第4章グラフ

Verify Solutions to an Equation in Two Variables2変数の方程式の解を確かめる

Up to now, all the equations you have solved were equations with just one variable. In almost every case, when you solved the equation you got exactly one solution. The process of solving an equation ended with a statement like

x = 4

. (Then, you checked the solution by substituting back into the equation.)

英語のヒント

ここまで解いてきた方程式は、すべて変数が1つだけの方程式だった。ほとんどの場合、解はちょうど1つ得られた。方程式を解く過程は、

x = 4

のような式で終わった。その後、得られた値を元の方程式に代入して、解を確かめた。

Here’s an example of an equation in one variable, and its one solution.

英語のヒント

変数が1つの方程式と、その唯一の解の例を示す。

\begin{matrix} 3 x + 5 & = & 17 \\ 3 x & = & 12 \\ x & = & 4 \end{matrix}

But equations can have more than one variable. Equations with two variables may be of the form

A x + B y = C

. Equations of this form are called linear equations in two variables.

英語のヒント

方程式は、変数を2つ以上含むこともある。2つの変数を含む方程式には、

A x + B y = C

の形のものがある。この形の方程式を、2変数の一次方程式という。

Notice the word line in linear. Here is an example of a linear equation in two variables,

x

and

y

英語のヒント

「linear（一次の、直線の）」に「line（直線）」が含まれていることに注目する。変数

x

と

y

を含む、2変数の一次方程式の例を示す。

一次方程式Ax＋By＝Cがある。その下に方程式x＋4y＝8があり、さらに下にA＝1、B＝4、C＝8がある。

The equation

y = −3 x + 5

is also a linear equation. But it does not appear to be in the form

A x + B y = C

. We can use the Addition Property of Equality and rewrite it in

A x + B y = C

form.

英語のヒント

方程式

y = −3 x + 5

も一次方程式であるが、

A x + B y = C

の形には見えない。等式の加法の性質を使って、

A x + B y = C

の形に書き直せる。

Table 4.1表 4.1
	$y = −3 x + 5$
Add to both sides. 両辺に足す。	$y + 3 x = −3 x + 5 + 3 x$
Simplify. 簡単にする。	$y + 3 x = 5$
Use the Commutative Property to put it in $A x + B y = C$ form. 交換法則を使い、 $A x + B y = C$ の形にする。	$3 x + y = 5$

By rewriting

y = −3 x + 5

3 x + y = 5

, we can easily see that it is a linear equation in two variables because it is of the form

A x + B y = C

. When an equation is in the form

A x + B y = C

, we say it is in standard form.

英語のヒント

y = −3 x + 5

を

3 x + y = 5

と書き直すと、

A x + B y = C

の形になるので、2変数の一次方程式だとすぐに分かる。方程式が

A x + B y = C

の形のとき、標準形であるという。

Most people prefer to have

A

B

, and

C

be integers and

A \geq 0

when writing a linear equation in standard form, although it is not strictly necessary.

英語のヒント

一次方程式を標準形で書くとき、多くの人は

A

、

B

、

C

を整数にし、

A \geq 0

とするが、厳密には必須ではない。

Linear equations have infinitely many solutions. For every number that is substituted for

x

there is a corresponding

y

value. This pair of values is a solution to the linear equation and is represented by the ordered pair

(x, y)

. When we substitute these values of

x

and

y

into the equation, the result is a true statement, because the value on the left side is equal to the value on the right side.

英語のヒント

一次方程式の解は無数にある。

x

に代入するそれぞれの数に対して、対応する

y

の値がある。この値の組が一次方程式の解であり、順序対

(x, y)

で表される。これらの

x

と

y

の値を代入すると、左辺の値と右辺の値が等しくなるので、正しい等式が得られる。

Example 4.4例題 4.4

Determine which ordered pairs are solutions to the equation

x + 4 y = 8

英語のヒント

どの順序対が方程式

x + 4 y = 8

の解になるかを判定する。

ⓐ

(0, 2)

ⓑ

(2, −4)

ⓒ

(−4, 3)

Solution解答

Substitute the x- and y-values from each ordered pair into the equation and determine if the result is a true statement.

