第1章基礎

Simplify Expressions Using the Order of Operations計算の順序に従って式を簡単にする

To simplify an expression means to do all the math possible. For example, to simplify

4 \cdot 2 + 1

we’d first multiply

4 \cdot 2

to get 8 and then add the 1 to get 9. A good habit to develop is to work down the page, writing each step of the process below the previous step. The example just described would look like this:

英語のヒント

式を簡単にするとは、できる計算をすべて行うことである。たとえば

4 \cdot 2 + 1

を簡単にするには、まず

4 \cdot 2

を計算して8とし、次に1を加えて9を得る。途中の各段階を一つ前の段階の下に書き、紙面の上から下へ進める習慣を付けるとよい。今の例は、次のようになる。

\begin{matrix} 4 \cdot 2 + 1 \\ 8 + 1 \\ 9 \end{matrix}

By not using an equal sign when you simplify an expression, you may avoid confusing expressions with equations.

英語のヒント

式を簡単にするときに等号を使わなければ、式と等式の混同を避けやすい。

We’ve introduced most of the symbols and notation used in algebra, but now we need to clarify the order of operations. Otherwise, expressions may have different meanings, and they may result in different values. For example, consider the expression:

英語のヒント

代数で使う記号や表記の大部分を紹介したので、次は演算の順序を明確にしよう。そうしなければ、一つの式が異なる意味や値を持つことになってしまう。たとえば、次の式を考えよう。

4 + 3 \cdot 7

If you simplify this expression, what do you get?

英語のヒント

この式を簡単にすると、いくつになるだろうか。

Some students say 49,

英語のヒント

49だと答える学生もいる。

\begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ Since 4 + 3 gives 7 . & 7 \cdot 7 \\ And 7 \cdot 7 is 49 . & 49 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ 次より： 4 + 3 から得られる値は 7 . & 7 \cdot 7 \\ また 7 \cdot 7 は 49 . & 49 \end{matrix}

Others say 25,

英語のヒント

25だと答える学生もいる。

\begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ Since 3 \cdot 7 is 21 . & 4 + 21 \\ And 21 + 4 makes 25 . & 25 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ 次より： 3 \cdot 7 は 21 . & 4 + 21 \\ また 21 + 4 の計算結果は 25 . & 25 \end{matrix}

Imagine the confusion in our banking system if every problem had several different correct answers!

英語のヒント

もし一つ一つの問題に異なる正解がいくつもあったら、銀行の仕組みがどれほど混乱するか想像してみよう。

The same expression should give the same result. So mathematicians early on established some guidelines that are called the Order of Operations.

英語のヒント

同じ式からは同じ結果が得られるべきである。そのため、数学者は早くから「演算の順序」と呼ばれる決まりを定めた。

Perform the Order of Operations.演算の順序に従って計算する。

Parentheses and Other Grouping Symbols
英語のヒント
丸括弧とその他のまとまりを示す記号
- Simplify all expressions inside the parentheses or other grouping symbols, working on the innermost parentheses first.
  英語のヒント
  丸括弧などの括弧の内側の式をすべて簡単にする。最も内側の括弧から始める。
Exponents
英語のヒント
Exponents（指数）
- Simplify all expressions with exponents.
  英語のヒント
  指数を含む式をすべて簡単にする。
Multiplication and Division
英語のヒント
Multiplication and Division（掛け算と割り算）
- Perform all multiplication and division in order from left to right. These operations have equal priority.
  英語のヒント
  掛け算と割り算をすべて、左から右の順に行う。これらの演算の優先順位は同じである。
Addition and Subtraction
英語のヒント
Addition and Subtraction（足し算と引き算）
- Perform all addition and subtraction in order from left to right. These operations have equal priority.
  英語のヒント
  足し算と引き算をすべて、左から右の順に行う。これらの演算の優先順位は同じである。

Additional Resources追加教材

Students often ask, “How will I remember the order?” Here is a way to help you remember: Take the first letter of each key word and substitute the silly phrase: “Please Excuse My Dear Aunt Sally.”

英語のヒント

学生からはよく、「どうすれば順序を覚えられるのか」と質問が出る。覚える助けになる方法を紹介しよう。各キーワードの頭文字を、Please Excuse My Dear Aunt Sallyという少しおかしな句の頭文字に対応させる。

\begin{matrix} P arentheses & P lease \\ E xponents & E xcuse \\ M ultiplication D ivision & M y D ear \\ A ddition S ubtraction & A unt S ally \end{matrix}

\begin{matrix} P arentheses（括弧） & P lease（どうか） \\ E xponents（指数） & E xcuse（許してください） \\ M ultiplication（掛け算） D ivision（割り算） & M y（私の） D ear（親愛なる） \\ A ddition（足し算） S ubtraction（引き算） & A unt（おば） S ally（サリー） \end{matrix}

It’s good that “My Dear” goes together, as this reminds us that multiplication and division have equal priority. We do not always do multiplication before division or always do division before multiplication. We do them in order from left to right.

