第2章一次方程式と不等式を解く

Solve Equations That Require Simplification式の整理が必要な方程式を解く

Many equations start out more complicated than the ones we have been working with.

英語のヒント

多くの方程式は、ここまで扱ったものよりも複雑な形から始まる。

With these more complicated equations the first step is to simplify both sides of the equation as much as possible. This usually involves combining like terms or using the distributive property.

英語のヒント

こうした複雑な方程式では、最初に両辺をできるだけ簡単にする。通常は、同類項をまとめたり分配法則を使ったりする。

Example 2.18例題 2.18

Solve:

14 - 23 = 12 y - 4 y - 5 y .

英語のヒント

次の方程式を解く：

14 - 23 = 12 y - 4 y - 5 y

Solution解答

Begin by simplifying each side of the equation.

英語のヒント

まず方程式の各辺を簡単にする。


Simplify each side. 各辺を簡単にする。
Divide both sides by $3$ . 両辺を $3$ で割る。
Check: 確認：
Substitute $y = −3$ . $y = −3$ を代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.19例題 2.19

Solve:

−4 (a - 3) - 7 = 25 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

−4 (a - 3) - 7 = 25

Solution解答

Here we will simplify each side of the equation by using the distributive property first.

英語のヒント

ここでは、まず分配法則を使って方程式の各辺を簡単にする。


Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Divide both sides by $−4$ to isolate $a$ . 両辺を $−4$ で割り、 $a$ だけにする。
Divide. 割る。
Check: 確認：
Substitute $a = −5$ . $a = −5$ を代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Now we have covered all four properties of equality—subtraction, addition, division, and multiplication. We’ll list them all together here for easy reference.

英語のヒント

これで、等式の4つの性質、すなわち減法・加法・除法・乗法の性質をすべて扱った。参照しやすいよう、ここにまとめて示す。

Properties of Equality等式の性質

\begin{matrix} Subtraction Property of Equality & Addition Property of Equality \\ For any real numbers a, b, and c, & For any real numbers a, b, and c, \\ \begin{matrix} if & a & = & b, \\ then & a - c & = & b - c . \end{matrix} & \begin{matrix} if & a & = & b, \\ then & a + c & = & b + c . \end{matrix} \\ Division Property of Equality & Multiplication Property of Equality \\ For any numbers a, b, and c, and c \neq 0, & For any numbers a, b, and c, \\ \begin{matrix} if & a & = & b, \\ then & \frac{a}{c} & = & \frac{b}{c} . \end{matrix} & \begin{matrix} if & a & = & b, \\ then & a c & = & b c . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} 等式の減法の性質 & 等式の加法の性質 \\ 任意の実数について a, b, かつ c, & 任意の実数について a, b, かつ c, \\ \begin{matrix} もし & a & = & b, \\ ならば & a - c & = & b - c . \end{matrix} & \begin{matrix} もし & a & = & b, \\ ならば & a + c & = & b + c . \end{matrix} \\ 等式の除法の性質 & 等式の乗法の性質 \\ 任意の数について a, b, かつ c, かつ c \neq 0, & 任意の数について a, b, かつ c, \\ \begin{matrix} もし & a & = & b, \\ ならば & \frac{a}{c} & = & \frac{b}{c} . \end{matrix} & \begin{matrix} もし & a & = & b, \\ ならば & a c & = & b c . \end{matrix} \end{matrix}

When you add, subtract, multiply, or divide the same quantity from both sides of an equation, you still have equality.

英語のヒント

等式の両辺に同じ量を足す、引く、掛ける、または両辺を同じ量で割る操作をしても、等式は成り立つ。

Translate to an Equation and Solve方程式で表して解く

In the next few examples, we will translate sentences into equations and then solve the equations. You might want to review the translation table in the previous chapter.

英語のヒント

次のいくつかの例題では、文を方程式に置き換え、その方程式を解く。前の章の、言葉を式に置き換える表を復習しておくとよい。

Example 2.20例題 2.20

Translate and solve: The number 143 is the product of

−11

and y.

英語のヒント

方程式で表して解く：143は

−11

とyの積である。

Solution解答

Begin by translating the sentence into an equation.

英語のヒント

まず文を方程式に置き換える。

Translate. 数式で表す。
Divide by $−11$ . $−11$ で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: $\begin{matrix} 143 & = & −11 y \\ 143 & \overset{?}{=} & −11 (−13) \\ 143 & = & 143 ✓ \end{matrix}$ 確認： $\begin{matrix} 143 & = & −11 y \\ 143 & \overset{?}{=} & −11 (−13) \\ 143 & = & 143 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.21例題 2.21

Translate and solve:

n

divided by 8 is

−32

英語のヒント

方程式で表して解く：

n

を8で割ると

−32

になる。

Solution解答

Begin by translating the sentence into an equation. Translate. まず文を方程式に置き換える。式で表す。
Multiple both sides by 8. 両辺に8を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Is $n$ divided by 8 equal to −32? $n$ を8で割ると−32に等しくなるか。
Let $n = −256$ . $n = −256$ とおく。	Is $−256$ divided by $8$ equal to $−32$ ? $−256$ を $8$ で割ると $−32$ に等しくなるか。
Translate. 数式で表す。	$\frac{−256}{8} \overset{?}{=} −32$
Simplify. 簡単にする。	$−32 = −32 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.22例題 2.22

Translate and solve: The quotient of

y

and

−4

68

英語のヒント

方程式で表して解く：

y

を

−4

で割った商は

68

である。

Solution解答

Begin by translating the sentence into an equation.

