第2章一次方程式と不等式を解く

Solve Equations with Decimal Coefficients係数が小数の方程式を解く

Some equations have decimals in them. This kind of equation will occur when we solve problems dealing with money or percentages. But decimals can also be expressed as fractions. For example,

0.3 = \frac{3}{10}

and

0.17 = \frac{17}{100}

. So, with an equation with decimals, we can use the same method we used to clear fractions—multiply both sides of the equation by the least common denominator.

英語のヒント

小数を含む方程式もある。お金や百分率の問題を解くときに、このような方程式が現れる。小数は分数でも表せる。たとえば

0.3 = \frac{3}{10}

、

0.17 = \frac{17}{100}

である。したがって、小数を含む方程式でも、分母を払ったときと同じ方法、つまり両辺に最小公分母を掛ける方法が使える。

Example 2.56例題 2.56

Solve:

0.06 x + 0.02 = 0.25 x - 1.5

英語のヒント

次の方程式を解く：

0.06 x + 0.02 = 0.25 x - 1.5

。

Solution解答

Look at the decimals and think of the equivalent fractions.

英語のヒント

小数を見て、それと大きさの等しい分数を考える。

0.06 = \frac{6}{100} 0.02 = \frac{2}{100} 0.25 = \frac{25}{100} 1.5 = 1 \frac{5}{10}

Notice, the LCD is 100.

英語のヒント

最小公分母は100である。

By multiplying by the LCD, we will clear the decimals from the equation.

英語のヒント

最小公分母を掛けることで、方程式から小数をなくす。


Multiply both sides by 100. 両辺に100を掛ける。
Distribute. 分配法則を使う。
Multiply, and now we have no more decimals. 掛けると、小数はなくなる。
Collect the variables to the right. 変数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Collect the constants to the left. 定数を左辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 19. 19で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Let $x = 8$ . $x = 8$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

The next example uses an equation that is typical of the money applications in the next chapter. Notice that we distribute the decimal before we clear all the decimals.

英語のヒント

次の例題では、次章で扱うお金の応用問題によく現れる方程式を使う。小数をすべてなくす前に、小数について分配法則を使うことに注目する。

Example 2.57例題 2.57

Solve:

0.25 x + 0.05 (x + 3) = 2.85

英語のヒント

次の方程式を解く：

0.25 x + 0.05 (x + 3) = 2.85

。

Solution解答


Distribute first. 最初に分配法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
To clear decimals, multiply by 100. 100を掛けて小数を取り除く。
Distribute. 分配法則を使う。
Subtract 15 from both sides. 両辺から15を引く。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 30. 30で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check it yourself by substituting $x = 9$ into the original equation. $x = 9$ を元の方程式に代入して、自分で確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

Strategy to Solve an Equation with Fraction Coefficients
英語のヒント
分数の係数を含む方程式を解く方針
1. Find the least common denominator of all the fractions in the equation.
  英語のヒント
  方程式中のすべての分数の最小公分母を求める。
2. Multiply both sides of the equation by that LCD. This clears the fractions.
  英語のヒント
  方程式の両辺にその最小公分母を掛け、分数を取り除く。
3. Solve using the General Strategy for Solving Linear Equations.
  英語のヒント
  一次方程式を解く一般的な手順を使って解け。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 318–353練習問題 318–353

Solve Equations with Fraction Coefficients

英語のヒント

係数が分数の方程式を解く

In the following exercises, solve each equation with fraction coefficients.

