第2章一次方程式と不等式を解く

2.5 Solve Equations with Fractions or Decimals2.5　分数や小数を含む方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve equations with fraction coefficients
英語のヒント
係数が分数の方程式を解く
Solve equations with decimal coefficients
英語のヒント
係数が小数の方程式を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Equations with Fraction Coefficients係数が分数の方程式を解く

Let’s use the general strategy for solving linear equations introduced earlier to solve the equation,

\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

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先ほど紹介した、一次方程式を解く一般的な方針を使って、方程式

\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

を解こう。


To isolate the $x$ term, subtract $\frac{1}{2}$ from both sides. $x$ の項だけを残すため、両辺から $\frac{1}{2}$ を引く。
Simplify the left side. 左辺を簡単にする。
Change the constants to equivalent fractions with the LCD. 定数を、最小公分母を分母とする大きさの等しい分数に直す。
Subtract. 引く。
Multiply both sides by the reciprocal of $\frac{1}{8}$ . 両辺にthe reciprocal of $\frac{1}{8}$ を掛ける。
Simplify. 簡単にする。

This method worked fine, but many students do not feel very confident when they see all those fractions. So, we are going to show an alternate method to solve equations with fractions. This alternate method eliminates the fractions.

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この方法でも問題なく解けたが、これだけの分数を見ると自信が持てなくなる学生は多い。そこで、分数を含む方程式を解く別の方法を示す。この方法では分数をなくす。

We will apply the Multiplication Property of Equality and multiply both sides of an equation by the least common denominator of all the fractions in the equation. The result of this operation will be a new equation, equivalent to the first, but without fractions. This process is called “clearing” the equation of fractions.

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等式の乗法の性質を使って、方程式に現れるすべての分数の最小公分母を、両辺に掛ける。この操作により、元の方程式と同値で、分数を含まない新しい方程式が得られる。この過程を、方程式の「分母を払う」という。

Let’s solve a similar equation, but this time use the method that eliminates the fractions.

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似た方程式を、今度は分数をなくす方法で解こう。

Example 2.48例題 2.48

How to Solve Equations with Fraction Coefficients分数の係数を含む方程式の解き方

Solve:

\frac{1}{6} y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

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次の方程式を解く：

\frac{1}{6} y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

。

Solution解答

3列3行の表。第1列は見出し列で、各手順の番号と名前がある。第2列には詳しい指示、第3列には数式がある。最上段の左のセルには「手順1　方程式に現れるすべての分数の最小公分母を求める」とある。第2セルには「1/6、1/3、5/6の最小公分母はいくつか」とある。第3セルには(1/6)y−1/3＝5/6があり、その隣に「最小公分母＝6」とある。

表の第2行。第1セルには「手順2　方程式の両辺に最小公分母を掛ける。これで分母が払われる」とある。第2セルには「方程式の両辺に最小公分母6を掛ける。分配法則を使う。簡単にする。分数がなくなったことに注目する」とある。第3セルには6[(1/6)y−1/3]＝6×(5/6)があり、両辺の「6×」は赤色で書かれている。その下に、6を分配した6×(1/6)y−6×(1/3)＝6×(5/6)がある。さらに下にy−2＝5がある。

表の第3行。第1セルには「手順3　一次方程式を解く一般的な方針で解く」とある。第2セルには「xの項だけにするため、2を足す。簡単にする」とある。第3セルには、両辺に2を足したy−2＋2＝5＋2があり、両辺の「＋2」は赤色で書かれている。その下にy＝7がある。

Try It (2)確認問題（2題）

Notice in Example 2.48, once we cleared the equation of fractions, the equation was like those we solved earlier in this chapter. We changed the problem to one we already knew how to solve! We then used the General Strategy for Solving Linear Equations.

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例題2.48では、分母を払うと、この章で先に解いたものと同じ形の方程式になった。すでに解き方を知っている問題に変えたのである。その後で、一次方程式を解く一般的な方針を使った。

Example 2.49例題 2.49

Solve:

6 = \frac{1}{2} v + \frac{2}{5} v - \frac{3}{4} v

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次の方程式を解く：

6 = \frac{1}{2} v + \frac{2}{5} v - \frac{3}{4} v

。

Solution解答

We want to clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD of all the fractions in the equation.

