第2章一次方程式と不等式を解く

Key Concepts重要な概念

To Determine Whether a Number is a Solution to an Equation
英語のヒント
ある数が方程式の解かどうかを判定するには
1. Substitute the number in for the variable in the equation.
  英語のヒント
  方程式の変数に、その数を代入する。
2. Simplify the expressions on both sides of the equation.
  英語のヒント
  方程式の両辺の式を簡単にする。
3. Determine whether the resulting statement is true.
  英語のヒント
  得られた等式が正しいかどうかを判定する。
  - If it is true, the number is a solution.
    英語のヒント
    正しければ、その数は解である。
  - If it is not true, the number is not a solution.
    英語のヒント
    正しくなければ、その数は解ではない。
Addition Property of Equality
英語のヒント
等式の加法の性質
- For any numbers a, b, and c, if $a = b$ , then $a + c = b + c$ .
  英語のヒント
  任意の数a、b、cについて、 $a = b$ ならば $a + c = b + c$ である。
Subtraction Property of Equality
英語のヒント
等式の減法の性質
- For any numbers a, b, and c, if $a = b$ , then $a - c = b - c$ .
  英語のヒント
  任意の数a、b、cについて、 $a = b$ ならば $a - c = b - c$ である。
To Translate a Sentence to an Equation
英語のヒント
文を方程式に置き換えるには
1. Locate the “equals” word(s). Translate to an equal sign (=).
  英語のヒント
  「等しい」を意味する語を見つけ、等号（＝）に置き換える。
2. Translate the words to the left of the “equals” word(s) into an algebraic expression.
  英語のヒント
  「等しい」を表す言葉の左側を、文字式に表す。
3. Translate the words to the right of the “equals” word(s) into an algebraic expression.
  英語のヒント
  「等しい」を表す言葉の右側を、文字式に表す。
To Solve an Application
英語のヒント
応用問題を解くには
1. Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
  英語のヒント
  問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
2. Identify what we are looking for.
  英語のヒント
  何を求めるのかを明らかにする。
3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
  英語のヒント
  求めるものに名前を付ける。その量を表す変数を選ぶ。
4. Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with the important information.
  英語のヒント
  方程式で表す。重要な情報を含む1つの文で問題を言い換えると役立つことがある。
5. Solve the equation using good algebra techniques.
  英語のヒント
  適切な代数の手順を使って方程式を解く。
6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
  英語のヒント
  答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
7. Answer the question with a complete sentence.
  英語のヒント
  完全な文で問いに答える。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–4練習問題 1–4

Verify a Solution of an Equation

英語のヒント

方程式の解を確かめる

In the following exercises, determine whether the given value is a solution to the equation.

英語のヒント

次の問題では、与えられた値が方程式の解かどうかを判定せよ。

Exercise 1問題 1

y = \frac{5}{3}

a solution of

6 y + 10 = 12 y

英語のヒント

y = \frac{5}{3}

は

6 y + 10 = 12 y

の解か。

Solution解き方

yes

はい

Exercise 2問題 2

x = \frac{9}{4}

a solution of

4 x + 9 = 8 x

英語のヒント

x = \frac{9}{4}

は

4 x + 9 = 8 x

の解か。

Exercise 3問題 3

u = - \frac{1}{2}

a solution of

8 u - 1 = 6 u

英語のヒント

u = - \frac{1}{2}

は

8 u - 1 = 6 u

の解か。

Solution解き方

いいえ

Exercise 4問題 4

v = - \frac{1}{3}

a solution of

9 v - 2 = 3 v

英語のヒント

v = - \frac{1}{3}

は

9 v - 2 = 3 v

の解か。

Exercises 5–28練習問題 5–28

Solve Equations using the Subtraction and Addition Properties of Equality

英語のヒント

等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

In the following exercises, solve each equation using the Subtraction and Addition Properties of Equality.

