第2章一次方程式と不等式を解く

Key Concepts重要な概念

General Strategy for Solving Linear Equations
英語のヒント
一次方程式を解く一般的な方針
1. Simplify each side of the equation as much as possible.
  Use the Distributive Property to remove any parentheses.
  Combine like terms.
  英語のヒント
  各辺をできるだけ簡単にする。分配法則で括弧を外し、同類項をまとめる。
2. Collect all the variable terms on one side of the equation.
  Use the Addition or Subtraction Property of Equality.
  英語のヒント
  変数の項をすべて一方の辺にまとめる。等式の加法または減法の性質を使う。
3. Collect all the constant terms on the other side of the equation.
  Use the Addition or Subtraction Property of Equality.
  英語のヒント
  定数項をすべてもう一方の辺にまとめる。等式の加法または減法の性質を使う。
4. Make the coefficient of the variable term to equal to 1.
  Use the Multiplication or Division Property of Equality.
  State the solution to the equation.
  英語のヒント
  変数の項の係数を1にする。等式の乗法または除法の性質を使う。方程式の解を述べる。
5. Check the solution.
  Substitute the solution into the original equation.
  英語のヒント
  解を確かめる。得られた解を元の方程式に代入する。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 232–291練習問題 232–291

Solve Equations Using the General Strategy for Solving Linear Equations

英語のヒント

一次方程式を解く一般的な方針で方程式を解く

In the following exercises, solve each linear equation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの一次方程式を解く。

Exercise 232問題 232

15 (y - 9) = −60

Exercise 233問題 233

21 (y - 5) = −42

Solution解き方

y = 3

Exercise 234問題 234

−9 (2 n + 1) = 36

Exercise 235問題 235

−16 (3 n + 4) = 32

Solution解き方

n = −2

Exercise 236問題 236

8 (22 + 11 r) = 0

Exercise 237問題 237

5 (8 + 6 p) = 0

Solution解き方

p = - \frac{4}{3}

Exercise 238問題 238

− (w - 12) = 30

Exercise 239問題 239

− (t - 19) = 28

Solution解き方

t = −9

Exercise 240問題 240

9 (6 a + 8) + 9 = 81

Exercise 241問題 241

8 (9 b - 4) - 12 = 100

Solution解き方

b = 2

Exercise 242問題 242

32 + 3 (z + 4) = 41

Exercise 243問題 243

21 + 2 (m - 4) = 25

Solution解き方

m = 6

Exercise 244問題 244

51 + 5 (4 - q) = 56

Exercise 245問題 245

−6 + 6 (5 - k) = 15

Solution解き方

k = \frac{3}{2}

Exercise 246問題 246

2 (9 s - 6) - 62 = 16

Exercise 247問題 247

8 (6 t - 5) - 35 = −27

Solution解き方

t = 1

Exercise 248問題 248

3 (10 - 2 x) + 54 = 0

Exercise 249問題 249

−2 (11 - 7 x) + 54 = 4

Solution解き方

x = −2

Exercise 250問題 250

\frac{2}{3} (9 c - 3) = 22

Exercise 251問題 251

\frac{3}{5} (10 x - 5) = 27

Solution解き方

x = 5

Exercise 252問題 252

\frac{1}{5} (15 c + 10) = c + 7

Exercise 253問題 253

\frac{1}{4} (20 d + 12) = d + 7

Solution解き方

d = 1

Exercise 254問題 254

18 - (9 r + 7) = −16

Exercise 255問題 255

15 - (3 r + 8) = 28

Solution解き方

r = −7

Exercise 256問題 256

5 - (n - 1) = 19

Exercise 257問題 257

−3 - (m - 1) = 13

Solution解き方

m = −15

Exercise 258問題 258

11 - 4 (y - 8) = 43

Exercise 259問題 259

18 - 2 (y - 3) = 32

Solution解き方

y = −4

Exercise 260問題 260

24 - 8 (3 v + 6) = 0

Exercise 261問題 261

35 - 5 (2 w + 8) = −10

Solution解き方

w = \frac{1}{2}

Exercise 262問題 262

4 (a - 12) = 3 (a + 5)

Exercise 263問題 263

−2 (a - 6) = 4 (a - 3)

Solution解き方

a = 4

Exercise 264問題 264

2 (5 - u) = −3 (2 u + 6)

Exercise 265問題 265

5 (8 - r) = −2 (2 r - 16)

