第2章一次方程式と不等式を解く

2.1 Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality2.1　等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Verify a solution of an equation
英語のヒント
方程式の解を確かめる
Solve equations using the Subtraction and Addition Properties of Equality
英語のヒント
等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く
Solve equations that require simplification
英語のヒント
式の整理が必要な方程式を解く
Translate to an equation and solve
英語のヒント
方程式に直して解く
Translate and solve applications
英語のヒント
応用問題を方程式に表して解く

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Verify a Solution of an Equation方程式の解を確かめる

Solving an equation is like discovering the answer to a puzzle. The purpose in solving an equation is to find the value or values of the variable that make each side of the equation the same – so that we end up with a true statement. Any value of the variable that makes the equation true is called a solution to the equation. It is the answer to the puzzle!

英語のヒント

方程式を解くことは、パズルの答えを見つけることに似ている。方程式を解く目的は、両辺が同じになり、正しい等式が得られるような変数の値を、1つまたは複数見つけることである。方程式を成り立たせる変数の値を、その方程式の解という。それがパズルの答えである。

Example 2.1例題 2.1

Determine whether

x = \frac{3}{2}

is a solution of

4 x - 2 = 2 x + 1

英語のヒント

x = \frac{3}{2}

が

4 x - 2 = 2 x + 1

の解かどうかを判定する。

Solution解答

Since a solution to an equation is a value of the variable that makes the equation true, begin by substituting the value of the solution for the variable.

英語のヒント

方程式の解とは方程式を成り立たせる変数の値なので、まず、解と考えられる値を変数に代入する。



Multiply. 掛ける。
Subtract. 引く。

Since

x = \frac{3}{2}

results in a true equation (4 is in fact equal to 4),

\frac{3}{2}

is a solution to the equation

4 x - 2 = 2 x + 1

英語のヒント

x = \frac{3}{2}

を代入すると正しい等式が得られるので（実際に4は4に等しい）、

\frac{3}{2}

は方程式

4 x - 2 = 2 x + 1

の解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

We are going to use a model to clarify the process of solving an equation. An envelope represents the variable – since its contents are unknown – and each counter represents one. We will set out one envelope and some counters on our workspace, as shown in Figure 2.2. Both sides of the workspace have the same number of counters, but some counters are “hidden” in the envelope. Can you tell how many counters are in the envelope?

英語のヒント

方程式を解く過程を明らかにするために、モデルを使おう。封筒は中身が分からないので変数を表し、おはじき1個は1を表す。図2.2のように、作業台に封筒1枚とおはじきをいくつか並べる。作業台の両側にあるおはじきの数は同じだが、その一部は封筒の中に「隠れている」。封筒の中のおはじきの数が分かるだろうか。

作業台を左右に分けた図。左側の中身と右側の中身は等しい。左側には円形のおはじき3個と、個数が分からないおはじきの入った封筒がある。右側にはおはじき8個がある。 — Figure 2.2図 2.2
The illustration shows a model of an equation with one variable. On the left side of the workspace is an unknown (envelope) and three counters, while on the right side of the workspace are eight counters.
英語のヒント
変数が1つの方程式のモデル。作業台の左側には未知のもの（封筒）とおはじき3個があり、右側にはおはじき8個がある。

What are you thinking? What steps are you taking in your mind to figure out how many counters are in the envelope?

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何を考えているだろうか。封筒の中のおはじきの数を知るために、頭の中でどのような手順を踏んでいるだろうか。

Perhaps you are thinking: “I need to remove the 3 counters at the bottom left to get the envelope by itself. The 3 counters on the left can be matched with 3 on the right and so I can take them away from both sides. That leaves five on the right—so there must be 5 counters in the envelope.” See Figure 2.3 for an illustration of this process.

英語のヒント

こんなふうに考えているかもしれない。「封筒だけにするには、左下のおはじき3個を取り除けばよい。左の3個に右の3個を対応させて、両側から取り除ける。右に5個残るので、封筒にはおはじきが5個入っているはずだ」。この過程を図2.3に示す。

左右に分けた作業台を2つ描いた図。1つ目の作業台の左側には、紫色の線で囲まれたおはじき3個と、個数が分からないおはじきの入った封筒がある。右側にはおはじき8個があり、そのうち3個も紫色の線で囲まれている。作業台の右にある矢印が2つ目の作業台を指す。2つ目の左側には封筒だけがあり、右側にはおはじき5個がある。これは、両側から紫色の線で囲まれたおはじき3個を取り除いた点を除けば、1つ目の作業台と同じである。 — Figure 2.3図 2.3
The illustration shows a model for solving an equation with one variable. On both sides of the workspace remove three counters, leaving only the unknown (envelope) and five counters on the right side. The unknown is equal to five counters.
英語のヒント
変数が1つの方程式を解くモデル。作業台の両側からおはじきを3個ずつ取り除くと、未知のもの（封筒）だけと、右側のおはじき5個が残る。未知のものはおはじき5個に等しい。

