb the flow. The tube facing the oncoming fluid creates a dead spot having zero velocity (

v_{1} = 0

) in front of it, while fluid passing the other tube has velocity

v_{2}

. This means that Bernoulli’s principle as stated in

英語のヒント

図14.32は、ベルヌーイの原理を使って流速を測る二つの装置である。(a)の液柱圧力計は、流れをほとんど乱さないほど細い二つの管につながっている。流れに正面を向けた管は、その前に速度ゼロ（

v_{1} = 0

）のよどみ点を作る。一方、もう一つの管のそばを通る流体は速度

v_{2}

を持つ。したがって、ベルヌーイの原理の式

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

becomes

英語のヒント

は、次の形になる。

p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

Thus pressure

p_{2}

over the second opening is reduced by

\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

, so the fluid in the manometer rises by h on the side connected to the second opening, where

英語のヒント

したがって、第2の開口部の圧力

p_{2}

は

\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

だけ低下する。そのため、液柱圧力計では、第2の開口部へつながる側の液面がhだけ上がり、次が成り立つ。

h \propto \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

(Recall that the symbol

\propto

means “proportional to.”) Solving for

v_{2}

, we see that

英語のヒント

（記号

\propto

は「比例する」を意味することを思い出そう。）

v_{2}

について解くと、次のことが分かる。

v_{2} \propto \sqrt{h} .

Part (b) shows a version of this device that is in common use for measuring various fluid velocities; such devices are frequently used as air-speed indicators in aircraft.

英語のヒント

(b)は、さまざまな流体の速度測定に広く使われる、この装置の一形式を示す。この種の装置は、航空機の対気速度計としてよく使われる。

(a) 流れを乱さないほど細く、近接した二つの管へ液柱圧力計をつないだ図。管1は流れへ向いた先端が開き、管2は側面に開口がある。(b) 一方の管1を、もう一方の管2の中へ入れた構造の図。管1は流れへ向く先端が開き、管2は側面に開口がある。 — Figure 14.32図 14.32
Measurement of fluid speed based on Bernoulli’s principle. (a) A manometer is connected to two tubes that are close together and small enough not to disturb the flow. Tube 1 is open at the end facing the flow. A dead spot having zero speed is created there. Tube 2 has an opening on the side, so the fluid has a speed v across the opening; thus, pressure there drops. The difference in pressure at the manometer is $\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ , so h is proportional to $\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .$ (b) This type of velocity measuring device is a Prandtl tube, also known as a pitot tube.
英語のヒント
ベルヌーイの原理による流速測定。(a) 液柱圧力計を、流れを乱さないほど細く、近接した二つの管へつなぐ。管1は流れへ向いた先端が開き、そこに速さゼロのよどみ点ができる。管2は側面に開口があり、流体は速さvで開口を横切るので、その圧力は低下する。圧力計の圧力差は $\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ で、hは $\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ に比例する。(b) この速度測定装置はプラントル管、またはピトー管と呼ばれる。

A fire hose消火ホース

All preceding applications of Bernoulli’s equation involved simplifying conditions, such as constant height or constant pressure. The next example is a more general application of Bernoulli’s equation in which pressure, velocity, and height all change.

英語のヒント

ここまでのベルヌーイの式の応用には、高さ一定、圧力一定などの簡単にする条件があった。次の例は、圧力、速度、高さがすべて変わる、より一般的な応用である。

Example 14.7例題 14.7

Calculating Pressure: A Fire Hose Nozzle圧力の計算：消火ホースのノズル

Fire hoses used in major structural fires have an inside diameter of 6.40 cm (Figure 14.33). Suppose such a hose carries a flow of 40.0 L/s, starting at a gauge pressure of

1.62 \times 10^{6} {N/m}^{2}

. The hose rises up 10.0 m along a ladder to a nozzle having an inside diameter of 3.00 cm. What is the pressure in the nozzle?

