第2章一次方程式と不等式を解く

Key Concepts重要な概念

Subtraction Property of Inequality
For any numbers a, b, and c,
if $a < b$ then $a - c b$ then $a - c > b - c .$
英語のヒント
不等式の減法の性質　任意の数a、b、cについて、 $a < b$ ならば $a - c b$ ならば $a - c > b - c$ である。
Addition Property of Inequality
For any numbers a, b, and c,
if $a < b$ then $a + c b$ then $a + c > b + c .$
英語のヒント
不等式の加法の性質　任意の数a、b、cについて、 $a < b$ ならば $a + c b$ ならば $a + c > b + c$ である。
Division and Multiplication Properties of Inequality
For any numbers a, b, and c,
if $a < b$ and $c > 0$ , then $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ and $a c > b c$ .
if $a > b$ and $c > 0$ , then $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ and $a c > b c$ .
if $a < b$ and $c < 0$ , then $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ and $a c > b c$ .
if $a > b$ and $c < 0$ , then $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ and $a c 0$ ならば、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ かつ $a c > b c$ 。 $a > b$ かつ $c > 0$ ならば、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ かつ $a c > b c$ 。 $a < b$ かつ $c < 0$ ならば、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ かつ $a c > b c$ 。 $a > b$ かつ $c < 0$ ならば、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ かつ $a c < b c$ 。
When we divide or multiply an inequality by a:
英語のヒント
不等式の両辺を割る、または両辺に掛ける数が、
- positive number, the inequality stays the same.
  英語のヒント
  正の数なら、不等号の向きは変わらない。
- negative number, the inequality reverses.
  英語のヒント
  負の数なら、不等号の向きは逆になる。

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 430–433練習問題 430–433

Graph Inequalities on the Number Line

英語のヒント

不等式を数直線上に表す

In the following exercises, graph each inequality on the number line.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの不等式を数直線上に表す。

Exercise 430問題 430

ⓐ

x \leq - 2

ⓑ

x > - 1

ⓒ

x < 0

Exercise 431問題 431

ⓐ

x > 1

ⓑ

x < - 2

ⓒ

x \geq −3

Solution解き方

Exercise 432問題 432

ⓐ

x \geq −3

ⓑ

x < 4

ⓒ

x \leq - 2

Exercise 433問題 433

ⓐ

x \leq 0

ⓑ

x > - 4

ⓒ

x \geq −1

Solution解き方

Exercises 434–437練習問題 434–437

In the following exercises, graph each inequality on the number line and write in interval notation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの不等式を数直線上に表し、区間の表記で書く。

Exercise 434問題 434

ⓐ

x < - 2

ⓑ

x \geq −3.5

ⓒ

x \leq \frac{2}{3}

Exercise 435問題 435

ⓐ

x > 3

ⓑ

x \leq - 0.5

ⓒ

x \geq \frac{1}{3}

Solution解き方

Exercise 436問題 436

ⓐ

x \geq −4

ⓑ

x < 2.5

ⓒ

x > - \frac{3}{2}

Exercise 437問題 437

ⓐ

x \leq 5

ⓑ

x \geq −1.5

ⓒ

x < - \frac{7}{3}

Solution解き方

Exercises 438–445練習問題 438–445

Solve Inequalities using the Subtraction and Addition Properties of Inequality

英語のヒント

不等式の減法と加法の性質を使って不等式を解く

In the following exercises, solve each inequality, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの不等式を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Exercise 438問題 438

n - 11 < 33

Exercise 439問題 439

m - 45 \leq 62

Solution解き方

上部には不等式の解m≤107があり、その下に105から109まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x≤107を表している。x＝107に角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 107]と書かれている。

Exercise 440問題 440

u + 25 > 21

Exercise 441問題 441

v + 12 > 3

Solution解き方

上部には不等式の解v>−9があり、その下に−11から−7まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x>−9を表している。x＝−9に丸括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−9, ∞)と書かれている。

Exercise 442問題 442

a + \frac{3}{4} \geq \frac{7}{10}

Exercise 443問題 443

b + \frac{7}{8} \geq \frac{1}{6}

Solution解き方

上部には不等式の解b≥−17/24があり、その下に−2から2まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式b≥−17/24を表している。b＝−17/24（書き込み）に角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも[−17/24, ∞)と書かれている。

Exercise 444問題 444

f - \frac{13}{20} < - \frac{5}{12}

Exercise 445問題 445

g - \frac{11}{12} < - \frac{5}{18}

Solution解き方

上部には不等式の解g<23/26があり、その下に−2から2まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式g<23/26を表している。g＝23/26（書き込み）に丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 23/26)と書かれている。

