第2章一次方程式と不等式を解く

Solve Inequalities That Require Simplification式の整理が必要な不等式を解く

Most inequalities will take more than one step to solve. We follow the same steps we used in the general strategy for solving linear equations, but be sure to pay close attention during multiplication or division.

英語のヒント

不等式の多くは、解くのに2つ以上の手順を要する。一次方程式を解く一般的な方針と同じ手順に従うが、掛け算や割り算のときには十分注意する。

Example 2.73例題 2.73

Solve the inequality

4 m \leq 9 m + 17

, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

不等式

4 m \leq 9 m + 17

を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Solution解答


Subtract $9 m$ from both sides to collect the variables on the left. 両辺から $9 m$ を引き、変数の項を左辺にまとめる。
Simplify. 簡単にする。
Divide both sides of the inequality by −5, and reverse the inequality. 不等式の両辺を−5で割り、不等号の向きを逆にする。
Simplify. 簡単にする。
Graph the solution on the number line. 解を数直線上に表す。
Write the solution in interval notation. 解を区間の表記で表す。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.74例題 2.74

Solve the inequality

8 p + 3 (p - 12) > 7 p - 28

, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

不等式

8 p + 3 (p - 12) > 7 p - 28

を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Solution解答

Simplify each side as much as possible. 各辺をできるだけ簡単にする。	$8 p + 3 (p - 12) > 7 p - 28$
Distribute. 分配法則を使う。	$8 p + 3 p - 36 > 7 p - 28$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$11 p - 36 > 7 p - 28$
Subtract $7 p$ from both sides to collect the variables on the left. 両辺から $7 p$ を引き、変数の項を左辺にまとめる。	$11 p - 36 - 7 p > 7 p - 28 - 7 p$
Simplify. 簡単にする。	$4 p - 36 > −28$
Add 36 to both sides to collect the constants on the right. 両辺に36を足し、定数を右辺にまとめる。	$4 p - 36 + 36 > −28 + 36$
Simplify. 簡単にする。	$4 p > 8$
Divide both sides of the inequality by 4; the inequality stays the same. 不等式の両辺を4で割る。不等号の向きは変わらない。	$\frac{4 p}{4} > \frac{8}{4}$
Simplify. 簡単にする。	$p > 2$
Graph the solution on the number line. 解を数直線上に表す。
Write the solution in interal notation. 解を区間の表記で表す。	$(2, ∞)$

Try It (2)確認問題（2題）

Just like some equations are identities and some are contradictions, inequalities may be identities or contradictions, too. We recognize these forms when we are left with only constants as we solve the inequality. If the result is a true statement, we have an identity. If the result is a false statement, we have a contradiction.

英語のヒント

等式に恒等式や矛盾式があるように、不等式にも常に成り立つものや矛盾するものがある。不等式を解いていて定数だけが残ったときに、これらの形だと分かる。得られた関係が正しければ、常に成り立つ。不正しければ、矛盾している。

Example 2.75例題 2.75

Solve the inequality

8 x - 2 (5 - x) < 4 (x + 9) + 6 x

, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

不等式

8 x - 2 (5 - x) < 4 (x + 9) + 6 x

を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Solution解答

Simplify each side as much as possible. 各辺をできるだけ簡単にする。	$8 x - 2 (5 - x) < 4 (x + 9) + 6 x$
Distribute. 分配法則を使う。	$8 x - 10 + 2 x < 4 x + 36 + 6 x$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$10 x - 10 < 10 x + 36$
Subtract $10 x$ from both sides to collect the variables on the left. 両辺から $10 x$ を引き、変数の項を左辺にまとめる。	$10 x - 10 - 10 x < 10 x + 36 - 10 x$
Simplify. 簡単にする。	$−10 < 36$
The $x$ ’s are gone, and we have a true statement. $x$ がなくなり、正しい関係が得られた。	The inequality is an identity. The solution is all real numbers. この不等式は常に成り立つ。解はすべての実数である。
Graph the solution on the number line. 解を数直線上に表す。
Write the solution in interval notation. 解を区間の表記で表す。	$(−∞, ∞)$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.76例題 2.76

Solve the inequality

\frac{1}{3} a - \frac{1}{8} a > \frac{5}{24} a ​ + \frac{3}{4}

, graph the solution on the number line, and write the solution in interval notation.

英語のヒント

不等式

\frac{1}{3} a - \frac{1}{8} a > \frac{5}{24} a ​ + \frac{3}{4}

を解き、その解を数直線上に表し、区間の表記で表す。

Solution解答


Multiply both sides by the LCD, 24, to clear the fractions. 両辺に最小公分母24を掛けて、分母を払う。
Simplify. 簡単にする。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract $5 a$ from both sides to collect the variables on the left. 両辺から $5 a$ を引き、変数の項を左辺にまとめる。
Simplify. 簡単にする。
The statement is false! この関係は正しくない。	The inequality is a contradiction. この不等式は矛盾している。
	There is no solution. 解はない。
Graph the solution on the number line. 解を数直線上に表す。
Write the solution in interval notation. 解を区間の表記で表す。	There is no solution. 解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate to an Inequality and Solve不等式で表して解く

To translate English sentences into inequalities, we need to recognize the phrases that indicate the inequality. Some words are easy, like ‘more than’ and ‘less than’. But others are not as obvious.

英語のヒント

英文を不等式に置き換えるには、不等号を示す表現を見分ける必要がある。「more than（より多い）」や「less than（より少ない）」のように分かりやすいものもあるが、そうでないものもある。

Think about the phrase ‘at least’ – what does it mean to be ‘at least 21 years old’? It means 21 or more. The phrase ‘at least’ is the same as ‘greater than or equal to’.

英語のヒント

「at least（少なくとも）」という表現を考えよう。「at least 21 years old」は、どういう意味だろうか。21歳、またはそれより上という意味である。「at least」は「greater than or equal to（以上）」と同じである。

Table 2.7 shows some common phrases that indicate inequalities.

英語のヒント

不等号を示す、よく使われる表現を表2.7に示す。

Table 2.7表 2.7
$>$	$\geq$	$<$	$\leq$
is greater than より大きい	is greater than or equal to 以上である	is less than より小さい	is less than or equal to 以下である
is more than より多い	is at least 少なくとも～である	is smaller than より小さい	is at most 多くとも～である
is larger than より大きい	is no less than より少なくない	has fewer than より少ない数のものがある	is no more than より多くない
exceeds を超える	is the minimum が最小値である	is lower than より低い	is the maximum が最大値である

Example 2.77例題 2.77

Translate and solve. Then write the solution in interval notation and graph on the number line.

英語のヒント

不等式で表して解く。次に、解を区間の表記で表し、数直線上に表す。

Twelve times c is no more than 96.

英語のヒント

cの12倍は96以下である。

Solution解答

Translate. 数式で表す。
Solve—divide both sides by 12. 解く。両辺を12で割る。
Simplify. 簡単にする。
Write in interval notation. 区間の表記で表す。
Graph on the number line. 数直線上に表す。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.78例題 2.78

Translate and solve. Then write the solution in interval notation and graph on the number line.

英語のヒント

不等式で表して解く。次に、解を区間の表記で表し、数直線上に表す。

Thirty less than x is at least 45.

英語のヒント

xより30小さい数は少なくとも45である。

Solution解答

Translate. 数式で表す。
Solve—add 30 to both sides. 解く。両辺に30を足す。
Simplify. 簡単にする。
Write in interval notation. 区間の表記で表す。
Graph on the number line. 数直線上に表す。

Try It (2)確認問題（2題）