第1章基礎

1.8 The Real Numbers1.8　実数

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions with square roots
英語のヒント
平方根を含む式を簡単にする
Identify integers, rational numbers, irrational numbers, and real numbers
英語のヒント
整数・有理数・無理数・実数を見分ける
Locate fractions on the number line
英語のヒント
数直線上に分数を示す
Locate decimals on the number line
英語のヒント
小数の位置を数直線上に示す

Before You Begin学習の準備

Simplify Expressions with Square Roots平方根を含む式を簡単にする

Remember that when a number n is multiplied by itself, we write

n^{2}

and read it “n squared.” The result is called the square of n. For example,

英語のヒント

数nをそれ自身と掛け合わせるとき、

n^{2}

と書き、「nの2乗」と読む。その結果をnの平方という。たとえば、

\begin{matrix} 8^{2} & read ‘ 8 squared’ \\ 64 & 64 is called the square of 8 . \end{matrix}

\begin{matrix} 8^{2} & 読み方： ‘ 8 の2乗」 \\ 64 & 64 を次のように呼ぶ： 平方 ： 8 . \end{matrix}

Similarly, 121 is the square of 11, because

11^{2}

is 121.

英語のヒント

同様に、

11^{2}

は121なので、121は11の平方である。

Additional Resources追加教材

Complete the following table to show the squares of the counting numbers 1 through 15.

英語のヒント

次の表を完成させ、1から15までの数える数の平方を示せ。

The numbers in the second row are called perfect square numbers. It will be helpful to learn to recognize the perfect square numbers.

英語のヒント

第2行の数を平方数という。平方数を見分けられるようにしておくと役立つ。

The squares of the counting numbers are positive numbers. What about the squares of negative numbers? We know that when the signs of two numbers are the same, their product is positive. So the square of any negative number is also positive.

英語のヒント

数える数の平方は正の数である。負の数の平方はどうだろうか。同符号の二つの数の積は正なので、負の数の平方もすべて正である。

\begin{matrix} {(−3)}^{2} = 9 & {(−8)}^{2} = 64 & {(−11)}^{2} = 121 & {(−15)}^{2} = 225 \end{matrix}

Did you notice that these squares are the same as the squares of the positive numbers?

英語のヒント

これらの平方が、正の数の平方と同じであることに気付いただろうか。

Sometimes we will need to look at the relationship between numbers and their squares in reverse. Because

10^{2} = 100,

we say 100 is the square of 10. We also say that 10 is a square root of 100. A number whose square is

m

is called a square root of m.

英語のヒント

数とその平方の関係を逆向きに見ることもある。

10^{2} = 100

なので、100は10の平方という。また、10は100の平方根ともいう。平方が

m

になる数を、mの平方根という。

Notice

{(−10)}^{2} = 100

also, so

−10

is also a square root of 100. Therefore, both 10 and

−10

are square roots of 100.

英語のヒント

{(−10)}^{2} = 100

も成り立つので、

−10

も100の平方根である。したがって、10と

−10

はどちらも100の平方根である。

So, every positive number has two square roots—one positive and one negative. What if we only wanted the positive square root of a positive number? The radical sign,

\sqrt{m},

denotes the positive square root. The positive square root is called the principal square root. When we use the radical sign that always means we want the principal square root.

英語のヒント

正の数には、正と負の二つの平方根がある。正の平方根だけを示したいときは、どうすればよいだろうか。根号

\sqrt{m}

は正の平方根を表す。正の平方根を主平方根という。根号を使ったときは、常に主平方根を意味する。

We also use the radical sign for the square root of zero. Because

0^{2} = 0,

\sqrt{0} = 0 .

Notice that zero has only one square root.

英語のヒント

ゼロの平方根にも根号を使う。

0^{2} = 0

なので、

\sqrt{0} = 0

である。ゼロの平方根は一つしかない。

Since 10 is the principal square root of 100, we write

\sqrt{100} = 10 .

You may want to complete the following table to help you recognize square roots.

英語のヒント

10は100の主平方根なので、

\sqrt{100} = 10

と書く。平方根を見分ける助けとして、次の表を完成させるとよい。

2行15列の表。第1行は1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225の平方根。第2行は、100の平方根の下に10がある以外は空欄である。

Example 1.108例題 1.108

Simplify: ⓐ

\sqrt{25}

ⓑ

\sqrt{121} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt{25}

ⓑ

\sqrt{121}

Solution解答

Table 1.31表 1.31
ⓐ Since $5^{2} = 25$ ⓐ $5^{2} = 25$ なので、	$\begin{matrix} \sqrt{25} \\ 5 \end{matrix}$
ⓑ Since $11^{2} = 121$ ⓑ $11^{2} = 121$ なので、	$\begin{matrix} \sqrt{121} \\ 11 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

We know that every positive number has two square roots and the radical sign indicates the positive one. We write

\sqrt{100} = 10 .

