第2章一次方程式と不等式を解く

Solve Equations That Require Simplification式の整理が必要な方程式を解く

In the previous examples, we were able to isolate the variable with just one operation. Most of the equations we encounter in algebra will take more steps to solve. Usually, we will need to simplify one or both sides of an equation before using the Subtraction or Addition Properties of Equality.

英語のヒント

これまでの例題では、1回の操作で変数だけにできた。代数で扱う方程式の多くは、解くのにさらに多くの手順を要する。通常は、等式の減法や加法の性質を使う前に、方程式の一方または両方の辺を簡単にする必要がある。

You should always simplify as much as possible before you try to isolate the variable. Remember that to simplify an expression means to do all the operations in the expression. Simplify one side of the equation at a time. Note that simplification is different from the process used to solve an equation in which we apply an operation to both sides.

英語のヒント

変数だけにしようとする前に、必ず式をできるだけ簡単にする。式を簡単にするとは、式の中の計算をすべて行うことだった。方程式の一方の辺ずつを簡単にする。これは、両辺に同じ操作を行って方程式を解く過程とは異なることに注意する。

Example 2.6例題 2.6

How to Solve Equations That Require Simplification式の整理が必要な方程式の解き方

Solve:

9 x - 5 - 8 x - 6 = 7 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

9 x - 5 - 8 x - 6 = 7

Solution解答

3列4行の表。第1列は見出し列で、各手順の番号と名前がある。第2列には詳しい指示、第3列には数式がある。最上段の左のセルには「手順1　各辺の式をできるだけ簡単にする」とある。第2セルには「加法の交換法則で項を並べ替える。同類項をまとめる。これで各辺はできるだけ簡単になったことに注目する」とある。第3セルには方程式9x−5−8x−6＝7がある。その下には、項を並べ替えた9x−8x−5−6＝7、さらにその下には、同類項をまとめたx−11＝7がある。

表の第2行。第1セルには「手順2　変数だけにする」、第2セルには「今度はxだけにする。両辺に11を足して減法を元に戻す」とある。第3セルにはx−11＋11＝7＋11があり、両辺の「＋11」は赤色で書かれている。

表の第3行。第1セルには「手順3　方程式の両辺を簡単にする」とある。第2セルは空欄。第3セルにはx＝18がある。

表の第4行、最下段。第1セルには「手順4　解を確認する」とある。第2セルは空欄。第3セルには「確認：x＝18を代入する」とある。その下に方程式9x−5−8x−6＝7がある。さらに下では、各xを赤い括弧付きの18に置き換え、9(18)−5−8(18)−6が7に等しいかを確かめている。続いて162−5−144−6、157−144−6、13−6が、それぞれ7に等しいかを確かめている。最後の行は7＝7で、隣にチェックマークがある。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.7例題 2.7

Solve:

5 (n - 4) - 4 n = −8 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

5 (n - 4) - 4 n = −8

Solution解答

We simplify both sides of the equation as much as possible before we try to isolate the variable.

英語のヒント

変数だけにしようとする前に、方程式の両辺をできるだけ簡単にする。


Distribute on the left. 左辺で分配法則を使う。
Use the Commutative Property to rearrange terms. 交換法則を使って項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Each side is as simplified as possible. Next, isolate $n$ . 各辺はできるだけ簡単になっている。次に $n$ だけにする。
Undo subtraction by using the Addition Property of Equality. 等式の加法の性質を使い、減法を元に戻す。
Add. 足す。
Check. Substitute $n = 12$ . 確認する。 $n = 12$ を代入する。
	The solution to $5 (n - 4) - 4 n = −8$ is $n = 12 .$ $5 (n - 4) - 4 n = −8$ の解は $n = 12$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.8例題 2.8

Solve:

3 (2 y - 1) - 5 y = 2 (y + 1) - 2 (y + 3) .

英語のヒント

次の方程式を解く：

3 (2 y - 1) - 5 y = 2 (y + 1) - 2 (y + 3)

Solution解答

We simplify both sides of the equation before we isolate the variable.

