第1章基礎

Use the Identity and Inverse Properties of Addition and Multiplication加法・乗法の単位元と逆元の性質を使う

What happens when we add 0 to any number? Adding 0 doesn’t change the value. For this reason, we call 0 the additive identity.

英語のヒント

どんな数にも0を足すとどうなるだろうか。0を足しても値は変わらない。このため、0を加法の単位元という。

For example,

英語のヒント

例えば、

\begin{matrix} 13 + 0 & −14 + 0 & 0 + (−8) \\ 13 & - 14 & - 8 \end{matrix}

These examples illustrate the Identity Property of Addition that states that for any real number

a,

a + 0 = a

and

0 + a = a .

英語のヒント

これらは加法の単位元の性質を示す。任意の実数

a

について、

a + 0 = a

かつ

0 + a = a

である。

What happens when we multiply any number by one? Multiplying by 1 doesn’t change the value. So we call 1 the multiplicative identity.

英語のヒント

どんな数にも1を掛けるとどうなるだろうか。1を掛けても値は変わらない。そこで、1を乗法の単位元という。

For example,

英語のヒント

例えば、

\begin{matrix} 43 \cdot 1 & - 27 \cdot 1 & 1 \cdot \frac{3}{5} \\ 43 & - 27 & \frac{3}{5} \end{matrix}

These examples illustrate the Identity Property of Multiplication that states that for any real number

a,

a \cdot 1 = a

and

1 \cdot a = a .

英語のヒント

これらは乗法の単位元の性質を示す。任意の実数

a

について、

a \cdot 1 = a

かつ

1 \cdot a = a

である。

We summarize the Identity Properties below.

英語のヒント

単位元の性質を次にまとめる。

最初に「5に何を足すと、加法の単位元0になるか」と問い、次の行に5＋空欄＝0、その下に「5＋(−5)＝0と分かる」とある。次に「−6に何を足すと、加法の単位元0になるか」と問い、−6＋空欄＝0、その下に「−6＋6＝0と分かる」とある。

Notice that in each case, the missing number was the opposite of the number!

英語のヒント

どちらも、空欄に入るのは元の数の符号を逆にした数である。

We call

− a .

the additive inverse of a. The opposite of a number is its additive inverse. A number and its opposite add to zero, which is the additive identity. This leads to the Inverse Property of Addition that states for any real number

a, a + (− a) = 0 .

Remember, a number and its opposite add to zero.

英語のヒント

− a

をaの加法の逆元という。ある数の符号を逆にした数が、その加法の逆元である。二つを足すと、加法の単位元0になる。ここから、任意の実数

a, a + (− a) = 0

という加法の逆元の性質が得られる。ある数と、その符号を逆にした数の和はゼロである。

What number multiplied by

\frac{2}{3}

gives the multiplicative identity, 1? In other words,

\frac{2}{3}

times what results in 1?

英語のヒント

\frac{2}{3}

に何を掛ければ、乗法の単位元1になるだろうか。つまり、

\frac{2}{3}

に何を掛けると1になるか。

What number multiplied by 2 gives the multiplicative identity, 1? In other words 2 times what results in 1?

英語のヒント

2に何を掛ければ、乗法の単位元1になるだろうか。つまり、2に何を掛けると1になるか。

Notice that in each case, the missing number was the reciprocal of the number!

英語のヒント

どちらも、空欄に入るのは元の数の逆数である。

We call

\frac{1}{a}

the multiplicative inverse of a. The reciprocal of $a$ number is its multiplicative inverse. A number and its reciprocal multiply to one, which is the multiplicative identity. This leads to the Inverse Property of Multiplication that states that for any real number

a, a \neq 0, a \cdot \frac{1}{a} = 1 .