英語のヒント

大きな建物火災で使う消火ホースの内径は6.40 cmである（図14.33）。このホースが、初めのゲージ圧

1.62 \times 10^{6} {N/m}^{2}

で、40.0 L/sの水を運ぶとする。ホースは、はしごに沿って10.0 m上がり、内径3.00 cmのノズルにつながる。ノズル内の圧力はいくらか。

はしごを伸ばした消防車の図。はしごの上の消防士がホースで消火している。ホースからの水流は地面に平行で、高さ10 mにある。 — Figure 14.33図 14.33
Pressure in the nozzle of this fire hose is less than at ground level for two reasons: The water has to go uphill to get to the nozzle, and speed increases in the nozzle. In spite of its lowered pressure, the water can exert a large force on anything it strikes by virtue of its kinetic energy. Pressure in the water stream becomes equal to atmospheric pressure once it emerges into the air.
英語のヒント
この消火ホースのノズル内の圧力が地上より低い理由は二つある。水がノズルへ届くには上へ移動しなければならず、さらにノズル内では速さが増すためである。圧力が下がっても、水は運動エネルギーによって、ぶつかった物体へ大きな力を及ぼせる。水流の圧力は、空気中へ出ると大気圧に等しくなる。

Strategy方針

We must use Bernoulli’s equation to solve for the pressure, since depth is not constant.

英語のヒント

深さが一定でないので、圧力を求めるにはベルヌーイの式を使わなければならない。

Solution解答

Bernoulli’s equation is

英語のヒント

ベルヌーイの式は、次のとおりである。

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

where subscripts 1 and 2 refer to the initial conditions at ground level and the final conditions inside the nozzle, respectively. We must first find the speeds

v_{1}

and

v_{2}

. Since

Q = A_{1} v_{1}

, we get

英語のヒント

添字1と2は、それぞれ地上での初めの状態と、ノズル内での最後の状態を示す。まず速さ

v_{1}

と

v_{2}

を求める。

Q = A_{1} v_{1}

なので、次の式を得る。

v_{1} = \frac{Q}{A_{1}} = \frac{40.0 \times 10^{−3} m^{3} / s}{π {(3.20 \times 10^{−2} m)}^{2}} = 12.4 m/s .

Similarly, we find

英語のヒント

同様に、次の値を得る。

v_{2} = 56.6 m/s .

This rather large speed is helpful in reaching the fire. Now, taking

h_{1}

to be zero, we solve Bernoulli’s equation for

p_{2}

英語のヒント

このかなり大きな速さは、水を火まで届かせるのに役立つ。次に、

h_{1}

をゼロとし、ベルヌーイの式を

p_{2}

について解く。

p_{2} = p_{1} + \frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) - ρ g h_{2} .

Substituting known values yields

英語のヒント

既知の値を代入すると、次のようになる。

\begin{matrix} p_{2} & = 1.62 \times 10^{6} {N/m}^{2} + \frac{1}{2} (1000 {kg/m}^{3}) [{(12.4 m/s)}^{2} - {(56.6 m/s)}^{2}] \\ - (1000 {kg/m}^{3}) (9.80 {m/s}^{2}) (10.0 m) \\ = –2.9 kPa \approx 0 kPa (when compared to air pressure). \end{matrix}

\begin{matrix} p_{2} & = 1.62 \times 10^{6} {N/m}^{2} + \frac{1}{2} (1000 {kg/m}^{3}) [{(12.4 m/s)}^{2} - {(56.6 m/s)}^{2}] \\ - (1000 {kg/m}^{3}) (9.80 {m/s}^{2}) (10.0 m) \\ = –2.9 kPa \approx 0 kPa（大気圧を基準にした値）。 \end{matrix}

Significance考察

This value is a gauge pressure, since the initial pressure was given as a gauge pressure. Thus, the nozzle pressure equals atmospheric pressure because the water exits into the atmosphere without changes in its conditions.

英語のヒント

初めの圧力がゲージ圧で与えられたので、この値もゲージ圧である。水は条件を変えずに大気中へ出るため、ノズルでの圧力は大気圧に等しい。

Summaryまとめ

Bernoulli’s equation states that the sum on each side of the following equation is constant, or the same at any two points in an incompressible frictionless fluid:
英語のヒント
ベルヌーイの式は、非圧縮性で摩擦のない流体について、次の式の各辺の和が一定、すなわち任意の二点で同じであることを述べる。

$p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} .$
Bernoulli’s principle is Bernoulli’s equation applied to situations in which the height of the fluid is constant. The terms involving depth (or height h) subtract out, yielding
英語のヒント
ベルヌーイの原理は、流体の高さが一定の場合にベルヌーイの式を適用したものである。深さ、または高さhを含む項が相殺され、次の式を得る。

$p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .$
Bernoulli’s principle has many applications, including entrainment and velocity measurement.
英語のヒント
ベルヌーイの原理には、巻き込みや速度測定など、多くの応用がある。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 64–77練習問題 64–77

Exercise 64問題 64

You can squirt water from a garden hose a considerably greater distance by partially covering the opening with your thumb. Explain how this works.

