第14章流体力学

Summaryまとめ

Laminar flow is characterized by smooth flow of the fluid in layers that do not mix.
英語のヒント
層流の特徴は、各層が混ざらず滑らかに流れることである。
Turbulence is characterized by eddies and swirls that mix layers of fluid together.
英語のヒント
乱流の特徴は、渦によって流体の層どうしが混ざることである。
Fluid viscosity $η$ is due to friction within a fluid.
英語のヒント
流体の粘性 $η$ は、流体内の摩擦による。
Flow is proportional to pressure difference and inversely proportional to resistance:
英語のヒント
流量は圧力差に比例し、抵抗に反比例する。

$Q = \frac{p - 2 p_{1}}{R} .$
The pressure drop caused by flow and resistance is given by $p_{2} - p_{1} = R Q$ .
英語のヒント
流れと抵抗による圧力低下は、 $p_{2} - p_{1} = R Q$ で与えられる。
The Reynolds number $N_{R}$ can reveal whether flow is laminar or turbulent. It is $N_{R} = \frac{2 ρ v r}{η}$ .
英語のヒント
レイノルズ数 $N_{R}$ から、流れが層流か乱流かを判定できる。その式は $N_{R} = \frac{2 ρ v r}{η}$ である。
For $N_{R}$ below about 2000, flow is laminar. For $N_{R}$ above about 3000, flow is turbulent. For values of $N_{R}$ between 2000 and 3000, it may be either or both.
英語のヒント
$N_{R}$ が約2000未満なら層流、 $N_{R}$ が約3000を超えると乱流となる。 $N_{R}$ が2000から3000の範囲では、そのどちらか、あるいは両方の状態を取り得る。

Key Equations重要な式

Density of a sample at constant density 密度が一定の試料の密度	$ρ = \frac{m}{V}$
Pressure 圧力	$p = \frac{F}{A}$
Pressure at a depth h in a fluid of constant density 密度が一定の流体内での深さhにおける圧力	$p = p_{0} + ρ g h$
Change of pressure with height in a constant-density fluid 密度が一定の流体内での高さによる圧力変化	$\frac{d p}{d y} = − ρ g$
Absolute pressure 絶対圧	$p_{abs} = p_{g} + p_{atm}$
Pascal’s principle パスカルの原理	$\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}$
Volume flow rate 体積流量	$Q = \frac{d V}{d t}$
Continuity equation (constant density) 連続の式（密度一定）	$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
Continuity equation (general form) 連続の式（一般形）	$ρ_{1} A_{1} v_{1} = ρ_{2} A_{2} v_{2}$
Bernoulli’s equation ベルヌーイの式	$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = constant$ $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = 一定$
Viscosity 粘性	$η = \frac{F L}{v A}$
Poiseuille’s law for resistance 抵抗についてのポアズイユの法則	$R = \frac{8 η l}{π r^{4}}$
Poiseuille’s law ポアズイユの法則	$Q = \frac{(p_{2} - p_{1}) π r^{4}}{8 η l}$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 86–90練習問題 86–90

Exercise 86問題 86

Explain why the viscosity of a liquid decreases with temperature, that is, how might an increase in temperature reduce the effects of cohesive forces in a liquid? Also explain why the viscosity of a gas increases with temperature, that is, how does increased gas temperature create more collisions between atoms and molecules?

英語のヒント

液体の粘性が温度の上昇とともに減る理由を説明せよ。すなわち、温度の上昇は、液体内の凝集力の効果をどのように弱めると考えられるか。また、気体の粘性が温度とともに増す理由も説明せよ。すなわち、気体の温度が上がると、原子や分子の衝突がどのように増えるか。

Exercise 87問題 87

When paddling a canoe upstream, it is wisest to travel as near to the shore as possible. When canoeing downstream, it is generally better to stay near the middle. Explain why.

英語のヒント

カヌーで川をさかのぼるときは、できるだけ岸の近くを進むのがよい。川を下るときは、一般に中央付近を進むほうがよい。理由を説明せよ。

Solution解き方

The water in the center of the stream is moving faster than the water near the shore due to resistance between the water and the shore and between the layers of fluid. There is also probably more turbulence near the shore, which will also slow the water down. When paddling up stream, the water pushes against the canoe, so it is better to stay near the shore to minimize the force pushing against the canoe. When moving downstream, the water pushes the canoe, increasing its velocity, so it is better to stay in the middle of the stream to maximize this effect.