英語のヒント

変数だけにする前に、方程式の両辺を簡単にする。


Distribute on both sides. 両辺で分配法則を使う。
Use the Commutative Property of Addition. 加法の交換法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Each side is as simplified as possible. Next, isolate $y$ . 各辺はできるだけ簡単になっている。次に $y$ だけにする。
Undo subtraction by using the Addition Property of Equality. 等式の加法の性質を使い、減法を元に戻す。
Add. 足す。
Check. Let $y = −1$ . 確認する。 $y = −1$ とおく。
	The solution to $3 (2 y - 1) - 5 y = 2 (y + 1) - 2 (y + 3)$ is $y = −1 .$ $3 (2 y - 1) - 5 y = 2 (y + 1) - 2 (y + 3)$ の解は $y = −1$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate to an Equation and Solve方程式で表して解く

To solve applications algebraically, we will begin by translating from English sentences into equations. Our first step is to look for the word (or words) that would translate to the equals sign. Table 2.1 shows us some of the words that are commonly used.

英語のヒント

応用問題を代数で解くために、まず英文を方程式に置き換える。最初の手順は、等号に置き換えられる語を見つけることである。よく使われる語を表2.1に示す。

Table 2.1表 2.1
Equals = 等しい＝
is is equal to is the same as the result is gives was will be である、に等しい、と同じである、結果は～である、を与える、だった、になる

The steps we use to translate a sentence into an equation are listed below.

英語のヒント

文を方程式に置き換える手順を、以下に示す。

Example 2.9例題 2.9

Translate and solve: Eleven more than x is equal to 54.

英語のヒント

方程式で表して解く：xより11大きい数は54に等しい。

Solution解答

Translate. 数式で表す。
Subtract 11 from both sides. 両辺から11を引く。
Simplify. 簡単にする。
Check: Is 54 eleven more than 43? $\begin{matrix} 43 + 11 & \overset{?}{=} & 54 \\ 54 & = & 54 ✓ \end{matrix}$ 確認：54は43より11大きいか。 $\begin{matrix} 43 + 11 & \overset{?}{=} & 54 \\ 54 & = & 54 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.10例題 2.10

Translate and solve: The difference of

12 t

and

11 t

−14

英語のヒント

方程式で表して解く：

12 t

と

11 t

の差は

−14

である。

Solution解答

Translate. 数式で表す。
Simplify. 簡単にする。
Check: $\begin{matrix} 12 (−14) - 11 (−14) & \overset{?}{=} & −14 \\ −168 + 154 & \overset{?}{=} & −14 \\ −14 & = & −14 ✓ \end{matrix}$ 確認： $\begin{matrix} 12 (−14) - 11 (−14) & \overset{?}{=} & −14 \\ −168 + 154 & \overset{?}{=} & −14 \\ −14 & = & −14 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Translate and Solve Applications応用問題を方程式に表して解く

Most of the time a question that requires an algebraic solution comes out of a real life question. To begin with that question is asked in English (or the language of the person asking) and not in math symbols. Because of this, it is an important skill to be able to translate an everyday situation into algebraic language.

英語のヒント

代数による解法を必要とする問いは、たいてい実生活の問いから生まれる。最初、その問いは数学の記号ではなく、英語、あるいは質問する人の言語で示される。このため、日常の状況を代数の言葉に置き換えられることは、大切な技能である。

We will start by restating the problem in just one sentence, assign a variable, and then translate the sentence into an equation to solve. When assigning a variable, choose a letter that reminds you of what you are looking for. For example, you might use q for the number of quarters if you were solving a problem about coins.

英語のヒント

まず問題を1つの文に言い換え、変数を決め、文を方程式に置き換えて解く。変数を決めるときは、求めるものを思い出しやすい文字を選ぶ。たとえば硬貨の問題で25セント硬貨の枚数を求めるなら、qを使うとよい。

Example 2.11例題 2.11

How to Solve Translate and Solve Applications応用問題を方程式で表して解く方法

The MacIntyre family recycled newspapers for two months. The two months of newspapers weighed a total of 57 pounds. The second month, the newspapers weighed 28 pounds. How much did the newspapers weigh the first month?

