第1章基礎

1.9 Properties of Real Numbers1.9　実数の性質

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use the commutative and associative properties
英語のヒント
交換法則と結合法則を使う
Use the identity and inverse properties of addition and multiplication
英語のヒント
加法・乗法の単位元と逆元の性質を使う
Use the properties of zero
英語のヒント
0の性質を使う
Simplify expressions using the distributive property
英語のヒント
分配法則を使って式を簡単にする

Before You Begin学習の準備

Use the Commutative and Associative Properties交換法則と結合法則を使う

Think about adding two numbers, say 5 and 3. The order we add them doesn’t affect the result, does it?

英語のヒント

たとえば5と3という二つの数を足すとき、足す順序は結果に影響するだろうか。

\begin{matrix} 5 + 3 & 3 + 5 \\ 8 & 8 \end{matrix}

5 + 3 = 3 + 5

The results are the same.

英語のヒント

結果は同じである。

As we can see, the order in which we add does not matter!

英語のヒント

このように、足す順序は関係ない。

What about multiplying

5 and 3 ?

英語のヒント

5 と 3

を掛ける場合はどうだろうか。

\begin{matrix} 5 \cdot 3 & 3 \cdot 5 \\ 15 & 15 \end{matrix}

5 \cdot 3 = 3 \cdot 5

Again, the results are the same!

英語のヒント

やはり結果は同じである。

The order in which we multiply does not matter!

英語のヒント

掛ける順序も関係ない。

These examples illustrate the commutative property. When adding or multiplying, changing the order gives the same result.

英語のヒント

これらの例は交換法則を示している。足し算や掛け算では、順序を変えても結果は同じである。

The commutative property has to do with order. If you change the order of the numbers when adding or multiplying, the result is the same.

英語のヒント

交換法則は順序に関する性質である。足す数や掛ける数の順序を変えても、結果は同じになる。

What about subtraction? Does order matter when we subtract numbers? Does

7 - 3

give the same result as

3 - 7 ?

英語のヒント

引き算はどうだろうか。数を引くときには順序が関係するだろうか。

7 - 3

と

3 - 7

の結果は同じだろうか。

\begin{matrix} \begin{matrix} 7 - 3 & 3 - 7 \\ 4 & −4 \end{matrix} \\ 4 \neq − 4 \\ 7 - 3 \neq 3 - 7 \end{matrix}

The results are not the same.

英語のヒント

結果は同じではない。

Since changing the order of the subtraction did not give the same result, we know that subtraction is not commutative.

英語のヒント

引き算は順序を変えると同じ結果にならないので、交換法則が成り立たない。

Let’s see what happens when we divide two numbers. Is division commutative?

英語のヒント

2つの数を割るとどうなるかを見てみよう。除法で交換法則は成り立つだろうか。

\begin{matrix} \begin{matrix} 12 \div 4 & 4 \div 12 \\ \frac{12}{4} & \frac{4}{12} \\ 3 & \frac{1}{3} \end{matrix} \\ 3 \neq \frac{1}{3} \\ 12 \div 4 \neq 4 \div 12 \end{matrix}

The results are not the same.

英語のヒント

結果は同じではない。

Since changing the order of the division did not give the same result, division is not commutative. The commutative properties only apply to addition and multiplication!

英語のヒント

割り算も順序を変えると同じ結果にならないので、交換法則が成り立たない。交換法則が成り立つのは、加法と乗法だけである。

Addition and multiplication are commutative.
英語のヒント
加法と乗法には交換法則が成り立つ。
Subtraction and Division are not commutative.
英語のヒント
減法と除法には交換法則が成り立たない。

If you were asked to simplify this expression, how would you do it and what would your answer be?

英語のヒント

この式を簡単にするよう求められたら、どのように計算し、何と答えるだろうか。

7 + 8 + 2

Some people would think

7 + 8 is 15

and then

15 + 2 is 17 .

Others might start with

8 + 2 makes 10

and then

7 + 10 makes 17 .

英語のヒント

7 + 8 は 15

、次に

15 + 2 は 17

と考える人もいるだろう。

8 + 2 の計算結果は 10

から始めて、次に

7 + 10 の計算結果は 17

と考える人もいるだろう。

Either way gives the same result. Remember, we use parentheses as grouping symbols to indicate which operation should be done first.

英語のヒント

どちらの方法でも同じ結果になる。括弧は、どの演算を先に行うかを示す、まとまりの記号である。

Table 1.39表 1.39
Add $7 + 8$ . Add. $7 + 8$ を足す。さらに足す。	$\begin{matrix} (7 + 8) + 2 \\ 15 + 2 \\ 17 \end{matrix}$
Add $8 + 2$ . Add. $8 + 2$ を足す。さらに足す。	$\begin{matrix} 7 + (8 + 2) \\ 7 + 10 \\ 17 \end{matrix}$
	$(7 + 8) + 2 = 7 + (8 + 2)$

When adding three numbers, changing the grouping of the numbers gives the same result.