英語のヒント

\frac{1}{a}

をaの乗法の逆元という。数

a

の逆数が、その乗法の逆元である。ある数とその逆数を掛けると、乗法の単位元1になる。ここから、任意の実数

a, a \neq 0, a \cdot \frac{1}{a} = 1

という乗法の逆元の性質が得られる。

We’ll formally state the inverse properties here:

英語のヒント

逆元の性質を、次のように正式にまとめる。

Inverse Property逆元の性質

Table 1.44表 1.44
of addition 加法について	For any real number $a$ , $− a$ is the additive inverse of $a$ . A number and its opposite add to zero. 任意の実数 $a$ について、 $− a$ は $a$ の加法の逆元である。ある数と、その符号を逆にした数を足すとゼロになる。	$a + (− a) = 0$
of multiplication 乗法について	For any real number $a$ , $\frac{1}{a}$ is the multiplicative inverse of $a$ . A number and its reciprocal multiply to one. 任意の実数 $a$ について、 $\frac{1}{a}$ は $a$ の乗法の逆元である。ある数とその逆数を掛けると1になる。	$a \cdot \frac{1}{a} = 1$

Example 1.125例題 1.125

Find the additive inverse of ⓐ

\frac{5}{8}

ⓑ

0.6

ⓒ

−8

ⓓ

- \frac{4}{3} .

英語のヒント

加法の逆元を求めよ。ⓐ

\frac{5}{8}

　ⓑ

0.6

　ⓒ

−8

　ⓓ

- \frac{4}{3}

Solution解答

To find the additive inverse, we find the opposite.

英語のヒント

加法の逆元を求めるには、符号を反対にする。

ⓐ The additive inverse of $\frac{5}{8}$ is the opposite of $\frac{5}{8} .$ The additive inverse of $\frac{5}{8}$ is $- \frac{5}{8} .$

英語のヒント
ⓐ $\frac{5}{8}$ の加法の逆元は、 $\frac{5}{8}$ の符号を逆にした数である。したがって、 $\frac{5}{8}$ の加法の逆元は $- \frac{5}{8}$ である。
ⓑ The additive inverse of 0.6 is the opposite of 0.6. The additive inverse of 0.6 is $−0.6 .$

英語のヒント
ⓑ 0.6の加法の逆元は、0.6の符号を逆にした数、 $−0.6$ である。
ⓒ The additive inverse of $−8$ is the opposite of $−8 .$ We write the opposite of $−8$ as $− (−8),$ and then simplify it to 8. Therefore, the additive inverse of $−8$ is 8.

英語のヒント
ⓒ $−8$ の加法の逆元は、 $−8$ の符号を逆にした数である。 $−8$ の符号を逆にした数を $− (−8)$ と書き、簡単にすると8になる。したがって、 $−8$ の加法の逆元は8である。
ⓓ The additive inverse of $- \frac{4}{3}$ is the opposite of $- \frac{4}{3} .$ We write this as $− (- \frac{4}{3}),$ and then simplify to $\frac{4}{3} .$ Thus, the additive inverse of $- \frac{4}{3}$ is $\frac{4}{3} .$
英語のヒント
ⓓ $- \frac{4}{3}$ の加法の逆元は、 $- \frac{4}{3}$ の符号を逆にした数である。 $− (- \frac{4}{3})$ と書き、簡単にすると $\frac{4}{3}$ になる。したがって、 $- \frac{4}{3}$ の加法の逆元は $\frac{4}{3}$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.126例題 1.126

Find the multiplicative inverse of ⓐ

9

ⓑ

- \frac{1}{9}

ⓒ

0.9 .

英語のヒント

乗法の逆元を求めよ。ⓐ

9

　ⓑ

- \frac{1}{9}

　ⓒ

0.9

Solution解答

To find the multiplicative inverse, we find the reciprocal.