Exercises 446–465練習問題 446–465

Solve Inequalities using the Division and Multiplication Properties of Inequality

英語のヒント

不等式の除法と乗法の性質を使って不等式を解く

In the following exercises, solve each inequality, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの不等式を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Exercise 446問題 446

8 x > 72

Exercise 447問題 447

6 y < 48

Solution解き方

上部には不等式の解y<8があり、その下に6から10まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式y<8を表している。y＝8に丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 8)と書かれている。

Exercise 448問題 448

7 r \leq 56

Exercise 449問題 449

9 s \geq 81

Solution解き方

上部には不等式の解s≥9があり、その下に7から11まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式s≥9を表している。s＝9に角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも[9, ∞)と書かれている。

Exercise 450問題 450

−5 u \geq 65

Exercise 451問題 451

−8 v \leq 96

Solution解き方

上部には不等式の解v≥−12があり、その下に−14から−10まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式v≥−12を表している。v＝−12に角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも[−12, ∞)と書かれている。

Exercise 452問題 452

−9 c < 126

Exercise 453問題 453

−7 d > 105

Solution解き方

上部には不等式の解d<−15があり、その下に−17から−13まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式d<−15を表している。d＝−15に丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, −15)と書かれている。

Exercise 454問題 454

20 > \frac{2}{5} h

Exercise 455問題 455

40 < \frac{5}{8} k

Solution解き方

上部には不等式の解k>64があり、その下に62から66まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式k>64を表している。k＝64に丸括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 64)と書かれている。

Exercise 456問題 456

\frac{7}{6} j \geq 42

Exercise 457問題 457

\frac{9}{4} g \leq 36

Solution解き方

上部には不等式の解g≤16があり、その下に14から18まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式g≤16を表している。g＝16に角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 16]と書かれている。

Exercise 458問題 458

\frac{a}{−3} \leq 9

Exercise 459問題 459

\frac{b}{−10} \geq 30

Solution解き方

上部には不等式の解b≤−300があり、その下に−302から−298まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式b≤−300を表している。b＝−300に角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, −300]と書かれている。

Exercise 460問題 460

−25 < \frac{p}{−5}

Exercise 461問題 461

−18 > \frac{q}{−6}

Solution解き方

上部には不等式の解q>108があり、その下に106から110まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式q>108を表している。q＝108に丸括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(108, ∞)と書かれている。

Exercise 462問題 462

9 t \geq −27

Exercise 463問題 463

7 s < - 28

Solution解き方

上部には不等式の解s<−4があり、その下に−6から−2まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式s<−4を表している。s＝−4に丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, −4)と書かれている。

Exercise 464問題 464

\frac{2}{3} y > - 36

Exercise 465問題 465

\frac{3}{5} x \leq - 45

Solution解き方

上部には不等式の解x≤−75があり、その下に−77から−73まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x≤−75を表している。x＝−75に角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, −75]と書かれている。

Exercises 466–481練習問題 466–481

Solve Inequalities That Require Simplification

英語のヒント

式の整理が必要な不等式を解く

In the following exercises, solve each inequality, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの不等式を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Exercise 466問題 466

4 v \geq 9 v - 40

Exercise 467問題 467

5 u \leq 8 u - 21

Solution解き方

上部には不等式の解au≥7があり、その下に5から9まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式u≥7を表している。u＝7に角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも[7, ∞)と書かれている。

Exercise 468問題 468

13 q < 7 q - 29

Exercise 469問題 469

9 p > 14 p - 18

Solution解き方

上部には不等式の解p<18/5があり、その下に2から6まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式p<18/5を表している。p＝18/5（書き込み）に丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 18/5)と書かれている。

Exercise 470問題 470

12 x + 3 (x + 7) > 10 x - 24

Exercise 471問題 471

9 y + 5 (y + 3) < 4 y - 35

Solution解き方

上部には不等式の解y<−5があり、その下に−6から−2まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式y<−5を表している。y＝−5に丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, −5)と書かれている。

Exercise 472問題 472

6 h - 4 (h - 1) \leq 7 h - 11

Exercise 473問題 473

4 k - (k - 2) \geq 7 k - 26

Solution解き方

上部には不等式の解x≤7があり、その下に5から9まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式x≤7を表している。x＝7に角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, 7]と書かれている。

