第1章基礎

1.2 Use the Language of Algebra1.2　代数の言葉を使う

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use variables and algebraic symbols
英語のヒント
変数と代数の記号を使う
Simplify expressions using the order of operations
英語のヒント
計算の順序に従って式を簡単にする
Evaluate an expression
英語のヒント
式の値を求める
Identify and combine like terms
英語のヒント
同類項を見分けてまとめる
Translate an English phrase to an algebraic expression
英語のヒント
英語の句を代数式に直す

Before You Begin学習の準備

Use Variables and Algebraic Symbols変数と代数の記号を使う

Suppose this year Greg is 20 years old and Alex is 23. You know that Alex is 3 years older than Greg. When Greg was 12, Alex was 15. When Greg is 35, Alex will be 38. No matter what Greg’s age is, Alex’s age will always be 3 years more, right? In the language of algebra, we say that Greg’s age and Alex’s age are variables and the 3 is a constant. The ages change (“vary”) but the 3 years between them always stays the same (“constant”). Since Greg’s age and Alex’s age will always differ by 3 years, 3 is the constant.

英語のヒント

今年グレッグが20歳、アレックスが23歳だとしよう。アレックスはグレッグより3歳年上である。グレッグが12歳のとき、アレックスは15歳だった。グレッグが35歳になると、アレックスは38歳になる。グレッグが何歳でも、アレックスの年齢はいつも3歳上になる。代数の言葉では、グレッグとアレックスの年齢を変数、3を定数という。年齢は変わるが、二人の3歳という差はいつも同じである。二人の年齢は常に3歳違うので、3が定数となる。

In algebra, we use letters of the alphabet to represent variables. So if we call Greg’s age g, then we could use

g + 3

to represent Alex’s age. See Table 1.2.

英語のヒント

代数では、変数を表すためにアルファベットの文字を使う。そこで、グレッグの年齢をgとすれば、アレックスの年齢を

g + 3

で表せる。表1.2を見よう。

Table 1.2表 1.2
Greg’s age グレッグの年齢	Alex’s age アレックスの年齢
$12$	$15$
$20$	$23$
$35$	$38$
$g$	$g + 3$

The letters used to represent these changing ages are called variables. The letters most commonly used for variables are x, y, a, b, and c.

英語のヒント

このような変わっていく年齢を表す文字を、変数という。変数にはx、y、a、b、cなどの文字をよく使う。

To write algebraically, we need some operation symbols as well as numbers and variables. There are several types of symbols we will be using.

英語のヒント

代数を使って表すには、数や変数に加えて演算記号も必要である。これから何種類かの記号を使う。

There are four basic arithmetic operations: addition, subtraction, multiplication, and division. We’ll list the symbols used to indicate these operations in the table below. You’ll probably recognize some of them.

英語のヒント

基本的な算術の演算は、加法、減法、乗法、除法の四つである。これらを表す記号を下の表にまとめる。見覚えのある記号もあるだろう。

Operation 演算	Notation 表記	Say: 読み方：	The result is… 結果は…
Addition 加法	$a + b$	a plus b aにbを加える	the sum of a and b aとbの和
Subtraction 減法	$a - b$	a minus b aからbを引く	the difference of a and b aとbの差
Multiplication 乗法	$a \cdot b, a b, (a) (b),$ $(a) b, a (b)$ $a \cdot b, a b, (a) (b)$ $(a) b, a (b)$	a times b aにbを掛ける	the product of a and b aとbの積
Division 割り算	$a \div b, a / b, \frac{a}{b}, b a$	a divided by b aをbで割る	the quotient of a and b, a is called the dividend, and b is called the divisor aをbで割った商。aを被除数、bを除数という。

We perform these operations on two numbers. When translating from symbolic form to English, or from English to symbolic form, pay attention to the words “of” and “and.”

英語のヒント

これらの演算は二つの数に対して行う。記号で表した式を英語に、または英語を記号の式に直すときは、ofとandに注意しよう。

The difference of 9 and 2 means subtract 9 and 2, in other words, 9 minus 2, which we write symbolically as $9 - 2 .$
英語のヒント
the difference of 9 and 2は、9と2の引き算、つまり9から2を引くことを意味し、記号では $9 - 2$ と書く。
The product of 4 and 8 means multiply 4 and 8, in other words 4 times 8, which we write symbolically as $4 \cdot 8 .$
英語のヒント
the product of 4 and 8は、4と8の掛け算、つまり4に8を掛けることを意味し、記号では $4 \cdot 8$ と書く。

In algebra, the cross symbol,

\times,

is not used to show multiplication because that symbol may cause confusion. Does 3xy mean

3 \times y

(‘three times y’) or

3 \cdot x \cdot y

(three times x times y)? To make it clear, use

\cdot

or parentheses for multiplication.