If we want to find the negative square root of a number, we place a negative in front of the radical sign. For example,

− \sqrt{100} = −10 .

We read

− \sqrt{100}

as “the opposite of the square root of 10.”

英語のヒント

正の数には二つの平方根があり、根号は正の方を示す。たとえば

\sqrt{100} = 10

と書く。負の平方根を示すには、根号の前に負号を置く。たとえば

− \sqrt{100} = −10

である。

− \sqrt{100}

は「10の平方根の符号を逆にした数」と読む。

Example 1.109例題 1.109

Simplify: ⓐ

− \sqrt{9}

ⓑ

− \sqrt{144} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

− \sqrt{9}

ⓑ

− \sqrt{144}

Solution解答

Table 1.32表 1.32
ⓐ The negative is in front of the radical sign. ⓐ 負号は根号の前にある。	$\begin{matrix} - \sqrt{9} \\ - 3 \end{matrix}$
ⓑ The negative is in front of the radical sign. ⓑ 負号は根号の前にある。	$\begin{matrix} - \sqrt{144} \\ - 12 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Identify Integers, Rational Numbers, Irrational Numbers, and Real Numbers整数・有理数・無理数・実数を見分ける

We have already described numbers as counting numbers, whole numbers, and integers. What is the difference between these types of numbers?

英語のヒント

これまでに、数える数、非負整数、整数という数の種類を学んだ。これらにはどのような違いがあるだろうか。

\begin{matrix} Counting numbers & 1, 2, 3, 4, … \\ Whole numbers & 0, 1, 2, 3, 4, … \\ Integers & … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … \end{matrix}

\begin{matrix} 正の整数 & 1, 2, 3, 4, … \\ 非負整数 & 0, 1, 2, 3, 4, … \\ 整数 & … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … \end{matrix}

What type of numbers would we get if we started with all the integers and then included all the fractions? The numbers we would have form the set of rational numbers. A rational number is a number that can be written as a ratio of two integers.

英語のヒント

すべての整数に、すべての分数を加えると、どのような数の集まりになるだろうか。それが有理数の集合である。有理数とは、二つの整数の比で表せる数である。

All signed fractions, such as

\frac{4}{5}, - \frac{7}{8}, \frac{13}{4}, - \frac{20}{3}

are rational numbers. Each numerator and each denominator is an integer.

英語のヒント

\frac{4}{5}, - \frac{7}{8}, \frac{13}{4}, - \frac{20}{3}

のような符号付きの分数は、すべて有理数である。分子も分母も整数だからである。

Are integers rational numbers? To decide if an integer is a rational number, we try to write it as a ratio of two integers. Each integer can be written as a ratio of integers in many ways. For example, 3 is equivalent to

\frac{3}{1}, \frac{6}{2}, \frac{9}{3}, \frac{12}{4}, \frac{15}{5} …

英語のヒント

整数は有理数だろうか。判断するために、二つの整数の比として書いてみる。各整数は、いろいろな方法で整数の比に書ける。たとえば3は

\frac{3}{1}, \frac{6}{2}, \frac{9}{3}, \frac{12}{4}, \frac{15}{5} …

と等しい。

An easy way to write an integer as a ratio of integers is to write it as a fraction with denominator one.

英語のヒント

整数を整数の比で書く簡単な方法は、分母1の分数にすることである。

\begin{matrix} 3 = \frac{3}{1} & −8 = - \frac{8}{1} & 0 = \frac{0}{1} \end{matrix}

Since any integer can be written as the ratio of two integers, all integers are rational numbers! Remember that the counting numbers and the whole numbers are also integers, and so they, too, are rational.

英語のヒント

どの整数も二つの整数の比で書けるので、すべての整数は有理数である。数える数と非負整数も整数なので、やはり有理数である。

What about decimals? Are they rational? Let’s look at a few to see if we can write each of them as the ratio of two integers.

英語のヒント

小数はどうだろうか。有理数だろうか。いくつかの例を、二つの整数の比で書けるか確かめよう。

We’ve already seen that integers are rational numbers. The integer

−8

could be written as the decimal

−8.0 .

So, clearly, some decimals are rational.

英語のヒント

整数が有理数であることはすでに見た。整数

−8

は、小数

−8.0

とも書ける。したがって、小数の中に有理数があるのは明らかである。

Think about the decimal 7.3. Can we write it as a ratio of two integers? Because 7.3 means

7 \frac{3}{10},

we can write it as an improper fraction,

\frac{73}{10} .