英語のヒント

乗法の逆元を求めるには、逆数を求める。

ⓐ The multiplicative inverse of 9 is the reciprocal of 9, which is $\frac{1}{9} .$ Therefore, the multiplicative inverse of 9 is $\frac{1}{9} .$
英語のヒント
ⓐ 9の乗法の逆元は、9の逆数である $\frac{1}{9}$ である。したがって、9の乗法の逆元は $\frac{1}{9}$ 。
ⓑ The multiplicative inverse of $- \frac{1}{9}$ is the reciprocal of $- \frac{1}{9},$ which is $−9 .$ Thus, the multiplicative inverse of $- \frac{1}{9}$ is $−9 .$
英語のヒント
ⓑ $- \frac{1}{9}$ の乗法の逆元は、 $- \frac{1}{9}$ の逆数である $−9$ である。したがって、 $- \frac{1}{9}$ の乗法の逆元は $−9$ 。
ⓒ To find the multiplicative inverse of 0.9, we first convert 0.9 to a fraction, $\frac{9}{10} .$ Then we find the reciprocal of the fraction. The reciprocal of $\frac{9}{10}$ is $\frac{10}{9} .$ So the multiplicative inverse of 0.9 is $\frac{10}{9} .$
英語のヒント
ⓒ 0.9の乗法の逆元を求めるには、まず0.9を分数 $\frac{9}{10}$ に直してから、その逆数を求める。 $\frac{9}{10}$ の逆数は $\frac{10}{9}$ なので、0.9の乗法の逆元は $\frac{10}{9}$ 。

Try It (2)確認問題（2題）

Use the Properties of Zero0の性質を使う

The identity property of addition says that when we add 0 to any number, the result is that same number. What happens when we multiply a number by 0? Multiplying by 0 makes the product equal zero.

英語のヒント

加法の単位元の性質によれば、どの数に0を足しても、その数のままである。では0を掛けるとどうなるだろうか。0を掛けると、積はゼロになる。

What about division involving zero? What is

0 \div 3 ?

Think about a real example: If there are no cookies in the cookie jar and 3 people are to share them, how many cookies does each person get? There are no cookies to share, so each person gets 0 cookies. So,

英語のヒント

ゼロを含む割り算はどうだろうか。

0 \div 3

はいくつか。現実の場面を考えよう。クッキーの容器が空で、それを3人で分けるなら、一人は何枚もらえるだろうか。分けるクッキーがないので、一人0枚である。したがって、

0 \div 3 = 0

We can check division with the related multiplication fact.

英語のヒント

割り算は、対応する掛け算で確かめられる。

12 \div 6 = 2 because 2 \cdot 6 = 12 .

12 \div 6 = 2 理由： 2 \cdot 6 = 12

So we know

0 \div 3 = 0

because

0 \cdot 3 = 0 .

英語のヒント

0 \cdot 3 = 0

なので、

0 \div 3 = 0

と分かる。

Now think about dividing by zero. What is the result of dividing 4 by 0? Think about the related multiplication fact:

4 \div 0 = ?

means

? \cdot 0 = 4 .

Is there a number that multiplied by 0 gives 4? Since any real number multiplied by 0 gives 0, there is no real number that can be multiplied by 0 to obtain 4.

英語のヒント

今度はゼロで割ることを考えよう。4を0で割るとどうなるか。対応する掛け算では、

4 \div 0 =

は

? \cdot 0 = 4

を意味する。0を掛けて4になる数はあるだろうか。どんな実数も0を掛けると0になるので、0を掛けて4になる実数は存在しない。

We conclude that there is no answer to

4 \div 0

and so we say that division by 0 is undefined.

英語のヒント

4 \div 0

に答えはない。そこで、0による除法は定義されないという。

We summarize the properties of zero below.

英語のヒント

ゼロの性質を次にまとめる。

Properties of Zero0の性質

Multiplication by Zero: For any real number a,

英語のヒント

ゼロとの乗法：任意の実数aについて、

Table 1.45表 1.45
$a \cdot 0 = 0 0 \cdot a = 0$	The product of any number and 0 is 0. どんな数と0の積も0になる。

Division of Zero, Division by Zero: For any real number

a, a \neq 0

英語のヒント

ゼロを割ること、ゼロで割ること：任意の実数

a, a \neq 0

について、

Table 1.46表 1.46
$\frac{0}{a} = 0$	Zero divided by any real number except itself is zero. 0を0以外の任意の実数で割った商は0である。
$\frac{a}{0} is undefined$ $\frac{a}{0} は定義されない$	Division by zero is undefined. ゼロによる除法は定義されない。

Example 1.127例題 1.127

Simplify: ⓐ

−8 \cdot 0

ⓑ

\frac{0}{−2}

ⓒ

\frac{−32}{0} .