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方程式中のすべての分数の最小公分母を両辺に掛けて、分数を取り除く。

Find the LCD of all fractions in the equation. 方程式に現れるすべての分数の最小公分母を求める。
The LCD is 20. 最小公分母は20である。
Multiply both sides of the equation by 20. 方程式の両辺に20を掛ける。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify—notice, no more fractions! 簡単にする。分数がなくなったことに注目する。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Divide by 3. 3で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $v = 40$ . $v = 40$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we again have variables on both sides of the equation.

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次の例題では、再び変数が両辺に現れる。

Example 2.50例題 2.50

Solve:

a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8} a - \frac{1}{2}

英語のヒント

次の方程式を解く：

a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8} a - \frac{1}{2}

。

Solution解答


Find the LCD of all fractions in the equation. The LCD is 8. 方程式に現れるすべての分数の最小公分母を求める。最小公分母は8である。
Multiply both sides by the LCD. 両辺にthe LCDを掛ける。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify—no more fractions. 簡単にする。分数はなくなった。
Subtract $3 a$ from both sides. 両辺から $3 a$ を引く。
Simplify. 簡単にする。
Subtract 6 from both sides. 両辺から6を引く。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 5. 5で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $a = −2$ . $a = −2$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we start by using the Distributive Property. This step clears the fractions right away.

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次の例題では、まず分配法則を使う。この手順ですぐに分数がなくなる。

Example 2.51例題 2.51

Solve:

−5 = \frac{1}{4} (8 x + 4)

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次の方程式を解く：

−5 = \frac{1}{4} (8 x + 4)

。

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. Now there are no fractions. 簡単にする。これで分数はなくなった。
Subtract 1 from both sides. 両辺から1を引く。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 2. 2で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $x = −3$ . $x = −3$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, even after distributing, we still have fractions to clear.

英語のヒント

次の例題では、分配法則を使った後でも、払うべき分母が残っている。

Example 2.52例題 2.52

Solve:

\frac{1}{2} (y - 5) = \frac{1}{4} (y - 1)

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{1}{2} (y - 5) = \frac{1}{4} (y - 1)

。

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。
Multiply by the LCD, 4. 最小公分母4を掛ける。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。
Collect the variables to the left. 変数を左辺にまとめる。
Simplify. 簡単にする。
Collect the constants to the right. 定数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $y = 9$ . $y = 9$ とおく。
Finish the check on your own. 確認の残りを自分で行う。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.53例題 2.53

Solve:

\frac{5 x - 3}{4} = \frac{x}{2}

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{5 x - 3}{4} = \frac{x}{2}

。

Solution解答


Multiply by the LCD, 4. 最小公分母4を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Collect the variables to the right. 変数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide. 割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $x = 1$ . $x = 1$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.54例題 2.54

Solve:

\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3

。

Solution解答


Multiply by the LCD, 12. 最小公分母12を掛ける。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。
Collect the variables to the right. 変数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Collect the constants to the left. 定数を左辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $a = −12$ . $a = −12$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.55例題 2.55

Solve:

\frac{4 q + 3}{2} + 6 = \frac{3 q + 5}{4}

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{4 q + 3}{2} + 6 = \frac{3 q + 5}{4}

。

Solution解答


Multiply by the LCD, 4. 最小公分母4を掛ける。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。
Collect the variables to the left. 変数を左辺にまとめる。
Simplify. 簡単にする。
Collect the constants to the right. 定数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 5. 5で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Let $q = −5$ . $q = −5$ とおく。
Finish the check on your own. 確認の残りを自分で行う。

Try It (2)確認問題（2題）

第2章一次方程式と不等式を解く

2.5 Solve Equations with Fractions or Decimals2.5 分数や小数を含む方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Equations with Fraction Coefficients係数が分数の方程式を解く

How to Solve Equations with Fraction Coefficients分数の係数を含む方程式の解き方

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2.5 Solve Equations with Fractions or Decimals2.5　分数や小数を含む方程式を解く