So 7.3 is the ratio of the integers 73 and 10. It is a rational number.

英語のヒント

小数7.3を考えよう。二つの整数の比で書けるだろうか。7.3は

7 \frac{3}{10}

を意味し、仮分数

\frac{73}{10}

と書ける。したがって、7.3は整数73と10の比であり、有理数である。

In general, any decimal that ends after a number of digits (such as 7.3 or

−1.2684)

is a rational number. Simply write the decimal as a mixed number.

英語のヒント

一般に、7.3や

−1.2684)

のように、何桁かで終わる小数は有理数である。その小数を帯分数で書けばよい。

Example 1.110例題 1.110

Write as the ratio of two integers: ⓐ

−27

ⓑ 7.31.

英語のヒント

二つの整数の比で表せ。ⓐ

−27

　ⓑ 7.31

Solution解答

Table 1.33表 1.33
ⓐ Write it as a fraction with denominator 1. ⓐ 分母1の分数として書く。	$\begin{matrix} −27 \\ \frac{−27}{1} \end{matrix}$
ⓑ Write it as a mixed number. Remember, 7 is the whole number and the decimal part, 0.31, indicates hundredths. Convert to an improper fraction. ⓑ 帯分数として書く。7が整数部分で、小数部分0.31は百分の一の位までを表す。仮分数に直す。	$\begin{matrix} 7.31 \\ 7 \frac{31}{100} \\ \frac{731}{100} \end{matrix}$

So we see that

−27

and 7.31 are both rational numbers, since they can be written as the ratio of two integers.

英語のヒント

−27

と7.31は、どちらも二つの整数の比で書けるので、有理数である。

Try It (2)確認問題（2題）

Let’s look at the decimal form of the numbers we know are rational.

英語のヒント

有理数と分かっている数を、小数で表した形を見よう。

We have seen that every integer is a rational number, since

a = \frac{a}{1}

for any integer, a. We can also change any integer to a decimal by adding a decimal point and a zero.

英語のヒント

任意の整数aについて

a = \frac{a}{1}

なので、すべての整数は有理数である。また、小数点とゼロを付け加えれば、どの整数も小数で書ける。

\begin{matrix} Integer & −2 & −1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ Decimal form & −2.0 & −1.0 & 0.0 & 1.0 & 2.0 & 3.0 \end{matrix}

\begin{matrix} 整数 & −2 & −1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 小数表示 & −2.0 & −1.0 & 0.0 & 1.0 & 2.0 & 3.0 \end{matrix}

These decimal numbers stop.

これらの小数は有限の桁で終わる。

We have also seen that every fraction is a rational number. Look at the decimal form of the fractions we considered above.

英語のヒント

分数もすべて有理数であることを見た。先ほどの分数を小数で表した形を見よう。

\begin{matrix} Ratio of integers & \frac{4}{5} & - \frac{7}{8} & \frac{13}{4} & - \frac{20}{3} \\ The decimal form & 0.8 & −0.875 & 3.25 & \begin{matrix} - 6.666 … \\ - 6. \overset{–}{6} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} 整数の比 & \frac{4}{5} & - \frac{7}{8} & \frac{13}{4} & - \frac{20}{3} \\ 小数表示 & 0.8 & −0.875 & 3.25 & \begin{matrix} - 6.666 … \\ - 6. \overset{–}{6} \end{matrix} \end{matrix}

These decimals either stop or repeat.

これらの小数は有限の桁で終わるか、繰り返す。

What do these examples tell us?

英語のヒント

これらの例から、何が分かるだろうか。

Every rational number can be written both as a ratio of integers,

(\frac{p}{q},

where p and q are integers and

q \neq 0),

and as a decimal that either stops or repeats.

英語のヒント

有理数はどれも、整数の比

(\frac{p}{q}

として書ける。ここでp、qは整数で、

q \neq 0)

を満たす。また、途中で終わるか、同じ並びを繰り返す小数としても書ける。

Here are the numbers we looked at above expressed as a ratio of integers and as a decimal:

英語のヒント

先ほどの数を、整数の比と小数の両方で表すと、次のようになる。

Fractions 分数					Integers 整数
Number 数	$\frac{4}{5}$	$- \frac{7}{8}$	$\frac{13}{4}$	$- \frac{20}{3}$	$−2$	$−1$	$0$	$1$	$2$	$3$
Ratio of Integers 整数の比	$\frac{4}{5}$	$- \frac{7}{8}$	$\frac{13}{4}$	$- \frac{20}{3}$	$- \frac{2}{1}$	$- \frac{1}{1}$	$\frac{0}{1}$	$\frac{1}{1}$	$\frac{2}{1}$	$\frac{3}{1}$
Decimal Form 小数での表記	$0.8$	$−0.875$	$3.25$	$−6. \overset{–}{6}$	$−2.0$	$−1.0$	$0.0$	$1.0$	$2.0$	$3.0$

Are there any decimals that do not stop or repeat? Yes!