英語のヒント

庭用ホースの口を親指で一部ふさぐと、水をずっと遠くへ飛ばせる。その仕組みを説明せよ。

Exercise 65問題 65

Water is shot nearly vertically upward in a decorative fountain and the stream is observed to broaden as it rises. Conversely, a stream of water falling straight down from a faucet narrows. Explain why.

英語のヒント

飾りの噴水からほぼ鉛直上向きに水を噴き出すと、上昇につれて水流が太くなる。逆に、蛇口から真下へ落ちる水流は細くなる。なぜか説明せよ。

Solution解き方

The mass of water that enters a cross-sectional area must equal the amount that leaves. From the continuity equation, we know that the density times the area times the velocity must remain constant. Since the density of the water does not change, the velocity times the cross-sectional area entering a region must equal the cross-sectional area times the velocity leaving the region. Since the velocity of the fountain stream decreases as it rises due to gravity, the area must increase. Since the velocity of the faucet stream speeds up as it falls, the area must decrease.

英語のヒント

ある断面へ入る水の質量は、出る質量と等しくなければならない。連続の式から、密度、面積、速度の積は一定と分かる。水の密度は変わらないので、ある領域へ入る流れの速度と断面積の積は、出る流れの断面積と速度の積に等しい。噴水の流速は、重力によって上昇とともに下がるため、面積は増えなければならない。蛇口の水流は、落下とともに速くなるため、面積は減らなければならない。

Exercise 66問題 66

Look back to Figure 14.29. Answer the following two questions. Why is

p_{o}

less than atmospheric? Why is

p_{o}

greater than

p_{i}

英語のヒント

図14.29を振り返り、次の二問に答えよ。なぜ

p_{o}

は大気圧より低いのか。なぜ

p_{o}

は

p_{i}

より大きいのか。

Exercise 67問題 67

A tube with a narrow segment designed to enhance entrainment is called a Venturi, such as shown below. Venturis are very commonly used in carburetors and aspirators. How does this structure bolster entrainment?

英語のヒント

下の図のように、巻き込みを強めるための狭い部分を持つ管を、ベンチュリ管という。ベンチュリ管はキャブレターやアスピレーターで広く使われる。この構造は、巻き込みをどう強めるか。

管の途中にベンチュリー管の絞り部と表示された狭い部分がある。絞り部には小さな接続口も設けられ、そこから吸い込まれる流体が主流に入る。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

When the tube narrows, the fluid is forced to speed up, thanks to the continuity equation and the work done on the fluid. Where the tube is narrow, the pressure decreases. This means that the entrained fluid will be pushed into the narrow area.

英語のヒント

管が細くなると、連続の式と流体に加えられる仕事により、流体は加速される。管の狭い部分では圧力が下がる。そのため、吸い込まれる流体はその狭い部分へ押し込まれる。

Exercise 68問題 68

Some chimney pipes have a T-shape, with a crosspiece on top that helps draw up gases whenever there is even a slight breeze. Explain how this works in terms of Bernoulli’s principle.

英語のヒント

煙突の先に横管を付けたT字形の煙突では、わずかなそよ風でも気体を上へ引き出しやすくなるものがある。ベルヌーイの原理を用いて、この仕組みを説明せよ。

Exercise 69問題 69

Is there a limit to the height to which an entrainment device can raise a fluid? Explain your answer.

英語のヒント

吸引装置が流体を持ち上げられる高さには、限界があるか。理由を説明せよ。

Solution解き方

The work done by pressure can be used to increase the kinetic energy and to gain potential energy. As the height becomes larger, there is less energy left to give to kinetic energy. Eventually, there will be a maximum height that cannot be overcome.

