第1章基礎

1.6 Add and Subtract Fractions1.6　分数の加法と減法

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Add or subtract fractions with a common denominator
英語のヒント
分母が同じ分数を足す・引く
Add or subtract fractions with different denominators
英語のヒント
分母が異なる分数を足す・引く
Use the order of operations to simplify complex fractions
英語のヒント
計算の順序に従って繁分数を簡単にする
Evaluate variable expressions with fractions
英語のヒント
分数を含む文字式の値を求める

Before You Begin学習の準備

Add or Subtract Fractions with a Common Denominator分母が同じ分数を足す・引く

When we multiplied fractions, we just multiplied the numerators and multiplied the denominators right straight across. To add or subtract fractions, they must have a common denominator.

英語のヒント

分数の掛け算では、分子同士と分母同士をそのまま掛けた。しかし足し算や引き算では、分母が共通でなければならない。

Additional Resources追加教材

Example 1.77例題 1.77

Find the sum:

\frac{x}{3} + \frac{2}{3} .

英語のヒント

和を求める：

\frac{x}{3} + \frac{2}{3}

Solution解答

Table 1.23表 1.23
	$\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$
Add the numerators and place the sum over the common denominator. 分子どうしをたし、その和を共通の分母の上に書く。	$\frac{x + 2}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.78例題 1.78

Find the difference:

- \frac{23}{24} - \frac{13}{24} .

英語のヒント

差を求める：

- \frac{23}{24} - \frac{13}{24}

Solution解答

	$- \frac{23}{24} - \frac{13}{24}$
Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分子どうしを引き、その差を共通の分母の上に書く。	$\frac{−23 - 13}{24}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{−36}{24}$
Simplify. Remember, $- \frac{a}{b} = \frac{− a}{b}$ . 簡単にする。 $- \frac{a}{b} = \frac{− a}{b}$ を思い出そう。	$- \frac{3}{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.79例題 1.79

Simplify:

- \frac{10}{x} - \frac{4}{x} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

- \frac{10}{x} - \frac{4}{x}

Solution解答

	$- \frac{10}{x} - \frac{4}{x}$
Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分子どうしを引き、その差を共通の分母の上に書く。	$\frac{−14}{x}$
Rewrite with the sign in front of the fraction. 符号を分数の前に置いて書き直す。	$- \frac{14}{x}$

Try It (2)確認問題（2題）

Now we will do an example that has both addition and subtraction.

英語のヒント

今度は、足し算と引き算の両方を含む例を扱う。

Example 1.80例題 1.80

Simplify:

\frac{3}{8} + (- \frac{5}{8}) - \frac{1}{8} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{3}{8} + (- \frac{5}{8}) - \frac{1}{8}

Solution解答

Table 1.24表 1.24
Add and subtract fractions—do they have a common denominator? Yes. 分数を足し引きする。分母は共通か。はい。	$\frac{3}{8} + (- \frac{5}{8}) - \frac{1}{8}$
Add and subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分子を足し引きし、得られた差を共通の分母の上に置く。	$\frac{3 + (−5) - 1}{8}$
Simplify left to right. 左から右へ簡単にする。	$\frac{−2 - 1}{8}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{3}{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

Add or Subtract Fractions with Different Denominators分母が異なる分数を足す・引く

As we have seen, to add or subtract fractions, their denominators must be the same. The least common denominator (LCD) of two fractions is the smallest number that can be used as a common denominator of the fractions. The LCD of the two fractions is the least common multiple (LCM) of their denominators.

英語のヒント

これまでに見たように、分数の足し算や引き算には同じ分母が必要である。二つの分数の最小公分母（LCD）とは、共通の分母として使える最も小さい数である。それは、二つの分母の最小公倍数（LCM）に等しい。

Additional Resources追加教材

After we find the least common denominator of two fractions, we convert the fractions to equivalent fractions with the LCD. Putting these steps together allows us to add and subtract fractions because their denominators will be the same!