英語のヒント

終わりも繰り返しもない小数はあるだろうか。ある。

The number

π

(the Greek letter pi, pronounced “pie”), which is very important in describing circles, has a decimal form that does not stop or repeat.

英語のヒント

円を表すうえで非常に重要な数

π

（ギリシャ文字のパイ）は、小数で表すと、終わりも繰り返しもない。

π = 3.141592654 . . .

We can even create a decimal pattern that does not stop or repeat, such as

英語のヒント

次のように、終わりも繰り返しもない小数の並びを作ることもできる。

2.01001000100001…

Numbers whose decimal form does not stop or repeat cannot be written as a fraction of integers. We call these numbers irrational.

英語のヒント

小数で表すと終わりも繰り返しもない数は、整数の分数では書けない。このような数を無理数という。

Let’s summarize a method we can use to determine whether a number is rational or irrational.

英語のヒント

有理数か無理数かを判定する方法をまとめよう。

Example 1.111例題 1.111

Given the numbers

0.58 \overset{–}{3}, 0.47, 3.605551275 . . .

list the ⓐ rational numbers ⓑ irrational numbers.

英語のヒント

与えられた数

0.58 \overset{–}{3}, 0.47, 3.605551275 . .

から、ⓐ 有理数、ⓑ 無理数を挙げよ。

Solution解答

Table 1.34表 1.34
ⓐ Look for decimals that repeat or stop. ⓐ 繰り返すか、途中で終わる小数を探す。	The 3 repeats in $0.58 \overset{–}{3}$ . The decimal 0.47 stops after the 7. So $0.58 \overset{–}{3}$ and 0.47 are rational. $0.58 \overset{–}{3}$ では3が繰り返される。0.47は7で終わる。したがって、 $0.58 \overset{–}{3}$ と0.47は有理数である。
ⓑ Look for decimals that neither stop nor repeat. ⓑ 終わりも繰り返しもない小数を探す。	$3.605551275 …$ has no repeating block of digits and it does not stop. So $3.605551275 …$ is irrational. $3.605551275 …$ は、繰り返す数字の組がなく、終わりもしない。したがって $3.605551275 …$ は無理数である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.112例題 1.112

For each number given, identify whether it is rational or irrational: ⓐ

\sqrt{36}

ⓑ

\sqrt{44} .

英語のヒント

各数が有理数か無理数か判定せよ。ⓐ

\sqrt{36}

　ⓑ

\sqrt{44}

Solution解答

ⓐ Recognize that 36 is a perfect square, since $6^{2} = 36 .$ So $\sqrt{36} = 6,$ therefore $\sqrt{36}$ is rational.
英語のヒント
ⓐ $6^{2} = 36$ なので、36は平方数である。 $\sqrt{36} = 6$ であるから、 $\sqrt{36}$ は有理数である。
ⓑ Remember that $6^{2} = 36$ and $7^{2} = 49,$ so 44 is not a perfect square. Therefore, the decimal form of $\sqrt{44}$ will never repeat and never stop, so $\sqrt{44}$ is irrational.
英語のヒント
ⓑ $6^{2} = 36$ かつ $7^{2} = 49$ なので、44は平方数ではない。 $\sqrt{44}$ の小数表示は繰り返さず、終わりもしない。したがって $\sqrt{44}$ は無理数である。

Try It (2)確認問題（2題）

We have seen that all counting numbers are whole numbers, all whole numbers are integers, and all integers are rational numbers. The irrational numbers are numbers whose decimal form does not stop and does not repeat. When we put together the rational numbers and the irrational numbers, we get the set of real numbers.

英語のヒント

数える数はすべて非負整数、非負整数はすべて整数、整数はすべて有理数である。無理数は、小数表示に終わりも繰り返しもない数である。有理数と無理数を合わせると、実数の集合になる。

All the numbers we use in elementary algebra are real numbers. Figure 1.15 illustrates how the number sets we’ve discussed in this section fit together.

