プリンキピア

第2章一次方程式と不等式を解く

Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides両辺に変数と定数がある方程式を解く

The next example will be the first to have variables and constants on both sides of the equation. It may take several steps to solve this equation, so we need a clear and organized strategy.
英語のヒント
次の例題では、初めて変数と定数の両方が両辺にある方程式を扱う。解くのにいくつかの手順が必要になるため、明確で整理された方針が必要である。
Example 2.32例題 2.32

How to Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides両辺に変数と定数のある方程式の解き方

Solve: 7x+5=6x+2.
英語のヒント
次の方程式を解く：7x+5=6x+2

Solution解答

3列4行の表。第1列は見出し列で、各手順の番号と名前がある。第2列には詳しい指示、第3列には数式がある。最上段の左のセルには「手順1　どちらを『変数の辺』にするか決める。もう一方が『定数の辺』になる」とある。第2セルには「変数の項は7xと6xである。7は6より大きいので、左辺を『xの辺』、右辺を『定数の辺』にする」とある。第3セルには7x＋5＝6x＋2があり、左辺に赤字で「変数」、右辺に赤字で「定数」とラベルが付いている。
表の第2行。第1セルには「手順2　等式の加法または減法の性質を使って、変数の項を『変数の辺』にまとめる」とある。第2セルには「右辺は『定数の辺』なので、6xはふさわしくない場所にある。両辺から6xを引く。同類項をまとめる。これで変数は左辺だけになった」とある。第3セルには、元の式の両辺から6xを引いた7x−6x＋5＝6x−6x＋2があり、両辺の「−6x」は赤色で書かれている。その下には、同類項をまとめたx＋5＝2がある。
表の第3行。第1セルには「手順3　等式の加法または減法の性質を使って、すべての定数をもう一方の辺にまとめる」とある。第2セルには「右辺は『定数の辺』なので、5はふさわしくない場所にある。両辺から5を引く。簡単にする」とある。第3セルにはx＋5−5＝2−5があり、両辺の「−5」は赤色で書かれている。その下には答えのx＝−3がある。
表の第4行。第1セルには「手順4　等式の乗法または除法の性質を使って、変数の係数を1にする」とある。第2セルには「xの係数は1である。方程式は解けた」とある。第3セルは空欄。
表の第5行。第1セルには「手順5　確認する」、第2セルには「確認する。x＝−3とおく。簡単にする。足す」とある。第3セルには元の方程式7x＋5＝6x＋2が再びある。その下ではxに−3を代入し、7(−3)＋5と6(−3)＋2が等しいかを確かめている。両辺の「×(−3)」は赤色で書かれている。さらに下では−21＋5と−18＋2が等しいかを確かめている。最後の行は−16＝−16で、隣にチェックマークがある。
Try It (2)確認問題（2題）
We’ll list the steps below so you can easily refer to them. But we’ll call this the ‘Beginning Strategy’ because we’ll be adding some steps later in this chapter.
英語のヒント
参照しやすいよう、手順を以下にまとめる。この章の後半で手順を追加するので、ここでは「はじめの方針」と呼ぶことにする。
In Step 1, a helpful approach is to make the “variable” side the side that has the variable with the larger coefficient. This usually makes the arithmetic easier.
英語のヒント
手順1では、変数の係数が大きいほうの辺を「変数の辺」にすると役立つ。通常、そのほうが計算しやすくなる。
Example 2.33例題 2.33
Solve: 8n−4=−2n+6.
英語のヒント
次の方程式を解く：8n−4=−2n+6
Solution解答

Solution解答

In the first step, choose the variable side by comparing the coefficients of the variables on each side.
英語のヒント
最初の手順では、両辺の変数の係数を比べて「変数の辺」を選ぶ。
Since 8>−2, make the left side the “variable” side.
8>−2なので、左辺を「変数の辺」にする。
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We don’t want variable terms on the right side—add 2n to both sides to leave only constants on the right.
右辺に変数の項を残したくないので、両辺に2nを足し、右辺を定数だけにする。
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Combine like terms.
同類項をまとめる。
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We don’t want any constants on the left side, so add 4 to both sides.
左辺に定数を残したくないので、両辺に4を足す。
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Simplify.
簡単にする。
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The variable term is on the left and the constant term is on the right. To get the coefficient of n to be one, divide both sides by 10.
変数の項は左辺に、定数項は右辺にある。nの係数を1にするため、両辺を10で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Let n=1.
n=1とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 2.34例題 2.34
Solve: 7a−3=13a+7.
英語のヒント
次の方程式を解く：7a−3=13a+7