英語のヒント

水と岸の間、および流体の層の間の抵抗によって、川の中央の水は岸付近の水より速く流れる。また、岸の近くでは乱流も多いと考えられ、それも流れを遅くする。上流へこぐときには水がカヌーに逆らって押すため、その力を最小にするには岸近くを進むほうがよい。下流へ進むときには、水がカヌーを押して速度を増すので、その効果を最大にするには流れの中央を進むほうがよい。

Exercise 88問題 88

Plumbing usually includes air-filled tubes near water faucets (see the following figure). Explain why they are needed and how they work.

英語のヒント

配管には、蛇口付近に空気の入った管が設けられていることが多い（次の図）。それが必要な理由と、働く仕組みを説明せよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 89問題 89

Doppler ultrasound can be used to measure the speed of blood in the body. If there is a partial constriction of an artery, where would you expect blood speed to be greatest: at or after the constriction? What are the two distinct causes of higher resistance in the constriction?

英語のヒント

ドップラー超音波法を使うと、体内の血液の速さを測れる。動脈が部分的に狭くなっている場合、血液の速さが最大になるのは狭窄部か、その先か。狭窄部で抵抗が増す二つの異なる原因は何か。

Solution解き方

You would expect the speed to be slower after the obstruction. Resistance is increased due to the reduction in size of the opening, and turbulence will be created because of the obstruction, both of which will clause the fluid to slow down.

英語のヒント

障害物の先では、速さが小さくなると考えられる。通り道が狭まることで抵抗が増し、障害物によって乱流も生じる。その両方が流体を減速させる。

Exercise 90問題 90

Sink drains often have a device such as that shown below to help speed the flow of water. How does this work?

英語のヒント

流しの排水口には、水の流れを速めるため、下図のような装置が付いていることが多い。どのような仕組みで働くか。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Problems問題

Exercises 91–103練習問題 91–103

Exercise 91問題 91

(a) Calculate the retarding force due to the viscosity of the air layer between a cart and a level air track given the following information: air temperature is

20 °C

, the cart is moving at 0.400 m/s, its surface area is

2.50 \times 10^{−2} m^{2},

and the thickness of the air layer is

6.00 \times 10^{−5} m

. (b) What is the ratio of this force to the weight of the 0.300-kg cart?

英語のヒント

(a) 台車と水平なエアトラックの間にある空気層の粘性による抵抗力を、次の情報から求めよ。空気の温度は

20 °C

、台車の速さは0.400 m/s、表面積は

2.50 \times 10^{−2} m^{2}

、空気層の厚さは

6.00 \times 10^{−5} m

である。(b) この力は、質量0.300 kgの台車の重さの何倍か。

Solution解き方

3.02 \times 10^{− 3} N

; b.

1.03 \times 10^{− 3}

3.02 \times 10^{− 3} N

；b.

1.03 \times 10^{− 3}

Exercise 92問題 92

The arterioles (small arteries) leading to an organ constrict in order to decrease flow to the organ. To shut down an organ, blood flow is reduced naturally to 1.00% of its original value. By what factor do the radii of the arterioles constrict?

英語のヒント

臓器へつながる細動脈は、その臓器への血流を減らすために収縮する。臓器の働きを止めるため、血流が自然に元の1.00%まで減少するとする。細動脈の半径は元の何倍に縮むか。

Exercise 93問題 93

A spherical particle falling at a terminal speed in a liquid must have the gravitational force balanced by the drag force and the buoyant force. The buoyant force is equal to the weight of the displaced fluid, while the drag force is assumed to be given by Stokes Law,

F_{s} = 6 π r η v .

Show that the terminal speed is given by

v = \frac{2 R^{2} g}{9 η} (ρ_{s} - ρ_{1})

, where R is the radius of the sphere,

ρ_{s}

is its density, and

ρ_{1}

is the density of the fluid, and

η

the coefficient of viscosity.