英語のヒント

次の練習問題では、分数の係数を含む方程式をそれぞれ解く。

Exercise 318問題 318

\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}

Exercise 319問題 319

\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Solution解き方

x = 1

Exercise 320問題 320

\frac{5}{6} y - \frac{2}{3} = - \frac{3}{2}

Exercise 321問題 321

\frac{5}{6} y - \frac{1}{3} = - \frac{7}{6}

Solution解き方

y = −1

Exercise 322問題 322

\frac{1}{2} a + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}

Exercise 323問題 323

\frac{5}{8} b + \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}

Solution解き方

b = −2

Exercise 324問題 324

2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} x

Exercise 325問題 325

2 = \frac{3}{5} x - \frac{1}{3} x + \frac{2}{5} x

Solution解き方

x = 3

Exercise 326問題 326

\frac{1}{4} m - \frac{4}{5} m + \frac{1}{2} m = −1

Exercise 327問題 327

\frac{5}{6} n - \frac{1}{4} n - \frac{1}{2} n = −2

Solution解き方

n = −24

Exercise 328問題 328

x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}

Exercise 329問題 329

x + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} x - \frac{5}{4}

Solution解き方

x = −4

Exercise 330問題 330

\frac{1}{3} w + \frac{5}{4} = w - \frac{1}{4}

Exercise 331問題 331

\frac{3}{2} z + \frac{1}{3} = z - \frac{2}{3}

Solution解き方

z = −2

Exercise 332問題 332

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{6}

Exercise 333問題 333

\frac{1}{2} a - \frac{1}{4} = \frac{1}{6} a + \frac{1}{12}

Solution解き方

a = 1

Exercise 334問題 334

\frac{1}{3} b + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} b - \frac{3}{5}

Exercise 335問題 335

\frac{1}{3} x + \frac{2}{5} = \frac{1}{5} x - \frac{2}{5}

Solution解き方

x = −6

Exercise 336問題 336

1 = \frac{1}{6} (12 x - 6)

Exercise 337問題 337

1 = \frac{1}{5} (15 x - 10)

Solution解き方

x = 1

Exercise 338問題 338

\frac{1}{4} (p - 7) = \frac{1}{3} (p + 5)

Exercise 339問題 339

\frac{1}{5} (q + 3) = \frac{1}{2} (q - 3)

Solution解き方

q = 7

Exercise 340問題 340

\frac{1}{2} (x + 4) = \frac{3}{4}

Exercise 341問題 341

\frac{1}{3} (x + 5) = \frac{5}{6}

Solution解き方

x = - \frac{5}{2}

Exercise 342問題 342

\frac{5 q - 8}{5} = \frac{2 q}{10}

Exercise 343問題 343

\frac{4 m + 2}{6} = \frac{m}{3}

Solution解き方

m = −1

Exercise 344問題 344

\frac{4 n + 8}{4} = \frac{n}{3}

Exercise 345問題 345

\frac{3 p + 6}{3} = \frac{p}{2}

Solution解き方

p = −4

Exercise 346問題 346

\frac{u}{3} - 4 = \frac{u}{2} - 3

Exercise 347問題 347

\frac{v}{10} + 1 = \frac{v}{4} - 2

Solution解き方

v = 20

Exercise 348問題 348

\frac{c}{15} + 1 = \frac{c}{10} - 1

Exercise 349問題 349

\frac{d}{6} + 3 = \frac{d}{8} + 2

Solution解き方

d = −24

Exercise 350問題 350

\frac{3 x + 4}{2} + 1 = \frac{5 x + 10}{8}

Exercise 351問題 351

\frac{10 y - 2}{3} + 3 = \frac{10 y + 1}{9}

Solution解き方

y = −1

Exercise 352問題 352

\frac{7 u - 1}{4} - 1 = \frac{4 u + 8}{5}

Exercise 353問題 353

\frac{3 v - 6}{2} + 5 = \frac{11 v - 4}{5}

Solution解き方

v = 4

Exercises 354–369練習問題 354–369

Solve Equations with Decimal Coefficients

英語のヒント

係数が小数の方程式を解く

In the following exercises, solve each equation with decimal coefficients.