Solution解答

In the first step, choose the variable side by comparing the coefficients of the variables on each side.
英語のヒント
最初の手順では、両辺の変数の係数を比べて「変数の辺」を選ぶ。
Since 13>7, make the right side the “variable” side and the left side the “constant” side.
英語のヒント
13>7なので、右辺を「変数の辺」、左辺を「定数の辺」にする。
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Subtract 7a from both sides to remove the variable term from the left.
両辺から7aを引き、左辺から変数の項をなくす。
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Combine like terms.
同類項をまとめる。
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Subtract 7 from both sides to remove the constant from the right.
両辺から7を引き、右辺から定数をなくす。
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Simplify.
簡単にする。
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Divide both sides by 6 to make 1 the coefficient of a.
両辺を6で割り、aの係数を1にする。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Let a=−53.
a=−53とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
In the last example, we could have made the left side the “variable” side, but it would have led to a negative coefficient on the variable term. (Try it!) While we could work with the negative, there is less chance of errors when working with positives. The strategy outlined above helps avoid the negatives!
英語のヒント
前の例題では、左辺を「変数の辺」にすることもできたが、その場合、変数の項の係数は負になっていたはずである（試してみよう）。負の数でも計算できるが、正の数を使うほうが間違いを起こしにくい。上の方針は、負の数を避けるのに役立つ。
To solve an equation with fractions, we just follow the steps of our strategy to get the solution!
英語のヒント
分数を含む方程式でも、この方針の手順に従うだけで解が得られる。
Example 2.35例題 2.35
Solve: 54x+6=14x−2.
英語のヒント
次の方程式を解く：54x+6=14x−2

Solution解答

Since 54>14, make the left side the “variable” side and the right side the “constant” side.
英語のヒント
54>14なので、左辺を「変数の辺」、右辺を「定数の辺」にする。
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Subtract 14x from both sides.
両辺から14xを引く。
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Combine like terms.
同類項をまとめる。
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Subtract 6 from both sides.
両辺から6を引く。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:54x+6=14x−2Letx=−8.54(−8)+6=?14(−8)−2−10+6=?−2−2−4=−4✓
確認：54x+6=14x−2次のようにおく：x=−8.54(−8)+6=?14(−8)−2−10+6=?−2−2−4=−4✓
Try It (2)確認問題（2題）
We will use the same strategy to find the solution for an equation with decimals.
英語のヒント
小数を含む方程式の解を求めるときも、同じ方針を使う。
Example 2.36例題 2.36
Solve: 7.8x+4=5.4x−8.
英語のヒント
次の方程式を解く：7.8x+4=5.4x−8

Solution解答

Since 7.8>5.4, make the left side the “variable” side and the right side the “constant” side.
英語のヒント
7.8>5.4なので、左辺を「変数の辺」、右辺を「定数の辺」にする。
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Subtract 5.4x from both sides.
両辺から5.4xを引く。
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Combine like terms.
同類項をまとめる。
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Subtract 4 from both sides.
両辺から4を引く。
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Simplify.
簡単にする。
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Use the Division Propery of Equality.
等式の除法の性質を使う。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Let x=−5.
x=−5とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

  • Beginning Strategy for Solving an Equation with Variables and Constants on Both Sides of the Equation
    英語のヒント
    両辺に変数と定数のある方程式を解く、はじめの方針
    1. Choose which side will be the “variable” side—the other side will be the “constant” side.
      英語のヒント
      どちらを「変数の辺」にするか決める。もう一方が「定数の辺」になる。
    2. Collect the variable terms to the “variable” side of the equation, using the Addition or Subtraction Property of Equality.
      英語のヒント
      等式の加法または減法の性質を使って、変数の項を「変数の辺」にまとめる。
    3. Collect all the constants to the other side of the equation, using the Addition or Subtraction Property of Equality.
      英語のヒント
      等式の加法または減法の性質を使って、すべての定数をもう一方の辺にまとめる。
    4. Make the coefficient of the variable equal 1, using the Multiplication or Division Property of Equality.
      英語のヒント
      等式の乗法または除法の性質を使って、変数の係数を1にする。
    5. Check the solution by substituting it into the original equation.
      英語のヒント
      元の方程式に解を代入して確かめる。