Exercise 474問題 474

8 m - 2 (14 - m) \geq ​ 7 (m - 4) + 3 m

Exercise 475問題 475

6 n - 12 (3 - n) \leq 9 (n - 4) + 9 n

Solution解き方

図の上部には、不等式の解として「この不等式は常に成り立つ」とある。その下には−2から2まで、各整数に目盛りのある数直線がある。この不等式を表す濃い色の線が両方向へ伸びている。数直線の下には、解が区間の表記で(−∞, ∞)と書かれている。

Exercise 476問題 476

\frac{3}{4} b - \frac{1}{3} b < \frac{5}{12} b - \frac{1}{2}

Exercise 477問題 477

9 u + 5 (2 u - 5) \geq 12 (u - 1) + 7 u

Solution解き方

図の上部には、不等式についての結果として「この不等式は矛盾している」とある。その下には−2から2まで、各整数に目盛りのある数直線がある。矛盾しているため、数直線上に不等式のグラフは描かれていない。数直線の下に「解なし」とある。

Exercise 478問題 478

\frac{2}{3} g - \frac{1}{2} (g - 14) \leq \frac{1}{6} (g + 42)

Exercise 479問題 479

\frac{5}{6} a - \frac{1}{4} a > \frac{7}{12} a + \frac{2}{3}

Solution解き方

Exercise 480問題 480

\frac{4}{5} h - \frac{2}{3} (h - 9) \geq \frac{1}{15} (2 h + 90)

Exercise 481問題 481

12 v + 3 (4 v - 1) \leq 19 (v - 2) + 5 v

Solution解き方

Exercises 482–491練習問題 482–491

Mixed practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, solve each inequality, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの不等式を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Exercise 482問題 482

15 k \leq - 40

Exercise 483問題 483

35 k \geq −77

Solution解き方

上部には不等式の解k≥−11/5があり、その下に−4から0まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式k≥−11/5を表している。k＝−11/5（書き込み）に角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも[−11/5, ∞)と書かれている。

Exercise 484問題 484

23 p - 2 (6 - 5 p) > 3 (11 p - 4)

Exercise 485問題 485

18 q - 4 (10 - 3 q) < 5 (6 q - 8)

Solution解き方

Exercise 486問題 486

- \frac{9}{4} x \geq - \frac{5}{12}

Exercise 487問題 487

- \frac{21}{8} y \leq - \frac{15}{28}

Solution解き方

上部には不等式の解y≥10/49があり、その下に−1から3まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式y≥10/49を表している。y＝10/49（書き込み）に角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも[10/49, ∞)と書かれている。

Exercise 488問題 488

c + 34 < - 99

Exercise 489問題 489

d + 29 > - 61

Solution解き方

上部には不等式の解d>−90があり、その下に−92から−88まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式d>−90を表している。d＝−90に丸括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−90, ∞)と書かれている。

Exercise 490問題 490

\frac{m}{18} \geq −4

Exercise 491問題 491

\frac{n}{13} \leq - 6

Solution解き方

上部には不等式の解n≤−78があり、その下に−80から−76まで、各整数に目盛りのある数直線がある。数直線上に不等式n≤−78を表している。n＝−78に角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。不等式は、区間の表記でも(−∞, −78]と書かれている。

Exercises 492–503練習問題 492–503

Translate to an Inequality and Solve

英語のヒント

不等式で表して解く

In the following exercises, translate and solve .Then write the solution in interval notation and graph on the number line.

英語のヒント

次の練習問題では、不等式で表して解く。次に、解を区間の表記で書き、数直線上に表す。

Exercise 492問題 492

Fourteen times d is greater than 56.

英語のヒント

dの14倍は56より大きい。

Exercise 493問題 493

Ninety times c is less than 450.

英語のヒント

cの90倍は450より小さい。

Solution解き方

図の上部には不等式90c＜450がある。その下に解c＜5、さらに下に区間の表記(−∞, 5)がある。その下には3から7まで、各整数に目盛りのある数直線がある。不等式c＜5を表し、c＝5に開き丸括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。

Exercise 494問題 494

Eight times z is smaller than

−40

英語のヒント

zの8倍は

−40

より小さい。

Exercise 495問題 495

Ten times y is at most

−110

英語のヒント

yの10倍は多くとも

−110

である。

Solution解き方

図の上部には不等式10y≤−110がある。その下に解y≤−11、さらに下に区間の表記(−∞, −11]がある。その下には−13から−9まで、各整数に目盛りのある数直線がある。不等式y≤−11を表し、y＝−11に開き角括弧があり、そこから左へ濃い色の線が伸びている。

Exercise 496問題 496

Three more than h is no less than 25.