英語のヒント

二つの分数の最小公分母を求めたら、それを分母とする等しい分数に直す。この手順で分母をそろえると、足し算や引き算ができる。

Example 1.81例題 1.81

How to Add or Subtract Fractions分数を足す・引く方法

Add:

\frac{7}{12} + \frac{5}{18} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{7}{12} + \frac{5}{18}

Solution解答

左に手順、中央にヒントや説明、右に数式を示した表。最初は「手順1．分母は共通か。いいえ――各分数を最小公分母（LCD）を使って書き直す」。中央は「いいえ。12と18の最小公分母を求める」。右に12＝2×2×3、18＝2×3×3、最小公分母＝2×2×3×3＝36とある。さらに「最小公分母を持つ等しい分数に直す。通分した分数は約分しない。約分すると元の分数に戻り、共通の分母がなくなる」というヒントがある。右には7/12＋5/18＝(7×3)/(12×3)＋(5×2)/(18×2)＝21/36＋10/36と示されている。

次の手順は「手順2．分数を足すか引く」。ヒントは「足す」、式は31/36である。

最後の手順は「手順3．可能なら約分する」。説明には「31は素数で36との共通の因数がないので、この答えはこれ以上約分できない」とある。

Try It (2)確認問題（2題）

When finding the equivalent fractions needed to create the common denominators, there is a quick way to find the number we need to multiply both the numerator and denominator. This method works if we found the LCD by factoring into primes.

英語のヒント

共通の分母を持つ等しい分数に直すとき、分子と分母に掛ける数をすぐに見つける方法がある。素因数分解で最小公分母を求めた場合に使える。

Look at the factors of the LCD and then at each column above those factors. The “missing” factors of each denominator are the numbers we need.

英語のヒント

最小公分母の素因数と、その上に並ぶ列を見よう。各分母で「足りない」因数が、必要な数である。

12を2×2×3と分解して3の後に空欄を置き、18を2×3×3と分解して2と最初の3の間に空欄を置いている。空欄を指す矢印には「足りない因数」とある。最小公分母は2×2×3×3＝36と示されている。12と18の素因数のうち、共通する最初の2と最初の3は一度だけ数えている。

In Example 1.81, the LCD, 36, has two factors of 2 and two factors of

3 .

英語のヒント

例題1.81の最小公分母36には、因数2が二つ、因数

3

が二つある。

The numerator 12 has two factors of 2 but only one of 3—so it is “missing” one 3—we multiply the numerator and denominator by 3.

英語のヒント

分子12には因数2が二つあるが、3は一つしかない。3が一つ「足りない」ので、分子と分母に3を掛ける。

The numerator 18 is missing one factor of 2—so we multiply the numerator and denominator by 2.

英語のヒント

分子18には因数2が一つ足りないので、分子と分母に2を掛ける。

We will apply this method as we subtract the fractions in Example 1.82.

英語のヒント

例題1.82の分数の引き算で、この方法を使ってみよう。

Example 1.82例題 1.82

Subtract:

\frac{7}{15} - \frac{19}{24} .

英語のヒント

次の減法を計算する：

\frac{7}{15} - \frac{19}{24}

Solution解答

Do the fractions have a common denominator? No, so we need to find the LCD.

英語のヒント

分数の分母は共通か。いいえ。したがって最小公分母を求める必要がある。

Find the LCD. 最小公分母を求める。
Notice, 15 is “missing” three factors of 2 and 24 is “missing” the 5 from the factors of the LCD. So we multiply 8 in the first fraction and 5 in the second fraction to get the LCD. 最小公分母の因数のうち、15には2が三つ足りず、24には5が足りない。そこで、最初の分数に8、二つ目の分数に5を掛け、最小公分母にそろえる。
Rewrite as equivalent fractions with the LCD. 最小公分母を分母とする、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Subtract. 引く。	$− \frac{39}{120}$
Check to see if the answer can be simplified. 答えを約分できるか確かめる。	$− \frac{13 \cdot 3}{40 \cdot 3}$
Both 39 and 120 have a factor of 3. 39と120には、どちらも因数3がある。
Simplify. 簡単にする。	$− \frac{13}{40}$

Do not simplify the equivalent fractions! If you do, you’ll get back to the original fractions and lose the common denominator!