英語のヒント

球形の粒子が液体中を終端の速さで落下しているとき、重力は抵抗力と浮力によってつり合わなければならない。浮力は押しのけた流体の重さに等しく、抵抗力はストークスの法則

F_{s} = 6 π r η v

で与えられるとする。終端の速さが

v = \frac{2 R^{2} g}{9 η} (ρ_{s} - ρ_{1})

で与えられることを示せ。ここでRは球の半径、

ρ_{s}

は球の密度、

ρ_{1}

は流体の密度、

η

は粘性係数である。

Solution解き方

proof

証明

Exercise 94問題 94

Using the equation of the previous problem, find the viscosity of motor oil in which a steel ball of radius 0.8 mm falls with a terminal speed of 4.32 cm/s. The densities of the ball and the oil are 7.86 and 0.88 g/mL, respectively.

英語のヒント

前の問題の式を使い、半径0.8 mmの鋼球が終端の速さ4.32 cm/sで落下するエンジンオイルの粘性を求めよ。球と油の密度は、それぞれ7.86 g/mLと0.88 g/mLである。

Exercise 95問題 95

A skydiver will reach a terminal velocity when the air drag equals their weight. For a skydiver with a large body, turbulence is a factor at high speeds. The drag force then is approximately proportional to the square of the velocity. Taking the drag force to be

F_{D} = \frac{1}{2} ρ A v^{2},

and setting this equal to the skydiver’s weight, find the terminal speed for a person falling “spread eagle.”

英語のヒント

スカイダイバーは、空気抵抗が重さと等しくなると終端速度に達する。体が大きい場合、高速では乱流の影響がある。このとき抵抗力は、およそ速度の2乗に比例する。抵抗力を

F_{D} = \frac{1}{2} ρ A v^{2}

とし、これを体重による力に等しいとおいて、手足を大きく広げて落下する人の終端の速さを求めよ。

Solution解き方

40 m/s

Exercise 96問題 96

(a) Verify that a 19.0% decrease in laminar flow through a tube is caused by a 5.00% decrease in radius, assuming that all other factors remain constant. (b) What increase in flow is obtained from a 5.00% increase in radius, again assuming all other factors remain constant?

英語のヒント

(a) ほかの要因がすべて一定のとき、管の半径が5.00%減ると、管を通る層流の流量が19.0%減ることを確かめよ。(b) 同じくほかの要因を一定として、半径が5.00%増すと、流量はどれだけ増すか。

Exercise 97問題 97

When physicians diagnose arterial blockages, they quote the reduction in flow rate. If the flow rate in an artery has been reduced to 10.0% of its normal value by a blood clot and the average pressure difference has increased by 20.0%, by what factor has the clot reduced the radius of the artery?

英語のヒント

医師は動脈の閉塞を診断するとき、流量の減少を示す。血栓によって動脈の流量が通常の10.0%まで減り、平均圧力差が20.0%増していたとする。血栓によって動脈の半径は通常の何倍になったか。

Solution解き方

0.537 r

; The radius is reduced to 53.7% of its normal value.

英語のヒント

0.537 r

。半径は通常の53.7%まで減少する。

Exercise 98問題 98

An oil gusher shoots crude oil 25.0 m into the air through a pipe with a 0.100-m diameter. Neglecting air resistance but not the resistance of the pipe, and assuming laminar flow, calculate the pressure at the entrance of the 50.0-m-long vertical pipe. Take the density of the oil to be

900 {kg/m}^{3}

and its viscosity to be

1.00 ({N/m}^{2}) \cdot s

(or

1.00 Pa \cdot s

). Note that you must take into account the pressure due to the 50.0-m column of oil in the pipe.

英語のヒント

油井から、直径0.100 mの管を通して原油が空中へ25.0 m噴き上がる。空気抵抗は無視するが管の抵抗は無視せず、層流を仮定して、長さ50.0 mの鉛直な管の入口の圧力を求めよ。油の密度は

900 {kg/m}^{3}

、粘性は

1.00 ({N/m}^{2}) \cdot s

（または

1.00 Pa \cdot s

）とする。管内の高さ50.0 mの油柱による圧力も考慮しなければならない。

Exercise 99問題 99

Concrete is pumped from a cement mixer to the place it is being laid, instead of being carried in wheelbarrows. The flow rate is 200 L/min through a 50.0-m-long, 8.00-cm-diameter hose, and the pressure at the pump is

8.00 \times 10^{6} {N/m}^{2}

. (a) Calculate the resistance of the hose. (b) What is the viscosity of the concrete, assuming the flow is laminar? (c) How much power is being supplied, assuming the point of use is at the same level as the pump? You may neglect the power supplied to increase the concrete’s velocity.