英語のヒント

初等代数で使う数は、すべて実数である。図1.15は、この節で学んだ数の集合の関係を示す。

集合の関係を示すベン図。大きな「実数」の長方形の右半分に「無理数」、左半分に「有理数」がある。有理数の中に「整数…、−2、−1、0、1、2、…」、その中に「非負整数0、1、2、3、…」、さらにその中に「数える数1、2、3、…」がある。 — Figure 1.15図 1.15
This chart shows the number sets that make up the set of real numbers. Does the term “real numbers” seem strange to you? Are there any numbers that are not “real,” and, if so, what could they be?
英語のヒント
この図は、実数の集合を構成する数の集合を示す。「実数」という名前は不思議に思えるだろうか。「実」でない数もあるのだろうか。あるなら、それはどんな数だろうか。

Can we simplify

\sqrt{−25} ?

Is there a number whose square is

−25 ?

英語のヒント

\sqrt{−25}

を簡単にできるだろうか。平方すると

−25

になる数はあるだろうか。

{()}^{2} = −25 ?

None of the numbers that we have dealt with so far has a square that is

−25 .

Why? Any positive number squared is positive. Any negative number squared is positive. So we say there is no real number equal to

\sqrt{−25} .

英語のヒント

これまでに扱った数には、平方が

−25

になるものはなかった。なぜだろうか。正の数も負の数も、2乗すると正になる。したがって、

\sqrt{−25}

に等しい実数は存在しない。

The square root of a negative number is not a real number.

英語のヒント

負の数の平方根は実数ではない。

Example 1.113例題 1.113

For each number given, identify whether it is a real number or not a real number: ⓐ

\sqrt{−169}

ⓑ

− \sqrt{64} .

英語のヒント

各数が実数かどうか判定せよ。ⓐ

\sqrt{−169}

　ⓑ

− \sqrt{64}

Solution解答

ⓐ There is no real number whose square is $−169 .$ Therefore, $\sqrt{−169}$ is not a real number.
英語のヒント
ⓐ 平方すると $−169$ になる実数はない。したがって、 $\sqrt{−169}$ は実数ではない。
ⓑ Since the negative is in front of the radical, $− \sqrt{64}$ is $−8,$ Since $−8$ is a real number, $− \sqrt{64}$ is a real number.
英語のヒント
ⓑ 負号が根号の前にあるので、 $− \sqrt{64}$ は $−8$ になる。 $−8$ は実数なので、 $− \sqrt{64}$ も実数である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.114例題 1.114

Given the numbers

−7, \frac{14}{5}, 8, \sqrt{5}, 5.9, − \sqrt{64},

英語のヒント

与えられた数

−7, \frac{14}{5}, 8, \sqrt{5}, 5.9, − \sqrt{64}

Solution解答

ⓐ Remember, the whole numbers are 0, 1, 2, 3, … and 8 is the only whole number given.
英語のヒント
ⓐ 非負整数は0、1、2、3、…であり、与えられた数では8だけが該当する。
ⓑ The integers are the whole numbers, their opposites, and 0. So the whole number 8 is an integer, and $−7$ is the opposite of a whole number so it is an integer, too. Also, notice that 64 is the square of 8 so $− \sqrt{64} = −8 .$ So the integers are $−7, 8, − \sqrt{64} .$
英語のヒント
ⓑ 整数は、非負整数、それらの符号を逆にした数、および0である。したがって8は整数で、 $−7$ も非負整数の符号を逆にした数なので整数である。また64は8の平方だから $− \sqrt{64} = −8$ である。よって、整数は $−7, 8, − \sqrt{64}$ 。
ⓒ Since all integers are rational, then $−7, 8, − \sqrt{64}$ are rational. Rational numbers also include fractions and decimals that repeat or stop, so $\frac{14}{5} and 5.9$ are rational. So the list of rational numbers is $−7, \frac{14}{5}, 8, 5.9, - \sqrt{64} .$
英語のヒント
ⓒ 整数はすべて有理数なので、 $−7, 8, − \sqrt{64}$ は有理数である。分数と、終わりか繰り返しのある小数も有理数なので、 $\frac{14}{5} と 5.9$ も該当する。したがって有理数は $−7, \frac{14}{5}, 8, 5.9, - \sqrt{64}$ である。
ⓓ Remember that 5 is not a perfect square, so $\sqrt{5}$ is irrational.
英語のヒント
ⓓ 5は平方数ではないので、 $\sqrt{5}$ は無理数である。
ⓔ All the numbers listed are real numbers.
英語のヒント
ⓔ 挙げられた数はすべて実数である。

Try It (2)確認問題（2題）

第1章基礎

1.8 The Real Numbers1.8 実数

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions with Square Roots平方根を含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Identify Integers, Rational Numbers, Irrational Numbers, and Real Numbers整数・有理数・無理数・実数を見分ける

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

1.8 The Real Numbers1.8　実数