英語のヒント

圧力による仕事は、運動エネルギーの増加と位置エネルギーの増加に使える。高さが増すにつれて、運動エネルギーへ回せるエネルギーは少なくなる。やがて、それ以上は越えられない最大の高さに達する。

Exercise 70問題 70

Why is it preferable for airplanes to take off into the wind rather than with the wind?

英語のヒント

飛行機は、追い風より向かい風に向かって離陸するほうがよいのはなぜか。

Exercise 71問題 71

Roofs are sometimes pushed off vertically during a tropical cyclone, and buildings sometimes explode outward when hit by a tornado. Use Bernoulli’s principle to explain these phenomena.

英語のヒント

熱帯低気圧の際に屋根が真上へ押し飛ばされたり、竜巻に襲われた建物が外側へ破裂したりすることがある。ベルヌーイの原理を用いて、これらの現象を説明せよ。

Solution解き方

Because of the speed of the air outside the building, the pressure outside the house decreases. The greater pressure inside the building can essentially blow off the roof or cause the building to explode.

英語のヒント

建物の外では空気が速く動くため、家の外側の圧力が下がる。建物の内側のほうが圧力が大きくなり、屋根を吹き飛ばしたり、建物を破裂させたりすることがある。

Exercise 72問題 72

It is dangerous to stand close to railroad tracks when a rapidly moving commuter train passes. Explain why atmospheric pressure would push you toward the moving train.

英語のヒント

通勤列車が高速で通過するとき、線路の近くに立つのは危険である。大気圧によって、走る列車のほうへ押される理由を説明せよ。

Exercise 73問題 73

Water pressure inside a hose nozzle can be less than atmospheric pressure due to the Bernoulli effect. Explain in terms of energy how the water can emerge from the nozzle against the opposing atmospheric pressure.

英語のヒント

ベルヌーイ効果により、ホースのノズル内の水圧が大気圧より低くなることがある。それでも、水が逆向きに働く大気圧に逆らってノズルから出られるのはなぜか。エネルギーを使って説明せよ。

Solution解き方

The air inside the hose has kinetic energy due to its motion. The kinetic energy can be used to do work against the pressure difference.

英語のヒント

ホース内の空気は、運動しているため運動エネルギーを持つ。その運動エネルギーを、圧力差に逆らう仕事に使える。

Exercise 74問題 74

David rolled down the window on his car while driving on the freeway. An empty plastic bag on the floor promptly flew out the window. Explain why.

英語のヒント

デイビッドが高速道路を運転しながら車の窓を下げると、床にあった空のポリ袋がすぐに窓から飛び出した。理由を説明せよ。

Exercise 75問題 75

Based on Bernoulli’s equation, what are three forms of energy in a fluid? (Note that these forms are conservative, unlike heat transfer and other dissipative forms not included in Bernoulli’s equation.)

英語のヒント

ベルヌーイの式に現れる、流体の三つの形のエネルギーは何か。（これらは、ベルヌーイの式に含まれない熱伝達などの散逸的な形とは異なり、保存的な形であることに注意せよ。）

Solution解き方

Potential energy due to position, kinetic energy due to velocity, and the work done by a pressure difference.

英語のヒント

位置による位置エネルギー、速度による運動エネルギー、圧力差によって加えられる仕事である。

Exercise 76問題 76

The old rubber boot shown below has two leaks. To what maximum height can the water squirt from Leak 1? How does the velocity of water emerging from Leak 2 differ from that of Leak 1? Explain your responses in terms of energy.

英語のヒント

次の図の古いゴム長靴には、二つの水漏れがある。漏れ口1から噴き出す水は、最大でどの高さまで達するか。漏れ口2から出る水の速度は、漏れ口1の場合とどう異なるか。エネルギーを用いて答えを説明せよ。

同じ高さに二つの漏れ口がある長靴の図。漏れ口1は上を向き、漏れ口2は水平方向を向く。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 77問題 77

英語のヒント

Solution解き方

The water has kinetic energy due to its motion. This energy can be converted into work against the difference in pressure.

英語のヒント

水は運動しているため運動エネルギーを持つ。このエネルギーを、圧力差に逆らう仕事に変換できる。