What algebraic equation would match this situation? In Figure 2.4 each side of the workspace represents an expression and the center line takes the place of the equal sign. We will call the contents of the envelope

x

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この状況には、どのような方程式が対応するだろうか。図2.4では、作業台のそれぞれの側が式を表し、中央の線が等号の役割を果たす。封筒の中身を

x

と呼ぶことにしよう。

作業台を左右に分けた図。左側の中身と右側の中身は等しい。左側には円形のおはじき3個と、個数が分からないおはじきの入った封筒がある。右側にはおはじき8個がある。図の下には、おはじきで表した方程式「x＋3＝8」がある。 — Figure 2.4図 2.4
The illustration shows a model for the equation $x + 3 = 8$ .
英語のヒント
方程式 $x + 3 = 8$ のモデル。

Let’s write algebraically the steps we took to discover how many counters were in the envelope:

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封筒の中のおはじきの数を見つけるために行った手順を、代数の式で書こう。


First, we took away three from each side. まず両側から3を取り除いた。
Then we were left with five. すると5が残った。

Check:

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確認：

Five in the envelope plus three more does equal eight!

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封筒の中の5個に、さらに3個を足すと、確かに8個になる。

5 + 3 = 8

Our model has given us an idea of what we need to do to solve one kind of equation. The goal is to isolate the variable by itself on one side of the equation. To solve equations such as these mathematically, we use the Subtraction Property of Equality.

英語のヒント

このモデルから、ある種類の方程式を解くために何をすればよいかが分かった。目標は、方程式の一方の辺を変数だけにすることである。このような方程式を数学的に解くには、等式の減法の性質を使う。

Additional Resources追加教材

Let’s see how to use this property to solve an equation. Remember, the goal is to isolate the variable on one side of the equation. And we check our solutions by substituting the value into the equation to make sure we have a true statement.

英語のヒント

この性質を使って方程式を解く方法を見てみよう。目標は、方程式の一方の辺を変数だけにすることである。また、得られた値を方程式に代入し、正しい等式になることを確かめて、解を確認する。

Example 2.2例題 2.2

Solve:

y + 37 = −13 .

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次の方程式を解く：

y + 37 = −13

Solution解答

To get y by itself, we will undo the addition of 37 by using the Subtraction Property of Equality.

英語のヒント

yだけにするために、等式の減法の性質を使い、37を足す操作を元に戻す。


Subtract 37 from each side to ‘undo’ the addition. 両辺から37を引いて、加法を元に戻す。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Substitute $y = −50$ $y = −50$ を代入する。

Since

y = −50

makes

y + 37 = −13

a true statement, we have the solution to this equation.

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y = −50

を代入すると

y + 37 = −13

が正しい等式になるので、この方程式の解が得られた。

Try It (2)確認問題（2題）

What happens when an equation has a number subtracted from the variable, as in the equation

x - 5 = 8

? We use another property of equations to solve equations where a number is subtracted from the variable. We want to isolate the variable, so to ‘undo’ the subtraction we will add the number to both sides. We use the Addition Property of Equality.

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x - 5 = 8

のように、変数から数を引いた形の方程式では、どうすればよいだろうか。この形の方程式を解くには、等式の別の性質を使う。変数だけにしたいので、減法を元に戻すために、その数を両辺に足す。等式の加法の性質を使うのである。

In Example 2.2, 37 was added to the y and so we subtracted 37 to ‘undo’ the addition. In Example 2.3, we will need to ‘undo’ subtraction by using the Addition Property of Equality.

英語のヒント

例題2.2ではyに37が足されていたので、37を引いて加法を元に戻した。例題2.3では、等式の加法の性質を使って減法を元に戻す必要がある。

Example 2.3例題 2.3

Solve:

a - 28 = −37 .

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次の方程式を解く：

a - 28 = −37

Solution解答


Add 28 to each side to ‘undo’ the subtraction. 両辺に28を足して、減法を元に戻す。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Substitute $a = −9$ $a = −9$ を代入する。

		The solution to $a - 28 = −37$ is $a = −9 .$ $a - 28 = −37$ の解は $a = −9$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.4例題 2.4

Solve:

x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}

Solution解答


Use the Addition Property of Equality. 等式の加法の性質を使う。
Find the LCD to add the fractions on the right. 右辺の分数を足すために最小公分母を求める。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Substitute $x = \frac{11}{8} .$ $x = \frac{11}{8}$ を代入する。
Subtract. 引く。
Simplify. 簡単にする。
		The solution to $x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$ is $x = \frac{11}{8} .$ $x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$ の解は $x = \frac{11}{8}$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

The next example will be an equation with decimals.

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次の例題では、小数を含む方程式を扱う。

Example 2.5例題 2.5

Solve:

n - 0.63 = −4.2 .

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次の方程式を解く：

n - 0.63 = −4.2

Solution解答


Use the Addition Property of Equality. 等式の加法の性質を使う。
Add. 足す。
Check: 確認：
Let $n = −3.57$ . $n = −3.57$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

第2章一次方程式と不等式を解く

2.1 Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality2.1 等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Verify a Solution of an Equation方程式の解を確かめる

Solution解答

Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

2.1 Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality2.1　等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く