第2章一次方程式と不等式を解く

2.7 Solve Linear Inequalities2.7　一次不等式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Graph inequalities on the number line
英語のヒント
不等式を数直線上に表す
Solve inequalities using the Subtraction and Addition Properties of inequality
英語のヒント
不等式の減法と加法の性質を使って不等式を解く
Solve inequalities using the Division and Multiplication Properties of inequality
英語のヒント
不等式の除法と乗法の性質を使って不等式を解く
Solve inequalities that require simplification
英語のヒント
式の整理が必要な不等式を解く
Translate to an inequality and solve
英語のヒント
不等式で表して解く

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Graph Inequalities on the Number Line不等式を数直線上に表す

Do you remember what it means for a number to be a solution to an equation? A solution of an equation is a value of a variable that makes a true statement when substituted into the equation.

英語のヒント

ある数が方程式の解であるとは、どういう意味だったか覚えているだろうか。方程式の解は、その方程式に代入すると正しい等式になる変数の値である。

What about the solution of an inequality? What number would make the inequality

x > 3

true? Are you thinking, ‘x could be 4’? That’s correct, but x could be 5 too, or 20, or even 3.001. Any number greater than 3 is a solution to the inequality

x > 3

英語のヒント

不等式の解はどうだろうか。どのような数を入れると、不等式

x > 3

が成り立つだろうか。「xは4ならよい」と考えただろうか。それは正しいが、5でも、20でも、3.001でもよい。3より大きい数は、すべて不等式

x > 3

の解である。

We show the solutions to the inequality

x > 3

on the number line by shading in all the numbers to the right of 3, to show that all numbers greater than 3 are solutions. Because the number 3 itself is not a solution, we put an open parenthesis at 3. The graph of

x > 3

is shown in Figure 2.7. Please note that the following convention is used: thick arrows point in the positive direction and thin arrows point in the negative direction.

英語のヒント

不等式

x > 3

の解を数直線上に表すには、3より右にあるすべての数に色を付ける。これにより、3より大きい数がすべて解であることを示す。3そのものは解ではないため、3の位置に開き丸括弧を置く。

x > 3

のグラフを図2.7に示す。以下では、太い矢印は正の方向、細い矢印は負の方向を指す約束を用いる。

−5から5まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x>3を表している。x＝3に丸括弧があり、そこから右へ赤い線が伸びている。 — Figure 2.7図 2.7
The inequality $x > 3$ is graphed on this number line.
英語のヒント
この数直線には、不等式 $x > 3$ が表されている。

The graph of the inequality

x \geq 3

is very much like the graph of

x > 3

, but now we need to show that 3 is a solution, too. We do that by putting a bracket at

x = 3

, as shown in Figure 2.8.

英語のヒント

不等式

x \geq 3

のグラフは

x > 3

とよく似ているが、今度は3も解であることを示す必要がある。図2.8のように、

x = 3

の位置に角括弧を置いて示す。

−5から5まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x≥3を表している。x＝3に角括弧があり、そこから右へ赤い線が伸びている。 — Figure 2.8図 2.8
The inequality $x \geq 3$ is graphed on this number line.
英語のヒント
この数直線には、不等式 $x \geq 3$ が表されている。

Notice that the open parentheses symbol, (, shows that the endpoint of the inequality is not included. The open bracket symbol, [, shows that the endpoint is included.

英語のヒント

開き丸括弧「(」は、不等式の端点を含まないことを示す。開き角括弧「[」は、端点を含むことを示す。

Example 2.66例題 2.66

Graph on the number line:

英語のヒント

数直線上に表す：

ⓐ

x \leq 1

ⓑ

x < 5

ⓒ

x > - 1

Solution解答

ⓐ $x \leq 1$
This means all numbers less than or equal to 1. We shade in all the numbers on the number line to the left of 1 and put a bracket at $x = 1$ to show that it is included.
英語のヒント
ⓐ $x \leq 1$ 。これは1以下のすべての数を意味する。数直線で1より左のすべての数に色を付け、 $x = 1$ に角括弧を置いて、その点を含むことを示す。
ⓑ $x < 5$
This means all numbers less than 5, but not including 5. We shade in all the numbers on the number line to the left of 5 and put a parenthesis at $x = 5$ to show it is not included.
英語のヒント
ⓑ $x < 5$ 。これは5より小さいすべての数を意味し、5は含まない。数直線で5より左のすべての数に色を付け、 $x = 5$ に丸括弧を置いて、その点を含まないことを示す。
ⓒ $x > - 1$
This means all numbers greater than $−1$ , but not including $−1$ . We shade in all the numbers on the number line to the right of $−1$ , then put a parenthesis at $x = −1$ to show it is not included.
英語のヒント
ⓒ $x > - 1$ 。これは $−1$ より大きいすべての数を意味し、 $−1$ は含まない。数直線で $−1$ より右のすべての数に色を付け、 $x = −1$ に丸括弧を置いて、その点を含まないことを示す。

Try It (2)確認問題（2題）

We can also represent inequalities using interval notation. As we saw above, the inequality

x > 3

means all numbers greater than 3. There is no upper end to the solution to this inequality. In interval notation, we express

x > 3

(3, \infty) .