英語のヒント

マッキンタイア家は2か月分の新聞をリサイクルに出した。2か月分の新聞の重さは合計57ポンドだった。2か月目の新聞は28ポンドだった。1か月目の新聞は何ポンドだったか。

Solution解答

3列4行の表。第1列は見出し列で、各手順の番号と名前がある。第2列には詳しい指示、第3列には文章と代数の式がある。最上段の第1セルには「手順1　問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる」とある。第2セルには「新聞の重さについての問題である」とある。第3セルは空欄。

第3行。第1セルには「手順3　求めるものに名前を付ける。その量を表す変数を選ぶ」、第2セルには「変数を選ぶ」、第3セルには「wを1か月目の新聞の重さとする」とある。

第4行。第1セルには「手順4　方程式で表す。重要な情報を含む1つの文で問題を言い換えると役立つことがある」とある。第2セルには「問題を言い換える。2か月目の新聞は28ポンドだと分かっている」とある。第3セルには「1か月目の新聞の重さ＋2か月目の新聞の重さ＝57ポンド。1か月目の重さ＋28＝57」とある。1行下の第2セルには「変数wを使って方程式で表す」とあり、第3セルにはw＋28＝57がある。

第5行。第1セルには「手順5　適切な代数の手順を使って方程式を解く」、第2セルには「解く」とある。第3セルには、両辺から28を引いたw＋28−28＝57−28があり、「−28」は赤色で書かれている。その下にw＝29がある。

第6行。第1セルには「手順6　答えを確かめ、筋が通っていることを確認する」、第2セルには「1か月目の重さ＋2か月目の重さは57ポンドに等しいか」とある。第3セルでは、29＋28が57に等しいかを確かめている。その下に57＝57と、隣にチェックマークがある。

最後の第7行。第1セルには「手順7　完全な文で問いに答える」、第2セルには「『2か月目の新聞は何ポンドだったか』への答えを文で書く」、第3セルには「2か月目の新聞は29ポンドだった」とある。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve an application.応用問題を解く。

Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
英語のヒント
問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
Identify what we are looking for.
英語のヒント
何を求めるのかを明らかにする。
Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
英語のヒント
求めるものに名前を付ける。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with the important information.
英語のヒント
方程式で表す。重要な情報を含む1つの文で問題を言い換えると役立つことがある。
Solve the equation using good algebra techniques.
英語のヒント
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
英語のヒント
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
英語のヒント
完全な文で問いに答える。

Example 2.12例題 2.12

Randell paid $28,675 for his new car. This was $875 less than the sticker price. What was the sticker price of the car?

英語のヒント

ランデルは新車に28,675ドル支払った。これは表示価格より875ドル安かった。この車の表示価格はいくらだったか。

Solution解答

Table 2.2表 2.2
Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	"What was the sticker price of the car?" 「車の表示価格はいくらだったか」
Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity. 手順3　求めるものに名前を付ける。その量を表す変数を選ぶ。	Let $s =$ the sticker price of the car. $s =$ 車の表示価格とする。
Step 4. Translate into an equation. Restate the problem in one sentence. 手順4　方程式で表す。問題を1つの文に言い換える。	$28,675 is $875 less than the sticker price 28,675ドルは表示価格より875ドル安い。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$$28,675 is $875 less than s$ $\begin{matrix} 28,675 & = & s - 875 \\ 28,675 + 875 & = & s - 875 + 875 \\ 29,550 & = & s \end{matrix}$ $28,675ドルは次の金額より875ドル少ない： s$ $\begin{matrix} 28,675 & = & s - 875 \\ 28,675 + 875 & = & s - 875 + 875 \\ 29,550 & = & s \end{matrix}$
Step 6. Check the answer. Is $875 less than $29,550 equal to $28,675? $\begin{matrix} \begin{matrix} 29,550 - 875 & \overset{?}{=} & 28,675 \\ 28,675 & = & 28,675 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ 手順6　答えを確かめる。29,550ドルより875ドル安い金額は、28,675ドルに等しいか。 $\begin{matrix} \begin{matrix} 29,550 - 875 & \overset{?}{=} & 28,675 \\ 28,675 & = & 28,675 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。	The sticker price of the car was $29,550. 車の表示価格は29,550ドルだった。

Try It (2)確認問題（2題）