英語のヒント

簡単にせよ。ⓐ

−8 \cdot 0

　ⓑ

\frac{0}{−2}

　ⓒ

\frac{−32}{0}

Solution解答

Table 1.47表 1.47
ⓐ The product of any real number and 0 is 0. ⓐ どんな実数と0の積も0になる。	$\begin{matrix} −8 \cdot 0 \\ 0 \end{matrix}$
ⓑ The product of any real number and 0 is 0. ⓑ どんな実数と0の積も0になる。	$\begin{matrix} \frac{0}{−2} \\ 0 \end{matrix}$
ⓒ Division by 0 is undefined. ⓒ 0による除法は定義されない。	$\begin{matrix} \frac{−32}{0} \\ Undefined \end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{−32}{0} \\ 定義されない \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

We will now practice using the properties of identities, inverses, and zero to simplify expressions.

英語のヒント

ここからは、単位元・逆元・0の性質を使って式を簡単にする練習をする。

Example 1.128例題 1.128

Simplify: ⓐ

\frac{0}{n + 5},

where

n \neq − 5

ⓑ

\frac{10 - 3 p}{0},

where

10 - 3 p \neq 0 .

英語のヒント

簡単にせよ。ⓐ

\frac{0}{n + 5}

、ただし

n \neq − 5

　ⓑ

\frac{10 - 3 p}{0}

、ただし

10 - 3 p \neq 0

Solution解答

Table 1.48表 1.48
ⓐ Zero divided by any real number except itself is 0. ⓐ ゼロを、ゼロ以外の実数で割ると0になる。	$\begin{matrix} \frac{0}{n + 5} \\ 0 \end{matrix}$
ⓑ Division by 0 is undefined. ⓑ 0による除法は定義されない。	$\begin{matrix} \frac{10 - 3 p}{0} \\ Undefined \end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{10 - 3 p}{0} \\ 定義されない \end{matrix}$

Example 1.129例題 1.129

Simplify:

−84 n + (−73 n) + 84 n .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

−84 n + (−73 n) + 84 n

Solution解答

Table 1.49表 1.49
	$−84 n + (−73 n) + 84 n$
Notice that the first and third terms are opposites; use the commutative property of addition to re-order the terms. 第1項と第3項は互いに符号を逆にした数なので、加法の交換法則で並べ替える。	$−84 n + 84 n + (−73 n)$
Add left to right. 左から右へ足す。	$0 + (−73 n)$
Add. 足す。	$−73 n$

Try It (2)確認問題（2題）

Now we will see how recognizing reciprocals is helpful. Before multiplying left to right, look for reciprocals—their product is 1.

英語のヒント

逆数に気付くことがどう役立つか見よう。左から右に掛ける前に、互いに逆数の組を探す。その積は1である。

Example 1.130例題 1.130

Simplify:

\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7}

Solution解答

Table 1.50表 1.50
	$\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7}$
Notice that the first and third terms are reciprocals, so use the commutative property of multiplication to re-order the factors. 第1項と第3項は互いに逆数なので、乗法の交換法則で因数を並べ替える。	$\frac{7}{15} \cdot \frac{15}{7} \cdot \frac{8}{23}$
Multiply left to right. 左から右へ掛ける。	$1 \cdot \frac{8}{23}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{8}{23}$

Try It (4)確認問題（4題）

Example 1.131例題 1.131

Simplify:

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12)

Solution解答

Table 1.51表 1.51
	$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12)$
There is nothing to do in the parentheses, so multiply the two fractions first—notice, they are reciprocals. 括弧内では計算できないので、まず二つの分数を掛ける。これらは互いに逆数である。	$1 (6 x + 12)$
Simplify by recognizing the multiplicative identity. 乗法の単位元に着目して簡単にする。	$6 x + 12$

Try It (2)確認問題（2題）