英語のヒント

次の練習問題では、等式の減法と加法の性質を使って、それぞれの方程式を解く。

Exercise 5問題 5

x + 24 = 35

Solution解き方

x = 11

Exercise 6問題 6

x + 17 = 22

Exercise 7問題 7

y + 45 = −66

Solution解き方

y = −111

Exercise 8問題 8

y + 39 = −83

Exercise 9問題 9

b + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Solution解き方

b = \frac{1}{2}

Exercise 10問題 10

a + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Exercise 11問題 11

p + 2.4 = −9.3

Solution解き方

p = −11.7

Exercise 12問題 12

m + 7.9 = 11.6

Exercise 13問題 13

a - 45 = 76

Solution解き方

a = 121

Exercise 14問題 14

a - 30 = 57

Exercise 15問題 15

m - 18 = −200

Solution解き方

m = −182

Exercise 16問題 16

m - 12 = −12

Exercise 17問題 17

x - \frac{1}{3} = 2

Solution解き方

x = \frac{7}{3}

Exercise 18問題 18

x - \frac{1}{5} = 4

Exercise 19問題 19

y - 3.8 = 10

Solution解き方

y = 13.8

Exercise 20問題 20

y - 7.2 = 5

Exercise 21問題 21

x - 165 = −420

Solution解き方

x = −255

Exercise 22問題 22

z - 101 = −314

Exercise 23問題 23

z + 0.52 = −8.5

Solution解き方

z = −9.02

Exercise 24問題 24

x + 0.93 = −4.1

Exercise 25問題 25

q + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}

Solution解き方

q = - \frac{1}{4}

Exercise 26問題 26

p + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

Exercise 27問題 27

p - \frac{2}{5} = \frac{2}{3}

Solution解き方

p = \frac{16}{15}

Exercise 28問題 28

y - \frac{3}{4} = \frac{3}{5}

Exercises 29–50練習問題 29–50

Solve Equations that Require Simplification

英語のヒント

式の整理が必要な方程式を解く

In the following exercises, solve each equation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの方程式を解く。

Exercise 29問題 29

c + 31 - 10 = 46

Solution解き方

c = 25

Exercise 30問題 30

m + 16 - 28 = 5

Exercise 31問題 31

9 x + 5 - 8 x + 14 = 20

Solution解き方

x = 1

Exercise 32問題 32

6 x + 8 - 5 x + 16 = 32

Exercise 33問題 33

−6 x - 11 + 7 x - 5 = −16

Solution解き方

x = 0

Exercise 34問題 34

−8 n - 17 + 9 n - 4 = −41

Exercise 35問題 35

5 (y - 6) - 4 y = −6

Solution解き方

y = 24

Exercise 36問題 36

9 (y - 2) - 8 y = −16

Exercise 37問題 37

8 (u + 1.5) - 7 u = 4.9

Solution解き方

u = −7.1

Exercise 38問題 38

5 (w + 2.2) - 4 w = 9.3

Exercise 39問題 39

6 a - 5 (a - 2) + 9 = −11

Solution解き方

a = −30

Exercise 40問題 40

8 c - 7 (c - 3) + 4 = −16

Exercise 41問題 41

6 (y - 2) - 5 y = 4 (y + 3)

- 4 (y - 1)

Solution解き方

y = 28

Exercise 42問題 42

9 (x - 1) - 8 x = −3 (x + 5)

+ 3 (x - 5)

Exercise 43問題 43

3 (5 n - 1) - 14 n + 9

= 10 (n - 4) - 6 n - 4 (n + 1)

Solution解き方

n = −50

Exercise 44問題 44

2 (8 m + 3) - 15 m - 4

= 9 (m + 6) - 2 (m - 1) - 7 m

Exercise 45問題 45

− (j + 2) + 2 j - 1 = 5

Solution解き方

j = 8

Exercise 46問題 46

− (k + 7) + 2 k + 8 = 7

Exercise 47問題 47

− (\frac{1}{4} a - \frac{3}{4}) + \frac{5}{4} a = −2

Solution解き方

a = - \frac{11}{4}

Exercise 48問題 48

− (\frac{2}{3} d - \frac{1}{3}) + \frac{5}{3} d = −4

Exercise 49問題 49

8 (4 x + 5) - 5 (6 x) - x

= 53 - 6 (x + 1) + 3 (2 x + 2)

Solution解き方

x = 13

Exercise 50問題 50

6 (9 y - 1) - 10 (5 y) - 3 y

= 22 - 4 (2 y - 12) + 8 (y - 6)

Exercises 51–62練習問題 51–62

Translate to an Equation and Solve

英語のヒント

方程式で表して解く

In the following exercises, translate to an equation and then solve it.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式で表してから解く。

Exercise 51問題 51

Nine more than

x

is equal to 52.

英語のヒント

x

より9大きい数は52に等しい。

Solution解き方

x + 9 = 52; x = 43

Exercise 52問題 52

The sum of x and

−15

is 23.

英語のヒント

xと

−15

の和は23である。

Exercise 53問題 53

Ten less than m is

−14

英語のヒント

mより10小さい数は

−14

である。

Solution解き方

m - 10 = −14; m = −4

Exercise 54問題 54

Three less than y is

−19

英語のヒント

yより3小さい数は

−19

である。

Exercise 55問題 55

The sum of y and

−30

is 40.

英語のヒント

yと

−30

の和は40である。

Solution解き方

y + (−30) = 40; y = 70

Exercise 56問題 56

Twelve more than p is equal to 67.

英語のヒント

pより12大きい数は67に等しい。

Exercise 57問題 57

The difference of

9 x and 8 x

is 107.

英語のヒント

9 x かつ 8 x

の差は107である。

Solution解き方

9 x - 8 x = 107; 107

Exercise 58問題 58

The difference of

5 c and 4 c

is 602.