英語のヒント

次の練習問題では、小数の係数を含む方程式をそれぞれ解く。

Exercise 354問題 354

0.6 y + 3 = 9

Exercise 355問題 355

0.4 y - 4 = 2

Solution解き方

y = 15

Exercise 356問題 356

3.6 j - 2 = 5.2

Exercise 357問題 357

2.1 k + 3 = 7.2

Solution解き方

k = 2

Exercise 358問題 358

0.4 x + 0.6 = 0.5 x - 1.2

Exercise 359問題 359

0.7 x + 0.4 = 0.6 x + 2.4

Solution解き方

x = 20

Exercise 360問題 360

0.23 x + 1.47 = 0.37 x - 1.05

Exercise 361問題 361

0.48 x + 1.56 = 0.58 x - 0.64

Solution解き方

x = 22

Exercise 362問題 362

0.9 x - 1.25 = 0.75 x + 1.75

Exercise 363問題 363

1.2 x - 0.91 = 0.8 x + 2.29

Solution解き方

x = 8

Exercise 364問題 364

0.05 n + 0.10 (n + 8) = 2.15

Exercise 365問題 365

0.05 n + 0.10 (n + 7) = 3.55

Solution解き方

n = 19

Exercise 366問題 366

0.10 d + 0.25 (d + 5) = 4.05

Exercise 367問題 367

0.10 d + 0.25 (d + 7) = 5.25

Solution解き方

d = 10

Exercise 368問題 368

0.05 (q - 5) + 0.25 q = 3.05

Exercise 369問題 369

0.05 (q - 8) + 0.25 q = 4.10

Solution解き方

q = 15

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 370–371練習問題 370–371

Exercise 370問題 370

Coins Taylor has $2.00 in dimes and pennies. The number of pennies is 2 more than the number of dimes. Solve the equation

0.10 d + 0.01 (d + 2) = 2

for

d

, the number of dimes.

英語のヒント

硬貨　テイラーは10セント硬貨と1セント硬貨を、合計2.00ドル持っている。1セント硬貨は10セント硬貨より2枚多い。方程式

0.10 d + 0.01 (d + 2) = 2

を、10セント硬貨の枚数

d

について解く。

Exercise 371問題 371

Stamps Paula bought $22.82 worth of 49-cent stamps and 21-cent stamps. The number of 21-cent stamps was 8 less than the number of 49-cent stamps. Solve the equation

0.49 s + 0.21 (s - 8) = 22.82

for s, to find the number of 49-cent stamps Paula bought.

英語のヒント

切手　ポーラは49セント切手と21セント切手を、合計22.82ドル分買った。21セント切手は49セント切手より8枚少なかった。方程式

0.49 s + 0.21 (s - 8) = 22.82

をsについて解き、買った49セント切手の枚数を求める。

Solution解き方

s = 35

Writing Exercises記述問題

Exercises 372–375練習問題 372–375

Exercise 372問題 372

Explain how you find the least common denominator of

\frac{3}{8}

\frac{1}{6}

, and

\frac{2}{3}

英語のヒント

\frac{3}{8}

、

\frac{1}{6}

、

\frac{2}{3}

の最小公分母を求める方法を説明する。

Exercise 373問題 373

If an equation has several fractions, how does multiplying both sides by the LCD make it easier to solve?

英語のヒント

方程式に複数の分数があるとき、両辺に最小公分母を掛けると、なぜ解きやすくなるか。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 374問題 374

If an equation has fractions only on one side, why do you have to multiply both sides of the equation by the LCD?

英語のヒント

方程式の片方の辺にしか分数がなくても、最小公分母を両辺に掛けなければならないのはなぜか。

Exercise 375問題 375

In the equation

0.35 x + 2.1 = 3.85

what is the LCD? How do you know?

英語のヒント

方程式

0.35 x + 2.1 = 3.85

で、最小公分母はいくつか。どのように分かるか。

Solution解き方

100. Justifications will vary.

英語のヒント

100。根拠の示し方はさまざまである。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

3行4列の表。見出し行である第1行には、左から「できること」「自信を持ってできる」「少し助けがあればできる」「できない、分からない」とある。「できること」の下の第1列には、「分数の係数を含む方程式を解く」「小数の係数を含む方程式を解く」とある。残りのセルは空欄。

ⓑ Overall, after looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next section? Why or why not?

英語のヒント

ⓑ チェックリストを全体として見て、次の節へ進む準備が十分できていると思うか。そう思う、または思わない理由は何か。