英語のヒント

通分した分数は約分しない。約分すると元の分数に戻り、共通の分母がなくなってしまう。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, one of the fractions has a variable in its numerator. Notice that we do the same steps as when both numerators are numbers.

英語のヒント

次の例では、一方の分数の分子に変数がある。両方の分子が数であるときと、同じ手順を踏むことに注目しよう。

Example 1.83例題 1.83

Add:

\frac{3}{5} + \frac{x}{8} .

英語のヒント

次の加法を計算する：

\frac{3}{5} + \frac{x}{8}

Solution解答

The fractions have different denominators.

英語のヒント

分数の分母が異なっている。


Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite as equivalent fractions with the LCD. 最小公分母を分母とする、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Add. 足す。

Remember, we can only add like terms: 24 and 5x are not like terms.

英語のヒント

まとめて足せるのは同類項だけである。24と5xは同類項ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

We now have all four operations for fractions. Table 1.25 summarizes fraction operations.

英語のヒント

これで分数の四則演算がすべて揃った。表1.25にまとめを示す。

Table 1.25表 1.25
Fraction Multiplication 分数のかけ算	Fraction Division 分数のわり算
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ Multiply the numerators and multiply the denominators $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ 　分子同士と分母同士を掛ける。	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ 　最初の分数に二つ目の分数の逆数を掛ける。
Fraction Addition 分数のたし算	Fraction Subtraction 分数のひき算
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ Add the numerators and place the sum over the common denominator. $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ 　分子を足し、その和を共通の分母の上に置く。	$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ 　分子を引き、その差を共通の分母の上に置く。
To multiply or divide fractions, an LCD is NOT needed. To add or subtract fractions, an LCD is needed. 分数の乗法や除法には、最小公分母は不要である。分数の加法や減法には、最小公分母が必要である。

Example 1.84例題 1.84

Simplify: ⓐ

\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}

ⓑ

\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}

ⓑ

\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}

Solution解答

First ask, “What is the operation?” Once we identify the operation that will determine whether we need a common denominator. Remember, we need a common denominator to add or subtract, but not to multiply or divide.

英語のヒント

まず「何の演算か」と考える。それが分かれば、共通の分母が必要かどうかも決まる。足し算や引き算には共通の分母が必要だが、掛け算や割り算には不要である。

ⓐ What is the operation? The operation is subtraction.
Do the fractions have a common denominator? No.
Rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD.
Subtract the numerators and place the difference over the common denominators.
Simplify, if possible.
There are no common factors. The fraction is simplified.

ⓐ 何の演算か。引き算である。分母は共通か。いいえ。各分数を、最小公分母を持つ等しい分数に直す。分子を引き、差を共通の分母の上に置く。可能なら約分する。共通の因数がないので、これ以上約分できない。

\begin{matrix} \frac{5 x}{6} - \frac{3}{10} \\ \frac{5 x \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} \\ \frac{25 x}{30} - \frac{9}{30} \\ \frac{25 x - 9}{30} \end{matrix}

ⓑ What is the operation? Multiplication.
To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators.
Rewrite, showing common factors. Remove common factors.
Simplify.

ⓑ 何の演算か。掛け算である。分子同士と分母同士を掛ける。共通の因数が分かるように書き直す。共通の因数を取り除く。簡単にする。

\begin{matrix} \frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10} \\ \frac{5 x \cdot 3}{6 \cdot 10} \\ \frac{5 x \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5} \\ \frac{x}{4} \end{matrix}

Notice we needed an LCD to add

\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10},

but not to multiply

\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10} .

英語のヒント

\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}

を足すには最小公分母が必要だったが、

\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}

を掛けるには必要なかったことに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

第1章基礎

1.6 Add and Subtract Fractions1.6 分数の加法と減法

Learning Objectives学習目標

Add or Subtract Fractions with a Common Denominator分母が同じ分数を足す・引く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Add or Subtract Fractions with Different Denominators分母が異なる分数を足す・引く

How to Add or Subtract Fractions分数を足す・引く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

1.6 Add and Subtract Fractions1.6　分数の加法と減法