Solution解き方

r = 8

Exercise 266問題 266

3 (4 n - 1) - 2 = 8 n + 3

Exercise 267問題 267

9 (2 m - 3) - 8 = 4 m + 7

Solution解き方

m = 3

Exercise 268問題 268

12 + 2 (5 - 3 y) = −9 (y - 1) - 2

Exercise 269問題 269

−15 + 4 (2 - 5 y) = −7 (y - 4) + 4

Solution解き方

y = −3

Exercise 270問題 270

8 (x - 4) - 7 x = 14

Exercise 271問題 271

5 (x - 4) - 4 x = 14

Solution解き方

x = 34

Exercise 272問題 272

5 + 6 (3 s - 5) = −3 + 2 (8 s - 1)

Exercise 273問題 273

−12 + 8 (x - 5) = −4 + 3 (5 x - 2)

Solution解き方

x = −6

Exercise 274問題 274

4 (u - 1) - 8 = 6 (3 u - 2) - 7

Exercise 275問題 275

7 (2 n - 5) = 8 (4 n - 1) - 9

Solution解き方

n = −1

Exercise 276問題 276

4 (p - 4) - (p + 7) = 5 (p - 3)

Exercise 277問題 277

3 (a - 2) - (a + 6) = 4 (a - 1)

Solution解き方

a = −4

Exercise 278問題 278

− (9 y + 5) - (3 y - 7)

= 16 - (4 y - 2)

Exercise 279問題 279

− (7 m + 4) - (2 m - 5)

= 14 - (5 m - 3)

Solution解き方

m = −4

Exercise 280問題 280

4 [5 - 8 (4 c - 3)]

= 12 (1 - 13 c) - 8

Exercise 281問題 281

5 [9 - 2 (6 d - 1)]

= 11 (4 - 10 d) - 139

Solution解き方

d = −3

Exercise 282問題 282

3 [−9 + 8 (4 h - 3)]

= 2 (5 - 12 h) - 19

Exercise 283問題 283

3 [−14 + 2 (15 k - 6)]

= 8 (3 - 5 k) - 24

Solution解き方

k = \frac{3}{5}

Exercise 284問題 284

5 [2 (m + 4) + 8 (m - 7)]

= 2 [3 (5 + m) - (21 - 3 m)]

Exercise 285問題 285

10 [5 (n + 1) + 4 (n - 1)]

= 11 [7 (5 + n) - (25 - 3 n)]

Solution解き方

n = −5

Exercise 286問題 286

5 (1.2 u - 4.8) = −12

Exercise 287問題 287

4 (2.5 v - 0.6) = 7.6

Solution解き方

v = 1

Exercise 288問題 288

0.25 (q - 6) = 0.1 (q + 18)

Exercise 289問題 289

0.2 (p - 6) = 0.4 (p + 14)

Solution解き方

p = −34

Exercise 290問題 290

0.2 (30 n + 50) = 28

Exercise 291問題 291

0.5 (16 m + 34) = −15

Solution解き方

m = −4

Exercises 292–311練習問題 292–311

Classify Equations

英語のヒント

等式を分類する

In the following exercises, classify each equation as a conditional equation, an identity, or a contradiction and then state the solution.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの等式を条件付き等式、恒等式、矛盾式のいずれかに分類し、解を述べる。

Exercise 292問題 292

23 z + 19 = 3 (5 z - 9) + 8 z + 46

Exercise 293問題 293

15 y + 32 = 2 (10 y - 7) - 5 y + 46

Solution解き方

identity; all real numbers

英語のヒント

恒等式；すべての実数

Exercise 294問題 294

5 (b - 9) + 4 (3 b + 9) = 6 (4 b - 5) - 7 b + 21

Exercise 295問題 295

9 (a - 4) + 3 (2 a + 5) = 7 (3 a - 4) - 6 a + 7

Solution解き方

identity; all real numbers

英語のヒント

恒等式；すべての実数

Exercise 296問題 296

18 (5 j - 1) + 29 = 47

Exercise 297問題 297

24 (3 d - 4) + 100 = 52

Solution解き方

conditional equation;

d = \frac{2}{3}

英語のヒント

条件付き等式；

d = \frac{2}{3}

Exercise 298問題 298

22 (3 m - 4) = 8 (2 m + 9)

Exercise 299問題 299

30 (2 n - 1) = 5 (10 n + 8)

Solution解き方

conditional equation;

n = 7

英語のヒント

条件付き等式；

n = 7

Exercise 300問題 300

7 v + 42 = 11 (3 v + 8) - 2 (13 v - 1)

Exercise 301問題 301

18 u - 51 = 9 (4 u + 5) - 6 (3 u - 10)

Solution解き方

contradiction; no solution

英語のヒント

矛盾式；解なし

Exercise 302問題 302

3 (6 q - 9) + 7 (q + 4) = 5 (6 q + 8) - 5 (q + 1)

Exercise 303問題 303

5 (p + 4) + 8 (2 p - 1) = 9 (3 p - 5) - 6 (p - 2)