英語のヒント

各順序対のxとyの値を方程式に代入し、正しい等式になるかどうかを判定する。

3列の図。第1列の上に順序対(0, 2)があり、その下にx＝0、y＝2、さらに方程式x＋4y＝8がある。xとyに0と2を代入した0＋4×2、続いて0＋8が、それぞれ8に等しいかを確かめている。その下は8＝8で、隣にチェックマークがあり、さらに「(0, 2)は解である」とある。第2列の上には順序対(2, −4)があり、その下にx＝2、y＝−4、さらにx＋4y＝8がある。2と−4を代入した2＋4×(−4)、続いて2＋(−16)が、それぞれ8に等しいかを確かめている。その下に−14≠8、さらに「(2, −4)は解ではない」とある。第3列の上には順序対(−4, 3)があり、その下にx＝−4、y＝3、さらにx＋4y＝8がある。−4と3を代入した−4＋4×3、続いて−4＋12が、それぞれ8に等しいかを確かめている。その下は8＝8で、隣にチェックマークがあり、さらに「(−4, 3)は解である」とある。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.5例題 4.5

Which of the following ordered pairs are solutions to the equation

y = 5 x - 1

英語のヒント

次の順序対のうち、方程式

y = 5 x - 1

の解であるものはどれか。

ⓐ

(0, −1)

ⓑ

(1, 4)

ⓒ

(−2, −7)

Solution解答

Substitute the x- and y-values from each ordered pair into the equation and determine if it results in a true statement.

英語のヒント

各順序対のxとyの値を方程式に代入し、正しい等式になるかどうかを判定する。

3列の図。第1列の上には順序対(0, −1)があり、その下にx＝0、y＝−1、さらにy＝5x−1がある。0と−1を代入し、−1が5×0−1に等しいか、続いて0−1に等しいかを確かめている。その下は−1＝−1で、隣にチェックマークがあり、さらに「(0, −1)は解である」とある。第2列の上には順序対(1, 4)があり、その下にx＝1、y＝4、さらにy＝5x−1がある。1と4を代入し、4が5×1−1に等しいか、続いて5−1に等しいかを確かめている。その下は4＝4で、隣にチェックマークがあり、さらに「(1, 4)は解である」とある。右の列の上には順序対(−2, −7)があり、その下にx＝−2、y＝−7、さらにy＝5x−1がある。−2と−7を代入し、−7が5×(−2)−1に等しいか、続いて−10−1に等しいかを確かめている。その下に−7≠−11、さらに「(−2, −7)は解ではない」とある。

Try It (2)確認問題（2題）

Complete a Table of Solutions to a Linear Equation in Two Variables2変数の一次方程式の解の表を完成させる

In the examples above, we substituted the x- and y-values of a given ordered pair to determine whether or not it was a solution to a linear equation. But how do you find the ordered pairs if they are not given? It’s easier than you might think—you can just pick a value for

x

and then solve the equation for

y

. Or, pick a value for

y

and then solve for

x

英語のヒント

上の例題では、与えられた順序対のxとyを代入して、それが一次方程式の解かどうかを判定した。順序対が与えられていない場合、どうやって求めればよいのだろうか。思うより簡単である。

x

の値を1つ選び、方程式を

y

について解けばよい。あるいは、

y

の値を選び、

x

について解いてもよい。

We’ll start by looking at the solutions to the equation

y = 5 x - 1

that we found in Example 4.5. We can summarize this information in a table of solutions, as shown in Table 4.2.

英語のヒント

まず、例題4.5で求めた方程式

y = 5 x - 1

の解を見てみよう。この情報は、表4.2のように解の表にまとめられる。

Table 4.2表 4.2
$y = 5 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−1$	$(0, −1)$
1	4	$(1, 4)$

To find a third solution, we’ll let

x = 2

and solve for

y

英語のヒント

3つ目の解を求めるため、

x = 2

とおいて

y

について解く。

方程式y＝5x−1でx＝2としたときに、yを求める手順を示す図。方程式y＝5x−1があり、その下にxに2を代入したy＝5×2−1がある。まず掛け算をしてy＝10−1とし、次に引き算をしてy＝9とする。

The ordered pair

(2, 9)

is a solution to

y = 5 x - 1

. We will add it to Table 4.3.

英語のヒント

順序対

(2, 9)

は

y = 5 x - 1

の解である。これを表4.3に加える。

Table 4.3表 4.3
$y = 5 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−1$	$(0, −1)$
1	4	$(1, 4)$
2	9	$(2, 9)$

We can find more solutions to the equation by substituting in any value of

x

or any value of

y

and solving the resulting equation to get another ordered pair that is a solution. There are infinitely many solutions of this equation.