The symbol

\infty

is read as ‘infinity’. It is not an actual number. Figure 2.9 shows both the number line and the interval notation.

英語のヒント

区間の表記を使って、不等式を表すこともできる。先ほど見たように、不等式

x > 3

は3より大きいすべての数を意味する。この不等式の解には、上の端がない。区間の表記では、

x > 3

を

(3, \infty)

と表す。記号

\infty

は「無限大」と読み、実際の数ではない。数直線と区間の表記の両方を図2.9に示す。

−5から5まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x>3を表している。x＝3に丸括弧があり、そこから右へ赤い線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(3, ∞)と書かれている。 — Figure 2.9図 2.9
The inequality $x > 3$ is graphed on this number line and written in interval notation.
英語のヒント
この数直線には不等式 $x > 3$ が表されており、区間の表記でも書かれている。

The inequality

x \leq 1

means all numbers less than or equal to 1. There is no lower end to those numbers. We write

x \leq 1

in interval notation as

(− \infty, 1]

. The symbol

− \infty

is read as ‘negative infinity’. Figure 2.10 shows both the number line and interval notation.

英語のヒント

不等式

x \leq 1

は、1以下のすべての数を意味する。これらの数には、下の端がない。区間の表記では、

x \leq 1

を

(− \infty, 1]

と書く。記号

− \infty

は「負の無限大」と読む。数直線と区間の表記の両方を図2.10に示す。

−5から5まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x≤1を表している。x＝1に角括弧があり、そこから左へ赤い線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 1]と書かれている。 — Figure 2.10図 2.10
The inequality $x \leq 1$ is graphed on this number line and written in interval notation.
英語のヒント
この数直線には不等式 $x \leq 1$ が表されており、区間の表記でも書かれている。

Did you notice how the parenthesis or bracket in the interval notation matches the symbol at the endpoint of the arrow? These relationships are shown in Figure 2.11.

英語のヒント

区間の表記の丸括弧や角括弧が、矢印の端点の記号と対応していることに気付いただろうか。この関係を図2.11に示す。

前の図と同じ4本の数直線が、同じ区間表記のラベルとともに示されている。各区間表記の下には、数直線上の表し方と区間の表記がどう似ているかを示す文がある。1本目はx＞aのグラフで、区間の表記は(a, ∞)、下の文は「どちらにも左丸括弧がある」である。2本目はx≥aのグラフで、区間の表記は[a, ∞)、下の文は「どちらにも左角括弧がある」である。3本目はx＜aのグラフで、区間の表記は(−∞, a)、下の文は「どちらにも右丸括弧がある」である。最後はx≤aのグラフで、区間の表記は(−∞, a]、下の文は「どちらにも右角括弧がある」である。 — Figure 2.11図 2.11
The notation for inequalities on a number line and in interval notation use similar symbols to express the endpoints of intervals.
英語のヒント
不等式を数直線上に表すときと区間の表記で表すときには、区間の端点を似た記号で表す。

Example 2.67例題 2.67

Graph on the number line and write in interval notation.

英語のヒント

数直線上に表し、区間の表記で書く。

ⓐ

x \geq −3

ⓑ

x < 2.5

ⓒ

x \leq - \frac{3}{5}

Solution解答

ⓐ

Shade to the right of $−3$ , and put a bracket at $−3$ .
$−3$ より右に色を付け、 $−3$ に角括弧を置く。

Write in interval notation.
区間の表記で表す。
ⓑ

Shade to the left of $2.5$ , and put a parenthesis at $2.5$ .
$2.5$ より左に色を付け、 $2.5$ に丸括弧を置く。

Write in interval notation.
区間の表記で表す。
ⓒ

Shade to the left of $- \frac{3}{5}$ , and put a bracket at $- \frac{3}{5}$ .
$- \frac{3}{5}$ より左に色を付け、 $- \frac{3}{5}$ に角括弧を置く。

Write in interval notation.
区間の表記で表す。

Try It (2)確認問題（2題）


Shade to the right of $−3$ , and put a bracket at $−3$ . $−3$ より右に色を付け、 $−3$ に角括弧を置く。
Write in interval notation. 区間の表記で表す。


Shade to the left of $2.5$ , and put a parenthesis at $2.5$ . $2.5$ より左に色を付け、 $2.5$ に丸括弧を置く。
Write in interval notation. 区間の表記で表す。


Shade to the left of $- \frac{3}{5}$ , and put a bracket at $- \frac{3}{5}$ . $- \frac{3}{5}$ より左に色を付け、 $- \frac{3}{5}$ に角括弧を置く。
Write in interval notation. 区間の表記で表す。

第2章一次方程式と不等式を解く

2.7 Solve Linear Inequalities2.7 一次不等式を解く

Learning Objectives学習目標

Graph Inequalities on the Number Line不等式を数直線上に表す

Solution解答

Solution解答

2.7 Solve Linear Inequalities2.7　一次不等式を解く