英語のヒント

まず文を方程式に置き換える。

Translate. 数式で表す。
Multiply both sides by $−4$ . 両辺に $−4$ を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Is the quotient of $y$ and $−4$ equal to $68$ ? $y$ を $−4$ で割った商は $68$ に等しいか。
Let $y = −272$ . $y = −272$ とおく。	Is the quotient of $−272$ and $−4$ equal to $68$ ? $−272$ を $−4$ で割った商は $68$ に等しいか。
Translate. 数式で表す。	$\frac{−272}{−4} \overset{?}{=} 68$
Simplify. 簡単にする。	$68 = 68 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.23例題 2.23

Translate and solve: Three-fourths of

p

is 18.

英語のヒント

方程式で表して解く：

p

の4分の3は18である。

Solution解答

Begin by translating the sentence into an equation. Remember, “of” translates into multiplication.

英語のヒント

まず文を方程式に置き換える。「of」は掛け算に置き換えることを思い出そう。

Translate. 数式で表す。
Multiply both sides by $\frac{4}{3} .$ 両辺に $\frac{4}{3}$ を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Is three-fourths of p equal to 18? pの4分の3は18に等しいか。
Let $p = 24 .$ $p = 24$ とおく。	Is three-fourths of 24 equal to 18? 24の4分の3は18に等しいか。
Translate. 数式で表す。	$\frac{3}{4} \cdot 24 \overset{?}{=} 18$
Simplify. 簡単にする。	$18 = 18 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.24例題 2.24

Translate and solve: The sum of three-eighths and

x

is one-half.

英語のヒント

方程式で表して解く：8分の3と

x

の和は2分の1である。

Solution解答

Begin by translating the sentence into an equation.

英語のヒント

まず文を方程式に置き換える。

Translate. 数式で表す。
Subtract $\frac{3}{8}$ from each side. 各辺から $\frac{3}{8}$ を引く。
Simplify and rewrite fractions with common denominators. 簡単にし、分数の分母をそろえる。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：		Is the sum of three-eighths and $x$ equal to one-half? 8分の3と $x$ の和は2分の1に等しいか。
$Let x = \frac{1}{8} .$ $次のようにおく： x = \frac{1}{8}$		Is the sum of three-eighths and one-eighth equal to one-half? 8分の3と8分の1の和は2分の1に等しいか。
Translate. 数式で表す。		$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \overset{?}{=} \frac{1}{2}$
Simplify. 簡単にする。		$\frac{4}{8} \overset{?}{=} \frac{1}{2}$
Simplify. 簡単にする。		$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Translate and Solve Applications応用問題を方程式に表して解く

To solve applications using the Division and Multiplication Properties of Equality, we will follow the same steps we used in the last section. We will restate the problem in just one sentence, assign a variable, and then translate the sentence into an equation to solve.

英語のヒント

等式の除法と乗法の性質を使って応用問題を解くときも、前の節と同じ手順に従う。問題を1つの文に言い換え、変数を決め、文を方程式に置き換えて解く。

Example 2.25例題 2.25

Denae bought 6 pounds of grapes for $10.74. What was the cost of one pound of grapes?

英語のヒント

デネイはブドウ6ポンドを10.74ドルで買った。1ポンドの値段はいくらだったか。

Solution解答

Table 2.3表 2.3
What are you asked to find? 何を求めるよう問われているか。	The cost of 1 pound of grapes ブドウ1ポンドの値段
Assign a variable. 変数を割り当てる。	Let $c$ = the cost of one pound. $c$ ＝1ポンドの値段とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。	The cost of 6 pounds is $10.74. 6ポンドの値段は10.74ドルである。
Translate into an equation. 方程式で表す。	$6 c = 10.74$
Solve. 解く。	$\begin{matrix} \frac{6 c}{6} = \frac{10.74}{6} \\ c = 1.79 \end{matrix}$
	The grapes cost $1.79 per pound. ブドウは1ポンド当たり1.79ドルである。
Check: If one pound costs $1.79, do 6 pounds cost #10.74? $\begin{matrix} 6 (1.79) & \overset{?}{=} & 10.74 \\ 10.74 & = & 10.74 ✓ \end{matrix}$ 確認：1ポンドが1.79ドルなら、6ポンドは#10.74になるか。 $\begin{matrix} 6 (1.79) & \overset{?}{=} & 10.74 \\ 10.74 & = & 10.74 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.26例題 2.26

Andreas bought a used car for $12,000. Because the car was 4-years old, its price was

\frac{3}{4}

of the original price, when the car was new. What was the original price of the car?

英語のヒント

アンドレアスは中古車を12,000ドルで買った。4年落ちなので、価格は新車だったときの元の価格の

\frac{3}{4}

だった。この車の元の価格はいくらだったか。

Solution解答

Table 2.4表 2.4
What are you asked to find? 何を求めるよう問われているか。	The original price of the car 車の元の価格
Assign a variable. 変数を割り当てる。	Let $p$ = the original price. $p$ ＝元の価格とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。	$12,000 is $\frac{3}{4}$ of the original price. 12,000ドルは元の価格の $\frac{3}{4}$ である。
Translate into an equation. 方程式で表す。	$12,000 = \frac{3}{4} p$
Solve. 解く。	$\begin{matrix} \frac{4}{3} (12,000) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} p \\ 16,000 = p \end{matrix}$
	The original cost of the car was $16,000. 車の元の価格は16,000ドルだった。
Check: Is $\frac{3}{4}$ of $16,000 equal to $12,000? $\begin{matrix} \frac{3}{4} \cdot 16,000 & \overset{?}{=} & 12,000 \\ 12,000 & = & 12,000 ✓ \end{matrix}$ 確認：16,000ドルの $\frac{3}{4}$ は12,000ドルに等しいか。 $\begin{matrix} \frac{3}{4} \cdot 16,000 & \overset{?}{=} & 12,000 \\ 12,000 & = & 12,000 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）