英語のヒント

代数では、混同を招くことがあるので、掛け算に

\times

という十字の記号を使わない。3xyは

3 \times y

（3にyを掛ける）なのか、

3 \cdot x \cdot y

（3にxとyを掛ける）なのか、区別しにくい。明確にするため、掛け算には

\cdot

や括弧を使う。

When two quantities have the same value, we say they are equal and connect them with an equal sign.

英語のヒント

2つの量が同じ値をもつとき、それらは等しいといい、等号で結ぶ。

On the number line, the numbers get larger as they go from left to right. The number line can be used to explain the symbols “<” and “>.”

英語のヒント

数直線では、右に進むほど数が大きくなる。数直線を使って、「<」と「>」という記号を説明できる。

The expressions a < b or a > b can be read from left to right or right to left, though in English we usually read from left to right (Inequality Symbols Words a≠b a is not equal to b a < b a is less than b a≤b a is less than or equal ). In general, a < b is equivalent to b > a. For example 7 < 11 is equivalent to 11 > 7. And a > b is equivalent to b < a. For example 17 > 4 is equivalent to 4 < 17.

英語のヒント

a < bやa > bは、左から右にも右から左にも読めるが、英語では通常、左から右に読む（不等号と言葉の表を参照）。一般にa < bはb > aと同じ意味である。たとえば7 < 11は11 > 7と同じ意味になる。また、a > bはb < aと同じ意味であり、17 > 4は4 < 17と同じ意味になる。

Inequality Symbols 不等号	Words 言葉
$a \neq b$	a is not equal to b aはbに等しくない
a < b	a is less than b aはbより小さい
$a \leq b$	a is less than or equal to b aはb以下である
a > b	a is greater than b aはbより大きい
$a \geq b$	a is greater than or equal to b aはb以上である

Example 1.12例題 1.12

Translate from algebra into English:

英語のヒント

次の式を英語の文で表せ。

ⓐ

17 \leq 26

ⓑ

8 \neq 17 - 3

ⓒ

12 > 27 \div 3

ⓓ

y + 7 < 19

Solution解答

ⓐ

17 \leq 26

17 is less than or equal to 26

ⓑ

8 \neq 17 - 3

8 is not equal to 17 minus 3

ⓒ

12 > 27 \div 3

12 is greater than 27 divided by 3

ⓓ

y + 7 < 19

y plus 7 is less than 19

英語のヒント

ⓐ

17 \leq 26

　17は26以下である。ⓑ

8 \neq 17 - 3

　8は17から3を引いた値に等しくない。ⓒ

12 > 27 \div 3

　12は27を3で割った値より大きい。ⓓ

y + 7 < 19

　yに7を加えた値は19より小さい。

Try It (2)確認問題（2題）

Grouping symbols in algebra are much like the commas, colons, and other punctuation marks in English. They help to make clear which expressions are to be kept together and separate from other expressions. We will introduce three types now.

英語のヒント

代数の括弧など、ひとまとまりを示す記号は、英語のコンマやコロンなどの句読点とよく似ている。どの式を一つにまとめ、ほかの式と分けて扱うのかを明確にする。ここでは三種類を紹介する。

Here are some examples of expressions that include grouping symbols. We will simplify expressions like these later in this section.

英語のヒント

括弧を含む式の例を以下に示す。このような式は、この節の後半で簡単にする。

\begin{matrix} 8 (14 - 8) & 21 - 3 [2 + 4 (9 - 8)] & 24 \div {13 - 2 [1 (6 - 5) + 4]} \end{matrix}

What is the difference in English between a phrase and a sentence? A phrase expresses a single thought that is incomplete by itself, but a sentence makes a complete statement. “Running very fast” is a phrase, but “The football player was running very fast” is a sentence. A sentence has a subject and a verb. In algebra, we have expressions and equations.

英語のヒント

英語の句と文は何が違うのだろうか。句は一つの考えを表すが、それだけでは完結しない。文は、内容の完結した記述である。「とても速く走っている」は句だが、「そのフットボール選手はとても速く走っていた」は文である。文には主語と動詞がある。代数では、これに対応して式と等式がある。

An expression is like an English phrase. Here are some examples of expressions:

英語のヒント

式は英語の句に似ている。次に式の例を示す。

Expression 式	Words 言葉	English Phrase 英語の句
$3 + 5$	3 plus 5 3に5を加える	the sum of three and five 三と五の和
$n - 1$	n minus one nから1を引く	the difference of n and one nと1の差
$6 \cdot 7$	6 times 7 6に7を掛ける	the product of six and seven 六と七の積
$\frac{x}{y}$	x divided by y xをyで割る	the quotient of x and y xをyで割った商

Notice that the English phrases do not form a complete sentence because the phrase does not have a verb.