英語のヒント

三つの数を足すとき、まとめ方を変えても結果は同じである。

This is true for multiplication, too.

英語のヒント

掛け算でも同じことが成り立つ。

Table 1.40表 1.40
Multiply. $5 \cdot \frac{1}{3}$ Multiply. $5 \cdot \frac{1}{3}$ を掛ける。さらに掛ける。	$\begin{matrix} (5 \cdot \frac{1}{3}) \cdot 3 \\ \frac{5}{3} \cdot 3 \\ 5 \end{matrix}$
Multiply. $\frac{1}{3} \cdot 3$ . Multiply. $\frac{1}{3} \cdot 3$ を掛ける。さらに掛ける。	$\begin{matrix} 5 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3) \\ 5 \cdot 1 \\ 5 \end{matrix}$
	$(5 \cdot \frac{1}{3}) \cdot 3 = 5 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3)$

When multiplying three numbers, changing the grouping of the numbers gives the same result.

英語のヒント

三つの数を掛けるとき、まとめ方を変えても結果は同じである。

You probably know this, but the terminology may be new to you. These examples illustrate the associative property.

英語のヒント

このことは知っていても、用語は初めてかもしれない。これらの例は結合法則を示している。

Let’s think again about multiplying

5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 .

We got the same result both ways, but which way was easier? Multiplying

\frac{1}{3}

and

3

first, as shown above on the right side, eliminates the fraction in the first step. Using the associative property can make the math easier!

英語のヒント

5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3

の掛け算をもう一度考えよう。どちらも同じ結果だったが、簡単だったのはどちらだろうか。上の右側のように

\frac{1}{3}

と

3

を先に掛けると、最初の段階で分数がなくなる。結合法則を使うと、計算を楽にできる。

The associative property has to do with grouping. If we change how the numbers are grouped, the result will be the same. Notice it is the same three numbers in the same order—the only difference is the grouping.

英語のヒント

結合法則は、まとめ方に関する性質である。数のまとめ方を変えても、結果は同じになる。同じ三つの数が同じ順序で並び、違うのはまとめ方だけであることに注目しよう。

We saw that subtraction and division were not commutative. They are not associative either.

英語のヒント

減法と除法には交換法則が成り立たなかった。結合法則も成り立たない。

When simplifying an expression, it is always a good idea to plan what the steps will be. In order to combine like terms in the next example, we will use the commutative property of addition to write the like terms together.

英語のヒント

式を簡単にするときは、先に手順を考えるとよい。次の例では、同類項をまとめるために加法の交換法則を使い、同類項を隣り合わせる。

Example 1.122例題 1.122

Simplify:

18 p + 6 q + 15 p + 5 q .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

18 p + 6 q + 15 p + 5 q

Solution解答

Table 1.41表 1.41
	$18 p + 6 q + 15 p + 5 q$
Use the commutative property of addition to re-order so that like terms are together. 加法の交換法則を使い、同類項が隣り合うように並べ替える。	$18 p + 15 p + 6 q + 5 q$
Add like terms. 同類項を足す。	$33 p + 11 q$

Try It (2)確認問題（2題）

When we have to simplify algebraic expressions, we can often make the work easier by applying the commutative or associative property first, instead of automatically following the order of operations. When adding or subtracting fractions, combine those with a common denominator first.

英語のヒント

代数式を簡単にするとき、機械的に演算の順序に従う前に、交換法則や結合法則を使うと楽になることが多い。分数の加法や減法では、分母が共通のものを先にまとめる。

Example 1.123例題 1.123

Simplify:

(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}

Solution解答

Table 1.42表 1.42
	$(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}$
Notice that the last 2 terms have a common denominator, so change the grouping. 最後の2項は分母が共通なので、まとめ方を変える。	$\frac{5}{13} + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$
Add in parentheses first. まず括弧の中を足す。	$\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})$
Simplify the fraction. 分数を約分する。	$\frac{5}{13} + 1$
Add. 足す。	$1 \frac{5}{13}$
Convert to an improper fraction. 仮分数に直す。	$\frac{18}{13}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.124例題 1.124

Use the associative property to simplify

6 (3 x) .

英語のヒント

結合法則を使って、

6 (3 x)

を簡単にせよ。

Solution解答

Table 1.43表 1.43
	$6 (3 x)$
Change the grouping. まとめ方を変える。	$(6 \cdot 3) x$
Multiply in the parentheses. 括弧の中を掛ける。	$18 x$

Notice that we can multiply

6 \cdot 3

but we could not multiply 3x without having a value for x.

英語のヒント

6 \cdot 3

は計算できるが、3xはxの値がなければ掛け算できない。

Try It (2)確認問題（2題）

第1章基礎

1.9 Properties of Real Numbers1.9 実数の性質

Learning Objectives学習目標

Use the Commutative and Associative Properties交換法則と結合法則を使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

1.9 Properties of Real Numbers1.9　実数の性質