英語のヒント

コンクリートを手押し車で運ぶ代わりに、ミキサーから打設場所へポンプで送る。長さ50.0 m、直径8.00 cmのホースを流量200 L/minで流れ、ポンプの圧力は

8.00 \times 10^{6} {N/m}^{2}

である。(a) ホースの抵抗を求めよ。(b) 層流を仮定した場合、コンクリートの粘性はいくらか。(c) 打設場所がポンプと同じ高さにあるとして、供給される仕事率はいくらか。コンクリートの速度を増すために使う仕事率は無視してよい。

Solution解き方

2.40 \times 10^{9} N \cdot {s/m}^{5}

; b.

48.3 ({N/m}^{2}) \cdot s

; c.

2.67 \times 10^{4} W

2.40 \times 10^{9} N \cdot {s/m}^{5}

；b.

48.3 ({N/m}^{2}) \cdot s

；c.

2.67 \times 10^{4} W

Exercise 100問題 100

Verify that the flow of oil is laminar for an oil gusher that shoots crude oil 25.0 m into the air through a pipe with a 0.100-m diameter. The vertical pipe is 50 m long. Take the density of the oil to be

900 {kg/m}^{3}

and its viscosity to be

1.00 ({N/m}^{2}) \cdot s

(or

1.00 Pa \cdot s

英語のヒント

直径0.100 mの管を通って原油が空中へ25.0 m噴き上がる油井について、油の流れが層流であることを確かめよ。鉛直な管の長さは50 mである。油の密度を

900 {kg/m}^{3}

、粘性を

1.00 ({N/m}^{2}) \cdot s

（または

1.00 Pa \cdot s

）とする。

Exercise 101問題 101

Calculate the Reynolds numbers for the flow of water through (a) a nozzle with a radius of 0.250 cm and (b) a garden hose with a radius of 0.900 cm, when the nozzle is attached to the hose. The flow rate through hose and nozzle is 0.500 L/s. Can the flow in either possibly be laminar?

英語のヒント

半径0.900 cmの庭用ホースに半径0.250 cmのノズルを取り付けたとき、(a) ノズル、(b) ホースを流れる水のレイノルズ数を計算せよ。ホースとノズルの流量は0.500 L/sである。どちらかの流れが層流になる可能性はあるか。

Solution解き方

a. Nozzle:

v = 25.5 \frac{m}{s}

N_{R} = 1.27 \times 10^{5} > 2000 \Rightarrow

Flow is not laminar.
b. Hose:

v = 1.96 \frac{m}{s}

N_{R} = 35,100 > 2000 \Rightarrow

Flow is not laminar.

英語のヒント

a. ノズル：

v = 25.5 \frac{m}{s}

、

N_{R} = 1.27 \times 10^{5} > 2000 \Rightarrow

。流れは層流ではない。b. ホース：

v = 1.96 \frac{m}{s}

、

N_{R} = 35,100 > 2000 \Rightarrow

。流れは層流ではない。

Exercise 102問題 102

A fire hose has an inside diameter of 6.40 cm. Suppose such a hose carries a flow of 40.0 L/s starting at a gauge pressure of

1.62 \times 10^{6} {N/m}^{2}

. The hose goes 10.0 m up a ladder to a nozzle having an inside diameter of 3.00 cm. Calculate the Reynolds numbers for flow in the fire hose and nozzle to show that the flow in each must be turbulent.

英語のヒント

消防ホースの内径は6.40 cmである。入口のゲージ圧

1.62 \times 10^{6} {N/m}^{2}

、流量40.0 L/sで水が流れるとする。ホースははしごに沿って10.0 m上り、内径3.00 cmのノズルにつながる。ホースとノズルのレイノルズ数を計算し、どちらの流れも乱流になることを示せ。

Exercise 103問題 103

At what flow rate might turbulence begin to develop in a water main with a 0.200-m diameter? Assume a

20 °C

temperature.

英語のヒント

直径0.200 mの水道本管では、どの程度の流量で乱流が発生し始めると考えられるか。温度は

20 °C

とする。

Solution解き方

3.16 \times 10^{− 4} m^{3} /s