英語のヒント

My Dearがひとまとまりになっているのは、乗法と除法の優先順位が同じことを思い出すのに役立つ。いつも乗法を先に、あるいは除法を先に行うわけではない。左から右へ順に計算する。

Similarly, “Aunt Sally” goes together and so reminds us that addition and subtraction also have equal priority and we do them in order from left to right.

英語のヒント

同様にAunt Sallyもひとまとまりであり、加法と減法の優先順位も同じで、左から右へ順に計算することを思い出させてくれる。

Let’s try an example.

英語のヒント

例題に取り組もう。

Example 1.15例題 1.15

Simplify: ⓐ

4 + 3 \cdot 7

ⓑ

(4 + 3) \cdot 7 .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

4 + 3 \cdot 7

ⓑ

(4 + 3) \cdot 7

Solution解答

ⓐ


Are there any parentheses? No. 丸括弧はあるか。ない。
Are there any exponents? No. 指数はあるか。ない。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply first. まず掛ける。
Add. 足す。

ⓑ


Are there any parentheses? Yes. 丸括弧はあるか。ある。
Simplify inside the parentheses. 丸括弧の内側を簡単にする。
Are there any exponents? No. 指数はあるか。ない。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply. 掛ける。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.16例題 1.16

Simplify:

18 \div 6 + 4 (5 - 2) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

18 \div 6 + 4 (5 - 2)

Solution解答

Parentheses? Yes, subtract first. 丸括弧はあるか。あるので、まず引く。	$18 \div 6 + 4 (5 - 2)$
Exponents? No. 指数はあるか。ない。
Multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Divide first because we multiply and divide left to right. 掛け算と割り算は左から右に行うので、まず割る。
Any other multiplication or division? Yes. ほかに掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply. 掛ける。
Any other multiplication or division? No. ほかに掛け算や割り算はあるか。ない。
Any addition or subtraction? Yes. 足し算や引き算はあるか。ある。

Try It (2)確認問題（2題）

When there are multiple grouping symbols, we simplify the innermost parentheses first and work outward.

英語のヒント

括弧が複数あるときは、最も内側の括弧を先に簡単にし、外側へ進める。

Example 1.17例題 1.17

Simplify:

5 + 2^{3} + 3 [6 - 3 (4 - 2)] .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

5 + 2^{3} + 3 [6 - 3 (4 - 2)]

Solution解答


Are there any parentheses (or other grouping symbol)? Yes. 丸括弧、またはほかの括弧はあるか。ある。
Focus on the parentheses that are inside the brackets. 角括弧の内側にある丸括弧に注目する。
Subtract. 引く。
Continue inside the brackets and multiply. 角括弧の内側で続けて掛ける。
Continue inside the brackets and subtract. 角括弧の内側で続けて引く。
The expression inside the brackets requires no further simplification. 角括弧の内側の式は、これ以上簡単にする必要はない。
Are there any exponents? Yes. 指数はあるか。ある。
Simplify exponents. 累乗を計算する。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply. 掛ける。
Is there any addition or subtraction? Yes. 足し算や引き算はあるか。ある。
Add. 足す。
Add. 足す。

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate an Expression式の値を求める

In the last few examples, we simplified expressions using the order of operations. Now we’ll evaluate some expressions—again following the order of operations. To evaluate an expression means to find the value of the expression when the variable is replaced by a given number.

英語のヒント

ここまでのいくつかの例では、演算の順序に従って式を簡単にした。今度は、同じように演算の順序を守りながら式の値を求めよう。式の値を求めるとは、変数を与えられた数に置き換えたときの値を計算することである。

To evaluate an expression, substitute that number for the variable in the expression and then simplify the expression.

英語のヒント

式の値を求めるには、式の変数に指定された数を代入し、その式を簡単にする。

Example 1.18例題 1.18

Evaluate

7 x - 4,

when ⓐ

x = 5

and ⓑ

x = 1 .

英語のヒント

ⓐ

x = 5

、ⓑ

x = 1

のとき、

7 x - 4

の値を求めよ。

Solution解答

ⓐ



Multiply. 掛ける。
Subtract. 引く。

ⓑ



Multiply. 掛ける。
Subtract. 引く。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.19例題 1.19

Evaluate the following for

x = 4,

when ⓐ

x^{2}

ⓑ

3^{x} .

英語のヒント

x = 4

のとき、ⓐ

x^{2}

、ⓑ

3^{x}

の値を求めよ。

Solution解答

ⓐ

	$x^{2}$

Use definition of exponent. 指数の定義を使う。	$4 \cdot 4$
Simplify. 簡単にする。	$16$

ⓑ

	$3^{x}$

Use definition of exponent. 指数の定義を使う。	$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
Simplify. 簡単にする。	$81$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.20例題 1.20

Evaluate

2 x^{2} + 3 x + 8

when

x = 4 .

英語のヒント

x = 4

のとき、

2 x^{2} + 3 x + 8

の値を求めよ。

Solution解答

	$2 x^{2} + 3 x + 8$

Follow the order of operations. 演算の順序に従う。	$2 (16) + 3 (4) + 8$
	$32 + 12 + 8$
	$52$

Try It (2)確認問題（2題）