英語のヒント

x

または

y

に好きな値を代入して、できた方程式を解くと、解となる別の順序対が得られる。このようにして、さらに多くの解を求められる。この方程式の解は無数にある。

Example 4.6例題 4.6

Complete Table 4.4 to find three solutions to the equation

y = 4 x - 2

英語のヒント

表4.4を完成させ、方程式

y = 4 x - 2

の解を3つ求める。

Table 4.4表 4.4
$y = 4 x - 2$
$x$	$y$	$(x, y)$
0
$−1$
2

Solution解答

Substitute

x = 0

x = −1

, and

x = 2

into

y = 4 x - 2

英語のヒント

x = 0

、

x = −1

、

x = 2

を

y = 4 x - 2

に代入する。

3列の図。第1列の上部に値x ＝ 0がある。その下にy ＝ 4x − 2がある。その下には、xに0を代入したy ＝ 4 × 0 − 2がある。その下にy ＝ 0 − 2がある。その下にy ＝ − 2がある。その下に(0, − 2)がある。第2列の上部に値x ＝ − 1がある。その下にy ＝ 4x − 2がある。その下には、xに− 1を代入したy ＝ 4 × − 1 − 2がある。その下にy ＝ − 4 − 2がある。その下にy ＝ − 6がある。その下に(− 1, − 6)がある。第3列の上部に値x ＝ 2がある。その下にy ＝ 4x − 2がある。その下には、xに2を代入したy ＝ 4 × 2 − 2がある。その下にy ＝ 8 − 2がある。その下にy ＝ 6がある。その下に(2, 6)がある。

The results are summarized in Table 4.5.

英語のヒント

結果を表4.5にまとめる。

Table 4.5表 4.5
$y = 4 x - 2$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−2$	$(0, −2)$
$−1$	$−6$	$(−1, −6)$
2	6	$(2, 6)$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.7例題 4.7

Complete Table 4.6 to find three solutions to the equation

5 x - 4 y = 20

英語のヒント

表4.6を完成させ、方程式

5 x - 4 y = 20

の解を3つ求める。

Table 4.6表 4.6
$5 x - 4 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
0
	0
	5

Solution解答

Substitute the given value into the equation

5 x - 4 y = 20

and solve for the other variable. Then, fill in the values in the table.

英語のヒント

与えられた値を方程式

5 x - 4 y = 20

に代入し、もう一方の変数について解く。その後、表に値を記入する。

3列の図。第1列の上部に値x ＝ 0がある。その下に5x − 4y ＝ 20がある。その下には、xに0を代入した5 × 0 − 4y ＝ 20がある。その下に0 − 4y ＝ 20がある。その下に− 4y ＝ 20がある。その下にy ＝ − 5がある。その下に(0, − 5)がある。第2列の上部に値y ＝ 0がある。その下に5x − 4y ＝ 20がある。その下には、yに0を代入した5x − 4 × 0 ＝ 20がある。その下に5x − 0 ＝ 20がある。その下に5x ＝ 20がある。その下にx ＝ 4がある。その下に(4, 0)がある。第3列の上部に値y ＝ 5がある。その下に5x − 47 ＝ 20がある。その下には、yに5を代入した5x − 4 × 5 ＝ 20がある。その下に5x − 20 ＝ 20がある。その下に5x ＝ 40がある。その下にx ＝ 8がある。その下に(8, 5)がある。

The results are summarized in Table 4.7.

英語のヒント

結果を表4.7にまとめる。

Table 4.7表 4.7
$5 x - 4 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−5$	$(0, −5)$
4	0	$(4, 0)$
8	5	$(8, 5)$

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

Complete the table to find three solutions to this equation:

2 x - 5 y = 20

英語のヒント

表を完成させ、方程式

2 x - 5 y = 20

の解を3つ求める。

$2 x - 5 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
0
	0
$−5$

Solution解答

Table 4.8表 4.8
$2 x - 5 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−4$	$(0, −4)$
10	0	$(10, 0)$
$−5$	$−6$	$(−5, −6)$

$y = 6 x + 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	1	$(0, 1)$
1	7	$(1, 7)$
$−2$	$−11$	$(−2, −11)$

$y = 3 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−1$	$(0, −1)$
$−1$	$−4$	$(−1, −4)$
2	5	$(2, 5)$

$3 x - 4 y = 12$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−3$	$(0, −3)$
4	0	$(4, 0)$
$−4$	$−6$	$(−4, −6)$