英語のヒント

これらの英語の句は、動詞がないため、完結した文にはならないことに注目しよう。

An equation is two expressions linked with an equal sign. When you read the words the symbols represent in an equation, you have a complete sentence in English. The equal sign gives the verb.

英語のヒント

等式とは、二つの式を等号で結んだものである。等式の記号を言葉にして読むと、英語の完結した文になる。等号が動詞の役割を果たす。

Here are some examples of equations.

英語のヒント

次に等式の例を示す。

Equation 方程式	English Sentence 英語の文
$3 + 5 = 8$	The sum of three and five is equal to eight. 三と五の和は八に等しい。
$n - 1 = 14$	n minus one equals fourteen. nから1を引いた値は14に等しい。
$6 \cdot 7 = 42$	The product of six and seven is equal to forty-two. 六と七の積は四十二に等しい。
$x = 53$	x is equal to fifty-three. xは53に等しい。
$y + 9 = 2 y - 3$	y plus nine is equal to two y minus three. yに9を加えた値は、yの2倍から3を引いた値に等しい。

Example 1.13例題 1.13

Determine if each is an expression or an equation:

英語のヒント

それぞれが式か方程式かを判定せよ。

ⓐ

2 (x + 3) = 10

ⓑ

4 (y - 1) + 1

ⓒ

x \div 25

ⓓ

y + 8 = 40

Solution解答

ⓐ $2 (x + 3) = 10$	This is an equation—two expressions are connected with an equal sign. これは方程式である。2つの式が等号で結ばれている。
ⓑ $4 (y - 1) + 1$	This is an expression—no equal sign. これは式である。等号がない。
ⓒ $x \div 25$	This is an expression—no equal sign. これは式である。等号がない。
ⓓ $y + 8 = 40$	This is an equation—two expressions are connected with an equal sign. これは方程式である。2つの式が等号で結ばれている。

Try It (2)確認問題（2題）

Suppose we need to multiply 2 nine times. We could write this as

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 .

This is tedious and it can be hard to keep track of all those 2s, so we use exponents. We write

2 \cdot 2 \cdot 2

2^{3}

and

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2^{9} .

In expressions such as

2^{3},

the 2 is called the base and the 3 is called the exponent. The exponent tells us how many times we need to multiply the base.

英語のヒント

2を9個掛け合わせる必要があるとしよう。

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

と書けるが、これは面倒で、2の個数も追いにくい。そこで指数を使う。

2 \cdot 2 \cdot 2

を

2^{3}

、

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

を

2^{9}

と書く。

2^{3}

のような式では、2を底、3を指数という。指数は、底を何個掛け合わせるかを示す。

We read

2^{3}

as “two to the third power” or “two cubed.”

英語のヒント

2^{3}

は「2の3乗」と読む。英語ではtwo to the third powerまたはtwo cubedという。

We say

2^{3}

is in exponential notation and

2 \cdot 2 \cdot 2

is in expanded notation.

英語のヒント

2^{3}

は指数表記、

2 \cdot 2 \cdot 2

は展開した表記であるという。

While we read

a^{n}

as “a to the

n^{t h}

power,” we usually read:

英語のヒント

a^{n}

は「aの

n^{t h}

乗」と読むが、次の二つは通常、英語では特別な読み方をする。

$a^{2}$ “a squared”
英語のヒント
$a^{2}$ 　a squared（aの2乗）
$a^{3}$ “a cubed”
英語のヒント
$a^{3}$ 　a cubed（aの3乗）

We’ll see later why

a^{2}

and

a^{3}

have special names.

英語のヒント

a^{2}

と

a^{3}

に特別な名前がある理由は、後で学ぶ。

Table 1.3 shows how we read some expressions with exponents.

英語のヒント

表1.3に、指数を含むいくつかの式の読み方を示す。

Table 1.3表 1.3
Expression 式	In Words 言葉での表し方
$7^{2}$	7 to the second power or 7 squared 7の2乗（7 to the second powerまたは7 squared）
$5^{3}$	5 to the third power or 5 cubed 5の3乗（5 to the third powerまたは5 cubed）
$9^{4}$	9 to the fourth power 9の4乗（9 to the fourth power）
$12^{5}$	$12$ to the fifth power $12$ の5乗

Example 1.14例題 1.14

Simplify:

3^{4} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

3^{4}

Solution解答

	$3^{4}$
Expand the expression. 式を展開する。	$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
Multiply left to right. 左から右へ掛ける。	$9 \cdot 3 \cdot 3$
Multiply. 掛ける。	$27 \cdot 3$
Multiply. 掛ける。	81

Try It (2)確認問題（2題）

第1章基礎

1.2 Use the Language of Algebra1.2 代数の言葉を使う

Learning Objectives学習目標

Use Variables and Algebraic Symbols変数と代数の記号を使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

1.2 Use the Language of Algebra1.2　代数の言葉を使う