Solution解き方

contradiction; no solution

英語のヒント

矛盾式；解なし

Exercise 304問題 304

12 (6 h - 1) = 8 (8 h + 5) - 4

Exercise 305問題 305

9 (4 k - 7) = 11 (3 k + 1) + 4

Solution解き方

conditional equation;

k = 26

英語のヒント

条件付き等式；

k = 26

Exercise 306問題 306

45 (3 y - 2) = 9 (15 y - 6)

Exercise 307問題 307

60 (2 x - 1) = 15 (8 x + 5)

Solution解き方

contradiction; no solution

英語のヒント

矛盾式；解なし

Exercise 308問題 308

16 (6 n + 15) = 48 (2 n + 5)

Exercise 309問題 309

36 (4 m + 5) = 12 (12 m + 15)

Solution解き方

identity; all real numbers

英語のヒント

恒等式；すべての実数

Exercise 310問題 310

9 (14 d + 9) + 4 d = 13 (10 d + 6) + 3

Exercise 311問題 311

11 (8 c + 5) - 8 c = 2 (40 c + 25) + 5

Solution解き方

identity; all real numbers

英語のヒント

恒等式；すべての実数

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 312–313練習問題 312–313

Exercise 312問題 312

Fencing Micah has 44 feet of fencing to make a dog run in his yard. He wants the length to be 2.5 feet more than the width. Find the length, L, by solving the equation

2 L + 2 (L - 2.5) = 44

英語のヒント

柵　マイカは、庭に犬の運動場を作るための柵を44フィート分持っている。縦の長さを横幅より2.5フィート長くしたい。方程式

2 L + 2 (L - 2.5) = 44

を解き、縦の長さLを求める。

Exercise 313問題 313

Coins Rhonda has $1.90 in nickels and dimes. The number of dimes is one less than twice the number of nickels. Find the number of nickels, n, by solving the equation

0.05 n + 0.10 (2 n - 1) = 1.90

英語のヒント

硬貨　ロンダは5セント硬貨と10セント硬貨を、合計1.90ドル持っている。10セント硬貨の枚数は、5セント硬貨の枚数の2倍より1枚少ない。方程式

0.05 n + 0.10 (2 n - 1) = 1.90

を解き、5セント硬貨の枚数nを求める。

Solution解き方

8 nickels

英語のヒント

8枚の5セント硬貨

Writing Exercises記述問題

Exercises 314–317練習問題 314–317

Exercise 314問題 314

Using your own words, list the steps in the general strategy for solving linear equations.

英語のヒント

一次方程式を解く一般的な方針の手順を、自分の言葉で列挙する。

Exercise 315問題 315

Explain why you should simplify both sides of an equation as much as possible before collecting the variable terms to one side and the constant terms to the other side.

英語のヒント

変数の項を一方の辺に、定数項を他方の辺に集める前に、両辺をできるだけ簡単にすべき理由を説明せよ。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 316問題 316

What is the first step you take when solving the equation

3 - 7 (y - 4) = 38

? Why is this your first step?

英語のヒント

方程式

3 - 7 (y - 4) = 38

を解くとき、最初にどのような手順を踏むか。それを最初に行うのはなぜか。

Exercise 317問題 317

Solve the equation

\frac{1}{4} (8 x + 20) = 3 x - 4

explaining all the steps of your solution as in the examples in this section.

英語のヒント

方程式

\frac{1}{4} (8 x + 20) = 3 x - 4

を解き、この節の例題と同じように、解法のすべての手順を説明する。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objective of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

3行4列の表。見出し行である第1行には、左から「できること」「自信を持ってできる」「少し助けがあればできる」「できない、分からない」とある。「できること」の下の第1列には、「一次方程式を解く一般的な方針で方程式を解く」「等式を分類する」とある。残りのセルは空欄。

ⓑ On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?

英語のヒント

ⓑ チェックリストへの回答を踏まえ、この節の習得度を1から10で評価すると、いくつになるか。どうすれば、もっと身に付けられるか。

conditional equation

条件付き等式

An equation that is true for one or more values of the variable and false for all other values of the variable is a conditional equation.

英語のヒント

変数の1つ以上の値で成り立ち、それ以外のすべての値では成り立たない等式を、条件付き等式という。

contradiction

矛盾式

An equation that is false for all values of the variable is called a contradiction. A contradiction has no solution.

英語のヒント

変数のどの値でも成り立たない等式を、矛盾式という。矛盾式には解がない。

identity

恒等式

An equation that is true for any value of the variable is called an identity. The solution of an identity is all real numbers.

英語のヒント

変数がどのような値でも成り立つ等式を、恒等式という。恒等式の解は、すべての実数である。