英語のヒント

5 c かつ 4 c

の差は602である。

Exercise 59問題 59

The difference of

n

and

\frac{1}{6}

\frac{1}{2}

英語のヒント

n

と

\frac{1}{6}

の差は

\frac{1}{2}

である。

Solution解き方

n - \frac{1}{6} = \frac{1}{2}; \frac{2}{3}

Exercise 60問題 60

The difference of

f

and

\frac{1}{3}

\frac{1}{12}

英語のヒント

f

と

\frac{1}{3}

の差は

\frac{1}{12}

である。

Exercise 61問題 61

The sum of

−4 n

and

5 n

−82

英語のヒント

−4 n

と

5 n

の和は

−82

である。

Solution解き方

−4 n + 5 n = −82; - 82

Exercise 62問題 62

The sum of

−9 m

and

10 m

−95

英語のヒント

−9 m

と

10 m

の和は

−95

である。

Exercises 63–72練習問題 63–72

Translate and Solve Applications

英語のヒント

応用問題を方程式に表して解く

In the following exercises, translate into an equation and solve.

英語のヒント

次の問題では、方程式に表して解け。

Exercise 63問題 63

Distance Avril rode her bike a total of 18 miles, from home to the library and then to the beach. The distance from Avril’s house to the library is 7 miles. What is the distance from the library to the beach?

英語のヒント

距離　アヴリルは家から図書館、さらに海岸まで、自転車で合計18マイル走った。家から図書館までは7マイルである。図書館から海岸までの距離は何マイルか。

Solution解き方

11 miles

英語のヒント

11マイル

Exercise 64問題 64

Reading Jeff read a total of 54 pages in his History and Sociology textbooks. He read 41 pages in his History textbook. How many pages did he read in his Sociology textbook?

英語のヒント

読書　ジェフは歴史と社会学の教科書を合計54ページ読んだ。歴史の教科書は41ページ読んだ。社会学の教科書は何ページ読んだか。

Exercise 65問題 65

Age Eva’s daughter is 15 years younger than her son. Eva’s son is 22 years old. How old is her daughter?

英語のヒント

年齢　エヴァの娘は息子より15歳年下である。息子は22歳である。娘は何歳か。

Solution解き方

7 years old

英語のヒント

7歳

Exercise 66問題 66

Age Pablo’s father is 3 years older than his mother. Pablo’s mother is 42 years old. How old is his father?

英語のヒント

年齢　パブロの父は母より3歳年上である。母は42歳である。父は何歳か。

Exercise 67問題 67

Groceries For a family birthday dinner, Celeste bought a turkey that weighed 5 pounds less than the one she bought for Thanksgiving. The birthday turkey weighed 16 pounds. How much did the Thanksgiving turkey weigh?

英語のヒント

食料品　セレステは家族の誕生日の夕食用に、感謝祭で買ったものより5ポンド軽い七面鳥を買った。誕生日の七面鳥は16ポンドだった。感謝祭の七面鳥は何ポンドだったか。

Solution解き方

21 pounds

英語のヒント

21ポンド

Exercise 68問題 68

Weight Allie weighs 8 pounds less than her twin sister Lorrie. Allie weighs 124 pounds. How much does Lorrie weigh?

英語のヒント

体重　アリーは双子の姉妹ロリーより8ポンド軽い。アリーは124ポンドである。ロリーは何ポンドか。

Exercise 69問題 69

Health Connor’s temperature was 0.7 degrees higher this morning than it had been last night. His temperature this morning was 101.2 degrees. What was his temperature last night?

英語のヒント

健康　コナーの今朝の体温は昨夜より0.7度高かった。今朝は101.2度だった。昨夜の体温は何度だったか。

Solution解き方

100.5 degrees

英語のヒント

100.5度

Exercise 70問題 70

Health The nurse reported that Tricia’s daughter had gained 4.2 pounds since her last checkup and now weighs 31.6 pounds. How much did Tricia’s daughter weigh at her last checkup?

英語のヒント

健康　看護師によると、トリシアの娘は前回の健診から体重が4.2ポンド増え、現在は31.6ポンドである。前回の健診では何ポンドだったか。

Exercise 71問題 71

Salary Ron’s paycheck this week was $17.43 less than his paycheck last week. His paycheck this week was $103.76. How much was Ron’s paycheck last week?

英語のヒント

給料　ロンの今週の給料は先週より17.43ドル少なかった。今週は103.76ドルだった。先週はいくらだったか。

Solution解き方

$121.19

Exercise 72問題 72

Textbooks Melissa’s math book cost $22.85 less than her art book cost. Her math book cost $93.75. How much did her art book cost?

英語のヒント

教科書　メリッサの数学の教科書は美術の教科書より22.85ドル安かった。数学の教科書は93.75ドルだった。美術の教科書はいくらだったか。