英語のヒント

hより3大きい数は25以上である。

Exercise 497問題 497

Six more than k exceeds 25.

英語のヒント

kより6大きい数は25を超える。

Solution解き方

図の上部には不等式k＋6＞25がある。その下に解k＞19、さらに下に区間の表記(19, ∞)がある。その下には17から21まで、各整数に目盛りのある数直線がある。不等式k＞19を表し、k＝19に開き丸括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。

Exercise 498問題 498

Ten less than w is at least 39.

英語のヒント

wより10小さい数は少なくとも39である。

Exercise 499問題 499

Twelve less than x is no less than 21.

英語のヒント

xより12小さい数は21以上である。

Solution解き方

図の上部には不等式x−12≥21がある。その下に解x≥33、さらに下に区間の表記[33, ∞)がある。その下には32から36まで、各整数に目盛りのある数直線がある。不等式x≥33を表し、x＝33に開き角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。

Exercise 500問題 500

Negative five times r is no more than 95.

英語のヒント

rの−5倍は95以下である。

Exercise 501問題 501

Negative two times s is lower than 56.

英語のヒント

sの−2倍は56より小さい。

Solution解き方

図の上部には不等式−2s＜56がある。その下に解s＞−28、さらに下に区間の表記(−28, ∞)がある。その下には−30から−26まで、各整数に目盛りのある数直線がある。不等式s＞−28を表し、s＝−28に開き丸括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。

Exercise 502問題 502

Nineteen less than b is at most

−22

英語のヒント

bより19小さい数は多くとも

−22

である。

Exercise 503問題 503

Fifteen less than a is at least

−7

英語のヒント

aより15小さい数は少なくとも

−7

である。

Solution解き方

図の上部には不等式a−15≥−7がある。その下に解a≥8、さらに下に区間の表記[8, ∞)がある。その下には0から10まで、各整数に目盛りのある数直線がある。不等式a≥8を表し、a＝8に開き角括弧があり、そこから右へ濃い色の線が伸びている。

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 504–507練習問題 504–507

Exercise 504問題 504

Safety A child’s height, h, must be at least 57 inches for the child to safely ride in the front seat of a car. Write this as an inequality.

英語のヒント

安全　子どもが車の前部座席に安全に乗るには、身長hが少なくとも57インチ必要である。これを不等式で表す。

Exercise 505問題 505

Fighter pilots The maximum height, h, of a fighter pilot is 77 inches. Write this as an inequality.

英語のヒント

戦闘機パイロット　戦闘機パイロットの身長hの上限は77インチである。これを不等式で表す。

Solution解き方

h \leq 77

Exercise 506問題 506

Elevators The total weight, w, of an elevator’s passengers can be no more than 1,200 pounds. Write this as an inequality.

英語のヒント

エレベーター　乗客の総重量wは1,200ポンドを超えてはならない。これを不等式で表す。

Exercise 507問題 507

Shopping The number of items, n, a shopper can have in the express check-out lane is at most 8. Write this as an inequality.

英語のヒント

買い物　少量購入者用のレジで、買い物客の商品数nは多くとも8点である。これを不等式で表す。

Solution解き方

n \leq 8

Writing Exercises記述問題

Exercises 508–511練習問題 508–511

Exercise 508問題 508

Give an example from your life using the phrase ‘at least’.

英語のヒント

自分の生活から、「at least（少なくとも）」を使う例を挙げる。

Exercise 509問題 509

Give an example from your life using the phrase ‘at most’.

英語のヒント

自分の生活から、「at most（多くとも）」を使う例を挙げる。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 510問題 510

Explain why it is necessary to reverse the inequality when solving

−5 x > 10

英語のヒント

−5 x > 10

を解くときに、不等号の向きを逆にする必要がある理由を説明する。

Exercise 511問題 511

Explain why it is necessary to reverse the inequality when solving

\frac{n}{−3} < 12

英語のヒント

\frac{n}{−3} < 12

を解くときに、不等号の向きを逆にする必要がある理由を説明する。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

6行4列の表。見出し行である第1行には、左から「できること」「自信を持ってできる」「少し助けがあればできる」「できない、分からない」とある。「できること」の下の第1列には、「不等式を数直線上に表す」「不等式の減法と加法の性質を使って不等式を解く」「不等式の除法と乗法の性質を使って不等式を解く」「式の整理が必要な不等式を解く」「不等式で表して解く」とある。残りのセルは空欄。

ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストから、この節をどれだけ習得できたと分かるか。さらに身に付けるために、どのような手順で取り組むか。